1、6.3等比数列及其前n项和,-2-,知识梳理,双基自测,2,1,自测点评,3,1.等比数列的有关概念(1)等比数列的定义一般地,如果一个数列从第项起,每一项与它的前一项的比都等于,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,公比通常用字母表示.数学语言表达式:(2)等比中项如果a,G,b组成等比数列,则G叫做a和b的等比中项.即:G是a与b的等比中项?a,G,b成等比数列?.,2,同一常数,公比,q(q0),G2=ab,-3-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,1,3,2.等比数列的通项公式及前n项和公式(1)若等比数列an的首项为a1,公比是q,则其通项公式为an=;可推广为an=.(
2、2)等比数列的前n项和公式:当q=1时,Sn=na1;当q1时,a1qn-1,amqn-m,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,1,3,3.等比数列及其前n项和的性质(1)已知an为等比数列,若k+l=m+n(k,l,m,nN+),则akal=;若m+n=2k,则aman=(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列,即ak,ak+m,ak+2m,仍是等比数列,公比为.(3)当q-1,或q=-1且n为奇数时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为.(4)若an,bn(项数相同)是等比数列,则an(0),aman,qm,qn,2,-5-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,
3、自测点评,1.下列结论正确的打“”,错误的打“”. (1)满足an+1=qan(nN*,q为常数)的数列an为等比数列. ()(2)G为a,b的等比中项?G2=ab.()(3)等比数列中不存在数值为0的项.()(4)若an为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列bn也是等比数列.()(5)若数列an为等比数列,则数列ln an是等差数列.()(6)若数列an的通项公式是an=an,则其前n项和为,答案,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂
4、了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏,答案,解析,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.已知an为等差数列,公差为1,且a5是a3与a11的等比中项,Sn是an的前n项和,则S12的值为()A.21B.42C.63D.54,答案,解析,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.在数列an中,a1=2,an+1=2an,Sn为an的前n项和.若Sn=126,则n=.,答案,解析,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.(2017北京朝阳二模)在等比数列an中
5、,已知a1=2,a4=-2,则an的通项公式an=.,答案,解析,-10-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.等差数列的首项和公差可以为零,且等差中项唯一;而等比数列的首项和公比均不为零,等比中项可以有两个值.2.在等比数列中,由an+1=qan,q0,并不能立即判断an为等比数列,还要验证a10;若aman=apaq,则m+n=p+q不一定成立,因为常数列也是等比数列,但若m+n=p+q,则有3.在运用等比数列的前n项和公式时,如果不能确定q与1的关系,必须分q=1和q1两种情况讨论.,-11-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1(1)设an是由正数组成的等比数列,Sn为其前n项和.已知a
6、2a4=1,S3=7,则S5等于(),答案,(2)(2017陕西咸阳二模)在等比数列an中,已知a3,a7是方程x2-6x+1=0的两根,则a5=()A.1B.-1C.1D.3(3)设等比数列an满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=.思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些?,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求基本量a1和q,问题可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:因为等比数列的前n项
7、和公式涉及对公比q的分类讨论,所以当某一参数为公比进行求和时,就要对参数是否为1进行分类求和.(3)整体思想:应用等比数列前n项和公式时,常把qn或 当成整体进行求解.,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练1(1)已知an为等比数列,a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则a3+a5等于()A.189B.72C.60D.33(2)已知an是等差数列,公差d不为零,前n项和是Sn,若a3,a4,a8成等比数列,则()A.a1d0,dS40B.a1d0,dS40,答案,解析,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2已知数列an的前n项和Sn=1+an,其中0.(1)证明a
8、n是等比数列,并求其通项公式;思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法?,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.证明数列an是等比数列常用的方法(2)等比中项法,证明 =an-1an+1;(3)通项公式法,若数列通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN+),则an是等比数列.2.若判断一个数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练2已知数列an的前n项和为Sn,在数列bn中,b1=a1,bn=an-an-1(n2),且an+Sn=n.(1)设cn=
9、an-1,求证:cn是等比数列;(2)求数列bn的通项公式.,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向一等比数列性质的应用例3(1)在由正数组成的等比数列an中,若a3a4a5=3,则sin(log3a1+log3a2+log3a7)的值为()(2)在正项等比数列an中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n=.思考用等比数列的哪些性质能简化解题过程?,答案,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,考向二等比数列前n项和的性
10、质的应用例4设等比数列an的前n项和为Sn.若S2=3,S4=15,则S6=()A.31B.32C.63D.64思考本题应用什么性质求解比较简便?,答案,解析,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得1.在解答等比数列的有关问题时,为简化解题过程常常利用等比数列的如下性质:(1)通项公式的推广:an=amqn-m;(2)等比中项的推广与变形: =aman(m+n=2p)及akal=aman(k+l=m+n).2.对已知等比数列的前几项和,求其前多少项和的问题,应用公比不为-1的等比数列前n项和的性质:Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列比较简便.,-25-,考点1,考点2,
11、考点3,考点4,对点训练3(1)已知在各项均为正数的等比数列an中,a5a6=4,则数列log2an的前10项和为()A.5B.6C.10D.12(2)已知等比数列an的首项a1=-1,其前n项和为Sn,若 ,则公比q=.,答案,解析,-26-,考点1,考点2,考点3,考点4,例5(2017全国,文17)已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.思考解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?,答案,-27-,考点1,考点2,考点3,考点4,解题心得等差数列
12、和等比数列的综合问题,涉及的知识面很宽,题目的变化也很多,但是万变不离其宗,只要抓住基本量a1,d(q)充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理调用相关知识,就不难解决这类问题.,-28-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练4已知等差数列an满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.(1)求数列an的通项公式;(2)记Sn为数列an的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.,解 (1)设数列an的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4.当d=
13、0时,an=2;当d=4时,an=2+(n-1)4=4n-2,从而得数列an的通项公式为an=2或an=4n-2.,-29-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)当an=2时,Sn=2n.显然2n60n+800成立.当an=4n-2时,即n2-30n-4000,解得n40或n60n+800成立,n的最小值为41.综上,当an=2时,不存在满足题意的n;当an=4n-2时,存在满足题意的n,其最小值为41.,-30-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.2
14、.判定等比数列的方法(1)定义法: (q是不为零的常数,nN+)?an是等比数列.(2)通项公式法:an=cqn-1(c,q均是不为零的常数,nN+)?an是等比数列.(3)等比中项法: =anan+2(anan+1an+20,nN+)?an是等比数列.,-31-,考点1,考点2,考点3,考点4,3.求解等比数列问题常用的数学思想(1)方程思想:如求等比数列中的基本量;(2)分类讨论思想:如求和时要分q=1和q1两种情况讨论,判断单调性时对a1与q分类讨论.,1.在等比数列中,易忽视每一项与公比都不为0.2.求等比数列的前n项和时,易忽略q=1这一特殊情形.,-32-,审题答题指导如何理解条件
15、和转化条件典例在等差数列an中,a3+a4+a5=84,a9=73.(1)求数列an的通项公式;(2)对任意mN+,将数列an中落入区间(9m,92m)内的项数记为bm,求数列bm的前m项和Sm.审题要点(1)题干中已知条件有三个:“数列an是等差数列”和两个等式;(2)第(2)问中所含条件可理解为:数列an的各项在所给区间的项数为bm;(3)第(2)问中条件的转化方法:文字语言转化为符号语言,即求满足9man92m的n的范围.,-33-,解(1)设等差数列an的公差为d,由a3+a4+a5=84,可得3a4=84,即a4=28.而a9=73,则5d=a9-a4=45,即d=9.又a1=a4-3d=28-27=1,an=1+(n-1)9=9n-8,即an=9n-8.,-34-,反思提升本题第(2)问设置了落入区间内的项的个数构成新数列,由通项公式及已知区间建立不等式求项数,进而得到所求数列bm的通项公式是解答该问题的核心与关键.,
