1、BS版九年级上版九年级上3 正方形的性质与判定正方形的性质与判定第一章第一章 特殊平行四边形特殊平行四边形第第3课时课时 正方形的性质与判定的综合正方形的性质与判定的综合应用应用习题链接习题链接4提示：点击 进入习题123夯实基础夯实基础1如图，在正方形如图，在正方形ABCD中，对角线中，对角线AC，BD相交于点相交于点O，E，F分别在分别在OD，OC上，且上，且DECF，连接，连接DF，AE，并延长并延长AE交交DF于点于点M.求证：求证：AMDF.夯实基础夯实基础证明：证明：AC，BD是正方形是正方形ABCD的两条对角线，的两条对角线，ACBD，OAODOCOB.AOEDOF90.DECF
2、，OEOF.AOE DOF.OAEODF.DOF90，DFOFDO90.DFOFAE90.AMF90，即，即AMDF.整合方法整合方法2在正方形在正方形ABCD中，中，MAN45，MAN绕点绕点A顺顺时针旋转，它的两边分别交时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线或它们的延长线)于点于点M，N.(1)如图，当如图，当MAN绕点绕点A旋转到旋转到BMDN时，易证：时，易证：BMDNMN.当当MAN绕点绕点A旋转到旋转到BMDN时，如时，如图，请问图中的结论是否图，请问图中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由如果不成立，请说明理由整
3、合方法整合方法解：仍有解：仍有BMDNMN成立证明如下：成立证明如下：过点过点A作作AEAN，交，交CB的延长线于点的延长线于点E，则，则EAMNAM45.易证易证ABE ADN，DNBE，AEAN.又又AMAM，EAM NAM.MEMN.MEBEBMDNBM，BMDNMN.整合方法整合方法(2)当当MAN绕点绕点A旋转到如图所示的位置时，线段旋转到如图所示的位置时，线段BM，DN和和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由说明理由 DNBMMN.理由如下：理由如下：如图，在如图，在DN上截取上截取DEBM，连接，连接AE.四边形四边形ABC
4、D是正方形，是正方形，ABMDBAD90，ABAD.整合方法整合方法又又BMDE，ABM ADE.AMAE，BAMDAE.DAB90，MAE90.MAN45，EAN45MAN.又又AMAE，ANAN，AMN AEN.MNEN.DNDEENBMMN.DNBMMN.探究培优探究培优3如图，正方形如图，正方形ABCD中，动点中，动点E在在AC上，上，AFAC，垂，垂足为足为A，AFAE，连接，连接BE.(1)求证：求证：BFDE.探究培优探究培优探究培优探究培优(2)当点当点E运动到运动到AC的中点时的中点时(其他条件都保持不变其他条件都保持不变)，问四，问四边形边形AFBE是正方形吗？请说明理由是
5、正方形吗？请说明理由 探究培优探究培优FAEBEC，BEAF.BEAF，四边形四边形AFBE为平行四边形为平行四边形FAE90，AFAE，平行四边形平行四边形AFBE是正方形是正方形4如图，如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.(1)求证：在任何时刻，连接四个小球所得的四边形求证：在任何时刻，连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形总是正方形证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，AB
6、CD90，ABBCCDDA.又又在任何时刻，在任何时刻，APBQCRDS，PBQCRDSA.ASP BPQ CQR DRS.PSQPRQSR，ASPBPQ.在任何时刻，四边形在任何时刻，四边形PQRS是是菱形又菱形又APSASP90，APSBPQ90.QPS180(APSBPQ)1809090.在任何时刻，四边形在任何时刻，四边形PQRS总是正方形总是正方形(2)四边形四边形PQRS在什么时候面积最大？在什么时候面积最大？(3)四边形四边形PQRS在什么时候面积为正方形在什么时候面积为正方形ABCD面积的一半？面积的一半？解：当解：当P，Q，R，S四个小球刚出发时或到达终点时面四个小球刚出发时或到达终点时面积最大，此时的面积等于正方形积最大，此时的面积等于正方形ABCD的面积的面积当当P，Q，R，S四个小球滚动到正方形四个小球滚动到正方形ABCD四边中点四边中点时，四边形时，四边形PGRS的面积为正方形的面积为正方形ABCD面积的一半。面积的一半。
