1、第二十七章 相 似 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 27.2.1 相似三角形的判定 第4课时 两角分别相等的两个三角形相似 九年级数学下（RJ） 教学课件 学习目标 1. 探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理. 2. 掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法，并 能进行相关计算. (重点、难点) 3. 掌握判定两个直角三角形相似的方法，并能进行 相关计算. 学校举办活动，需要三个内角分别为90，60， 30的形状相同、大小不同的三角纸板若干. 小明手 上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？ 导入新课导入新课 情境引入 讲授新课讲授新课 问题一 度量 AB，BC，AC，AB，BC
2、，AC 的长， 并计算出它们的比值. 你有什么发现？ C A B A B C 两角分别相等的两个三角形相似 一 合作探究 与同伴合作，一人画 ABC，另一人画 ABC， 使A=A，B=B，探究下列问题： 这两个三角形是 相似的 证明：在 ABC 的边 AB（或 AB 的延长线）上， 截取 AD=AB，过点 D 作 DE / BC，交 AC 于点 E， 则有ADE ABC，ADE =B. B=B， ADE=B. 又 AD=AB，A=A， ADE ABC， ABC ABC. C A A B B C D E 问题二 试证明ABCABC. 由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理： 两角分别相等的两
3、个三角形相似. A=A，B=B， ABC ABC. 符号语言： C A B A B C 归纳： 如图，ABC中，DEBC，EFAB，求证： ADEEFC. A E F B C D 证明: DEBC，EFAB， AEDC， AFEC. ADEEFC. 练一练 证明： 在 ABC中，A=40 ， B=80 ， C=180 AB=60 . 在DEF中，E=80 ， F=60 . B=E，C=F. ABC DEF. 例1 如图，ABC 和 DEF 中，A=40，B=80， E=80 ，F=60 求证：ABC DEF. A C B F E D 典例精析 例2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 O 内一点
4、 P，求证： PA PB=PC PD. 证明:连接AC，DB. A 和 D 都是弧 CB 所对的圆周角， A= _， 同理 C= _， PAC PDB， _ 即PA PB = PC PD. D B PAPC PDPB O D C B A P 1. 如图，在 ABC 和 ABC 中，若A=60，B =40，A = 60，当C= 时，ABC ABC. 练一练 C A B B C A 80 2. 如图，O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA=3， PB = 8，PC = 4，则 PD = . 6 O D C B A P ADAE . ACAB 解： EDAB，EDA=90 . 又C=90 ，A
5、=A， AED ABC. 判定两个直角三角形相似 二 例2 如图，在 RtABC 中，C = 90，AB = 10， AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，EDAB，垂足 为D. 求AD的长. D A B C E 8 5 4. 10 AC AE AD AB 由此得到一个判定直角三角形相似的方法： 有一个锐角相等的两个直角三角形相似. 归纳： 对于两个直角三角形，我们还可以用 “HL” 判定它们全等. 那么，满足斜边和一直角边成比 例的两个直角三角形相似吗？ 思考： 如图，在 RtABC 和 RtABC 中，C=90， C=90， . 求证：RtABC RtABC. ABAC A
6、BA C C A A B B C 要证明两个三角形 相似，即是需要 证明什么呢？ 目标： BCABAC BCA BAC 证明：设_= k ，则AB=kAB，AC=kAB. 由 ，得 . Rt ABC Rt ABC. 22 BCABAC， 22 .BCABAC . kB C k B C ABAC A BA C 勾股定理 BCABAC B CA BA C CB CAkBAk CB ACAB CB BC 222222 C A A B B C 由此得到另一个判定直角三角形相似的方法： 斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似. 归纳： 例3 如图，已知：ACB =ADC = 90，AD = 2， CD
7、 = ，当 AB 的长为 时，ACB 与 ADC相似 2 C A B D 解析：ADC = 90，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： (1) 当 RtABC RtACD 时，有 AC : AD AB : AC， 即 : 2 =AB : ，解得 AB=3； 2 2 222 226.ACADCD 66 C A B D 2 2 (2) 当 RtACB RtCDA 时，有 AC : CD AB : AC ， 即 : =AB : ，解得 AB= 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相 似 626 3 2 3 2 C A B D 2 2 在 RtABC 和 RtA
8、BC 中，C=C=90， 依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似. (1) A=35，B=55： ； (2) AC=3，BC=4，AC=6，BC=8： ； (3) AB=10，AC=8，AB=25，BC=15： . 练一练 相似 相似 相似 当堂练习当堂练习 1. 如图，已知 ABDE，AFC E，则图中相 似三角形共有 ( ) A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 C 2. 如图，ABC中，AE 交 BC 于点 D，C=E，AD : DE=3 : 5，AE=8，BD=4，则DC的长等于 ( ) A. 15 4 B. 12 5 C. 20 3 D. 17 4 A C A B D E
9、 A B D C 3. 如图，点 D 在 AB上，当 (或 = )时， ACDABC； ACD ACB B ADC 4. 如图，在 RtABC 中， ABC = 90，BDAC 于D. 若 AB=6，AD=2，则 AC= ，BD= ， BC= . 18 D B C A 4 2 12 2 证明： ABC 的高AD、BE交于点F， FEA=FDB=90， AFE =BFD (对顶角相等). FEA FDB， 5. 如图，ABC 的高 AD、BE 交于点 F 求证： . AFEF BFFD . AFEF BFFD D C A B E F 证明： BAC= 1+ DAC， DAE= 3+ DAC，1=
10、3， BAC=DAE. C=1802DOC ， E=1803AOE， DOC =AOE（对顶角相等）， C= E. ABCADE. 6. 如图，1=2=3，求证：ABC ADE A B C D E 1 3 2 O 7. 如图，BE是ABC的外接圆O的直径，CD是ABC 的高， 求证：AC BC = BE CD. O D C B A E 证明： 连接CE， 则A=E. 又BE是ABC的外接圆O的直径， BCE=90=ADC， A=E，BCE=ADC， ACDEBC. AC BC = BE CD. ACCD BEBC ， 两角分别相等的 两个三角形相似 利用两角判定三角形相似 课堂小结课堂小结 直角三角形相似的判定
