1、同学们好请看以下几例：1)4，5，6，7，8，9，10，2)3，0，-3，-6，-9，-12，3)1/10,2/10,3/10,4/10,5/104)3，3，3，3，3，3，3，你还记得吗？|数列的定义|给出数列的两种方法 创设问题情境，引入新课创设问题情境，引入新课姚明刚进姚明刚进NBANBA一周训练罚球的个数：一周训练罚球的个数：第一天：第一天：60006000，第二天：第二天：65006500，第三天：第三天：70007000，第四天：第四天：75007500，第五天：第五天：80008000，第六天：第六天：85008500，第七天：第七天：9000.9000.得到数列：得到数列：60
2、006000，65006500，70007000，75007500，80008000，85008500，90009000一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差。公差通常用字母d表示。返返回回公差d1.an-an-1=d (n2)（数学表达式）3.d的范围 dR2.常数如2，3，5，9，11就不是等差数列探究性问题探究性问题2 2：在如下的两个数之间，插入在如下的两个数之间，插入一个什么数后这三个数就会成为一个什么数后这三个数就会成为一个等差数列：一个等差数列：（1 1）2 2，4 4；（2 2）-8-8，0
3、0；（3 3）a a，b b等差中项的等差中项的相关知识相关知识 如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。例例:已知三个数已知三个数2，x，98成等差数列，求成等差数列，求x2baA如果等差数列an的首项是a，公差是d，那么根据等差数列的定义得到：a2-a1=da2=a1+d由此得到 an=a1+(n-1)d返返回回an-a1=(n-1)dan-an-1=da4-a3=da3-a2=dan=a1+(n-1)da4=a1+3da3=a1+2d例例1：a1=1,d=2,则则 an=?解：解：an=1+(n1)2=2n1已知等差数列已知等差数列8，5，2，求
4、求 an及及a20解解:由题由题 a1=8,d=58=3a20=49an=8+(n1)(3)=3n+11练习练习1：已知等差数列：已知等差数列3，7，11，则则 an=_ a4=_ a10=_4n-11539例例2：已知等差数列已知等差数列an中，中，a20=49,d=3，求首项求首项a1解：由解：由a20=a1+(201)(3)得得a1=8练习练习2：a4=15 d=3 则则a1=_6解：解：a1=5,d=4，an=5+(n1)(4),假设假设-400是该等差数列中的第是该等差数列中的第n项，项，则则 400=5+(n1)(4)所以所以400不是这个数列的项不是这个数列的项解之得解之得 n=
5、（不是正整数）（不是正整数）4399 练习练习3：100是不是等差数列是不是等差数列2，9，16，的项？如果是，是第的项？如果是，是第几项？几项？如果不是，说明理由如果不是，说明理由.例4：一张梯子最高一级宽33cm，最低一级宽110cm,中间还有10级，各级的宽度成等差数列。求公差d及中间各级的宽度。分析：用分析：用an表示梯子自上而下表示梯子自上而下各级宽度所成的等差数列。各级宽度所成的等差数列。解：由题意知解：由题意知 a1=33,a12=110,n=12 由由 an=a1+(n-1)d 得得 110=33+(12-1)d 解得解得 d=7从而可求出从而可求出 a2=33+7=40 (c
6、m)a3=40+7=47(cm)a4=54(cm)。33110总结：总结：在在 an=a1+(n1)d，nN*中，有中，有an,a1,n,d 四个量四个量,已知其中任意已知其中任意3个量即可求出第四个量。个量即可求出第四个量。那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出那么如果已知一个等差数列的任意两项，能否求出an呢？呢？例例5：在等差数列：在等差数列an中已知中已知a3=10,a9=28,求求a1、d及及an an=4+(n1)3=3n+1 得得 a3=a1+2d=10 a1=4 a9=a1+8d=28 d=3解法解法1：由：由an=a1+(n1)d猜想：任意两项猜想：任意两项an和和am
7、(nm)之间的关系：之间的关系：证明证明:am=a1+(m1)d an=a1+(n1)d a1=am-(m1)d=am-(m1)d+(n1)d=am+(n-m)dan=am+(n-m)d例例5：在等差数列：在等差数列an中已知中已知a3=10,a9=28,求求an an=a3+（n-3）3解法解法2：a9=a3+(93)d(nN*)28=10+6dd=3=10+（n-3）3=3n+1 例1.1）等差数列8，5，2,的第20项是几？2）-401是不是等差数列-5,-9,-13的项？如果是，是第几项？解：1）由题意得，a1=8,d=-32）由题意得,a1=-5,d=-4,an=-401an=a1+
8、(n-1)dn=100-401是这个数列的第100项。a20=a1+19d=8+19(-3)=-49-401=-5+(n-1)(-4)1）求等差数列3，7，11的第4项与第10项。答案：a4=15 a10=39 2)100是不是等差数列2，9，16的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。答案：是第15项。3)-20是不是等差数列0,-3.5,-7的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由。解：a1=0,d=-3.5-20不是这个数列中的项。n=47/7-20=0+(n-1)(-3.5)例2.在等差数列an中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d。解：由题意，a5=a1+4d a
9、12=a1+11d解之得a1=-2 d=3若让求a7，怎样求？即10=a1+4d 31=a1+11d1.在等差数列an中，已知a3=9,a9=3,求a12答案：a12=02.在等差数列an中，已知a2=3,a4=7,求a6、a8解：由题意得，a1+d=3,a1+3d=7a6=a1+5d=1+52=11 a8=a1+7d=1+72=15 a1=1,d=2在等差数列在等差数列a an n中，中，1 1）已知）已知a a1 1=2,d=3,n=10,=2,d=3,n=10,求求a an n解：解：a a1010=a=a1 1+9d=2+9+9d=2+93=293=292）已知已知a a1 1=3,a
10、=3,an n=21,d=2,=21,d=2,求求n n解：解：21=3+(n-1)21=3+(n-1)2 n=102 n=103）已知已知a a1 1=12,a=12,a6 6=27,=27,求求d d解：解：a a6 6=a=a1 1+5d,+5d,即即27=12+5d d=327=12+5d d=34）已知）已知d=-1/3,ad=-1/3,a7 7=8,=8,求求a a1 1解：解：a a7 7=a=a1 1+6d 8=a+6d 8=a1 1+6+6(-1/3)(-1/3)a a1 1=10=10课堂练习：课堂练习：2.求等差数列求等差数列2，9，16的第的第10项项,100是不是这个
11、数列是不是这个数列的项。如果是，是第几项？的项。如果是，是第几项？1.等差数列等差数列-5，-1，3的公差是（的公差是（）A.4 B.-4 C.8 D.-83.等差数列中，已知等差数列中，已知a3=9,a9=3,则则a12=_4.数列数列an中中,a1=,an+1=an-(nN*),则通项则通项an=（）5.已知等差数列的前三项依次为：已知等差数列的前三项依次为：a-1,a+1,a+3,则此数列的通项为（则此数列的通项为（）A.an=2n-5 B.an=a+2n-3C.an=a+2n-1 D.an=2n-322A0D222-n222-nn2A.B.D.不能确定不能确定C.C(1)2，a，6(2
12、)8，b，c，-4(3)8，b，-4，c2.2.已知已知 a,b,c 成等差数列，成等差数列，求证：求证：b+c,c+a,a+b成等差数列成等差数列例例1：在等差数列：在等差数列an中已知中已知a3=10,a9=28,求求an an=a3+（n-3）3解法解法2：a9=a3+(93)d(nN*)28=10+6dd=3=10+（n-3）3=3n+1 101551015,(2),a abaamaaaan5385612671112例 在等差数列 a中（1）若a求若a求a（3）若a+a+=30,a+a+=80,求a+a+思考思考:等差数列等差数列 an 中中,（m、n、N+）,若若 m+n=p+q 则
13、则 am+an=ap+aq?【说明说明】上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有相同数目相同数目的的项，项，如如a1+a2=a3 吗？吗？例2、在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450，则a2+a8=？（一）等差数列的基本性质（一）等差数列的基本性质：3、项数成等差数列的项也构成等差数列。4、等差数列的前m项和，后m项和，再m项和也 构成等差数列。5、两个等差数列的和、差还是等差数列即an，bn 是等差数列，anbn也是等差数列，pan、anc 也是等差数列（p，c为常数）。2、等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。1、在等差数列、在等差数列a
14、n中，若中，若m+n=p+q，则，则 .am+an=ap+aq（二）等差数列的证明（二）等差数列的证明：例例3、已知数列的通项公式为、已知数列的通项公式为an=pn+q，其中，其中，p，q 是是 常数，且常数，且p0，那么这个数列是否一定是等差数，那么这个数列是否一定是等差数 列？如果是，其首项与公差是什么？列？如果是，其首项与公差是什么？例3.一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是多少？解：由题意得，a6=a1+5d0 a7=a1+6d0 例4.已知等差数列an的首项为30，这个数列从第12项起为负数，求公差d的范围。解：a12=30+11d0
15、 a11=30+10d0dZ d=-4-23/5d-23/6 -3d-30/11即公差d的范围为：-3d-30/11 等差数列的定义：等差数列的定义：通项公式：通项公式：an=a1+(n1)d （nN*）更一般的形式：更一般的形式：an=am+(nm)d（nN*）一般地，如果一个数列一般地，如果一个数列从第从第2项起项起，每一项每一项与它的前一项的差等于同一常数与它的前一项的差等于同一常数，那么这个，那么这个数列就叫做等差数列数列就叫做等差数列（叠加法证明）（叠加法证明）泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为
16、纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。案之细致令人叫绝。传说陵寝中有一个三角形图案，以相传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有同大小的圆宝石镶饰而成，共有100100层层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。（见左图），奢靡之程度，可见一斑。你知道这个图案一共花了多少宝石吗？你知道这个图案一共花了多少宝石吗？1.等差数列的定义：等差数列的定义：1(2)nnnaaad n-是是等等差差数数
17、列列2.通项公式：通项公式：1(1).naand-3.重要性质重要性质:().nmaanm d-.mnpqmnpqaaaa 复习复习 高斯出生于一个工匠高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习一次老师布置了一道数学习题：题：“把从把从1 1到到100100的自然数的自然数加起来，和是多少？加起来，和是多少？”年仅年仅1010岁的小高斯略一思索就得岁的小高斯略一思索就得到答案到答案50505050，这使老师非常，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的么方
18、法来巧妙地计算出来的呢？呢？高斯（高斯（1777-18551777-1855），），德德国数学家、物理学家和天文学国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。誉为有史以来的三大数学家。有有“数学王子数学王子”之称。之称。高斯高斯“神速求和神速求和”的故事的故事:情景情景1首项与末项的和：首项与末项的和：1100101，第第2项与倒数第项与倒数第2项的和：项的和：299 =101，第第3项与倒数第项与倒数第3项的和：项的和：398 101，第第50项与倒数第项与倒数第50项的和：项的和：5051101，于是所求的和是：于是所求的和是：1
19、001015050.2求求 S=1+2+3+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：高斯算法：高斯算法用到了等差数列的什么性质？高斯算法用到了等差数列的什么性质？.mnpqmnpqaaaa 如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9、1010，求钢管总数。，求钢管总数。即求即求：S=4+5+6+7+8+9+10.高斯算法：高斯算法：S=（4+10)+（5+9）+（6+8）+7=143+7=49.还有其它算法吗？情景情景2S=10+9+8+7+6+5+4.S=4+5+6+7+8+9+10.相加得相加得：(4 1
20、0)749.2S倒序相加法2(4 10)(5 9)(6 8)(7 7)(8 6)(9 5)(10 4)S (4 10)7.怎样求一般等差数列的前怎样求一般等差数列的前n项和呢？项和呢？12,.nnnnanSSaaa 设设等等差差数数列列的的前前 项项和和为为即即12.nnSaaa11.nnnSaaa-12112()()()nnnnSaaaaaa-1().nn aa1211nnnaaaaaa-1().2nnn aaS 新课新课等差数列的前n项和公式1(1)naand-2)1nnaanS （dnnnaSn2)11-（公式1公式2dnnnaSn2)11-（思考：na1,nna a n d S2)1n
21、naanS （1anan公式记忆公式记忆1)2nnn aaS（11)2nn nSnad-（类比梯形面积公式记忆等差数列前等差数列前n n项和公式的函数特征：项和公式的函数特征：21111222nddSnan ndnan-12,22nSAnddABaABnB-设则是常数2200,.nnAdSnSAnBnyAxBx当即时是关于 的二次函数式,即的图象是抛物线上的一群孤立的点特征：特征：2(,)nnnanSAnBn ABa数列的前 项和为常数，则数列是不是一定是等差数列？思考：思考：22(,)nnaASAnBn A B是公差为的等差数列为常数结论：结论：2nnanSpnqnr问:如果一个数列的前 项
22、和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列一定是等差数列吗？2nnanSpnqnr结论:如果一个数列的前 项和，（其中p,q,r为常数，且p0）,那么这个数列是等差数列当且仅当r=0例例1、计算：、计算：(1)123(2)1 35(21)(3)2462(4)1 23456(21)2.nnnnn -；(4)1 3 5(21)(2 4 62).nn -解：原式(1 2)(3 4)(5 6)(21)2.nn-又解：原式(1)2n n 2n(1)n n11)21)2nnnn aaSn nSnad-（举例举例例例2、10,6,2,2,54-等差数列前多少项的和是？1212,10,6(10)4,5
23、4.(-1)-10454262709,3-10-6-2 2954nnnanSadSn nnnnnn-设设该该等等差差数数列列为为其其前前 项项和和是是则则根根据据等等差差数数列列前前项项和和公公式式，得得 整整理理得得 解解得得 （舍舍去去）因因此此，等等差差数数列列，前前 项项的的和和是是注：本题体现了方程的思想注：本题体现了方程的思想.解：解：11)21)2nnnn aaSn nSnad-（123891012,75,.naaaaaaaS10数列为等差数列，若求 例3、12389101275aaaaaa，由解：111418253.adaadd，10110 910145.2Sad又解：1101
24、011010()5()2aaSaa12389101275aaaaaa，由110293887.aaaaaa1101103()87()29.aaaa即5 29145.1102938aaaaaa，整体运算整体运算的思想的思想!11)21)2nnnn aaSn nSnad-（例例4、2512151636,.naaaaaS 在在等等差差数数列列中中，已已知知求求解：1161611616()8()2aaSaa2512152155121163618aaaaaaaaaa8 18144.11)21)2nnnn aaSn nSnad-（*5|7,100.Mm mn nNm例、求集合且的元素，并求些元素的和1、一个
25、等差数列前、一个等差数列前4项的和是项的和是24，前，前5项的和项的和与前与前2项的和的差是项的和的差是27，求这个等差数列的通，求这个等差数列的通项公式。项公式。415211124462427(510)(2)27332(1)21.2nSadSSadadaannd -，解解：巩固巩固练习练习11)21)2nnnn aaSn nSnad-（61120,.naaS 2 2、已已 知知 等等 差差 数数 列列中中，求求解解:61116202aaaa11111611()11220.2aaSa 11)21)2nnnn aaSn nSnad-（四、随堂练习四、随堂练习1、根据下列各题中的条件，求相应的等差
26、数列、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的的sn(1)a=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=325002)955(1010s25502)150(501005050-s5.6042)325.14(26267.0)1(5.1432)1(1-nnsnndnaa所以得先由2、(1)求正整数列中前求正整数列中前n个数的和；个数的和；(2)求正整数列中前求正整数列中前n个偶数的和个偶数的和。3、等差数列、等差数列5,4,3,2,1,前多少项的和是前多少项的和是30？2)1(nnsn)1(2)22(nnnnsn前前15项项1、用倒序相
27、加法推导等差数列前、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式项和公式;1n1()()2(1)S2nnn aaSn nnad -2 2、求求和和公公式式 小结小结3、应用公式求和、应用公式求和.“知三求二知三求二”，方程的思想，方程的思想.已知首项、已知首项、末项末项用公式用公式；已知首项、已知首项、公差公差用公式用公式.应用求和公式时一定弄清项数应用求和公式时一定弄清项数n.当已知条件不足以求出当已知条件不足以求出a1和和d时，要认真观察，时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值的值.nn4a nanS、已知数列前 项和，求通项公式 的方法；nnna对于一般数列前 项和S 与 间的关系：1nnn-1n1an1.-S，；SS，
