1、第第3讲导数与函数的单调性、极值、最值问题讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题.真 题 感 悟1.(2020全国卷)函数f(x)x42x3的图象在点(1，f(1)处的切线方程为()A.y2x1 B.y2x1C.y2x3 D.y2x1解析f(1)121，切点坐标为(1，1)，又f(x)4x36x2，所以切线的斜率kf(1)4136122，切线方程为y12(x1)，即y2x1.故选B.答案B答案13.(2020新高考山东、海南卷)已知函数f(x)aex1ln
2、 xln a.(1)当ae时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；(2)若f(x)1，求a的取值范围.(1)当ae时，f(x)exln x1，f(1)e1，f(1)e1，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x2.(2)当0a1时，f(1)aln a1.当x(0，1)时，f(x)0；当x(1，)时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取得最小值，最小值为f(1)1，从而f(x)1.当a1时，f(x)aex1ln xln aex1ln x1.综上，a的取值范围是1，).4.(2020全国卷)已知函数f(x)exax
3、2x.解(1)当a1时，f(x)exx2x，xR，f(x)ex2x1.故当x(，0)时，f(x)0.所以f(x)在(，0)单调递减，在(0，)单调递增.考 点 整 合1.导数的几何意义函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0).易错提醒求曲线的切线方程时，要注意是在点P处的切线还是过点P的切线，前者点P为切点，后者点P不一定为切点.2.四个易误导数公式3.利用导数研究函数的单调性(1)导数与函数单调性的关系.f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(
4、x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如果函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常数函数.(2)利用导数研究函数单调性的方法.若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.易错提醒若函数的导数存在，某点的导数等于零是函数在该点取得极值的必要不充分条件.热点一导数
5、的几何意义【例1】(1)(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()A.ae，b1 B.ae，b1C.ae1，b1 D.ae1，b1解析(1)因为yaexln x1，所以ky|x1ae1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.(2)直线y2x的斜率为k2，A中，若f(x)2ex2，则由f(x)2ex2，得x0，f(0)0，因为点(0，0)在直线y2x上，所以直线y2x与曲线y2ex2相切.B中，若f(x)2sin x，则由f(x)2cos x2，得x2k(kZ)，f(2k)0，因为点(0，0)在直线y2
6、x上，所以直线y2x与曲线y2sin x相切.D中，若f(x)x3x2，则由f(x)3x212，得x1，f(1)2，f(1)2，其中(1，2)在直线y2x上，所以直线y2x与曲线yx3x2相切.故选ABD.答案(1)D(2)ABD探究提高利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化，其中关键是确定切点的坐标.【训练1】(1)(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_.(2)(2020全国卷)曲线yln xx1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为_.答案(1
7、)(e，1)(2)2xy0热点二利用导数研究函数的单调性角度1讨论函数的单调性(区间)【例2】(2020全国卷)已知函数f(x)2ln x1.(1)当0 x0；当x1时，h(x)0.所以h(x)在区间(0，1)单调递增，在区间(1，)单调递减.从而当x1时，h(x)取到最大值，最大值为h(1)1c.故当且仅当1c0，即c1时，f(x)2xc.所以c的取值范围为1，).取c1得h(x)2ln x2x2，h(1)0，则由(1)知，当x1时，h(x)0，即1xln x0或f(x)0.2.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范
8、围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(x)不恒等于0的参数的范围.(2)若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解(需验证解的两侧导数是否异号).【训练2】(2020百师联盟考试)已知函数f(x)axexx22x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)当x0时，f(x)0，求正实数a的取值范围.解(1)f(x)a(x1)ex2x2(x1)(aex2).当a0时，由f(x)0，得x1；由f(x)0，得x1.f(x)在(，1)上单调递增，f(x)在(1，)上单调递减.当a2e时，f(x)0，即f(x)在R上单调递增，(2)当a2e时，由第(
9、1)问知f(x)在(0，)上是增函数，f(x)f(0)0，满足题意.当0a2e时，由(1)知：综上可知，实数a的取值范围是2，).热点三利用导数研究函数的极值和最值【例4】设函数f(x)e2xaln x.(2)证明由(1)，可设f(x)在(0，)上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0；当x(x0，)时，f(x)0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，所以当xx0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).探究提高(1)运用导数证明不等式，常转化为求函数的最值问题.(2)利用导数解决不等式恒成立问题：一般先转化为我们熟悉的函数，利用导数研究单调性，求出最值，解
10、答相应的参数不等式，如果易分离参数，可先分离变量，构造函数，直接转化为函数的最值问题，避免参数的讨论.【训练3】(2020江南十校联考)已知f(x)mx2xln x.(1)当m0时，求函数f(x)在区间t，t1(t0)上的最大值M(t)；(2)当m1时，若存在正数x1，x2满足f(x1)f(x2)1ln 2，求证：x1x22.当x(0，1)时，f(x)0，函数单调递增；当x(1，)时，f(x)0，函数单调递减.当t1时，f(x)在t，t1上单调递减，f(x)的最大值为f(t)ln tt；当0t1时，f(x)在区间(t，1)上单调递增，在区间(1，t1)上单调递减，f(x)的最大值为f(1)1.因此(x1x2)2(x1x2)2，即(x1x22)(x1x21)0.又x10，x20，所以x1x22.
