1、高三数学第页1张家口市 20222023 学年度高三年级第一学期期末考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号等填写在试卷和答题卡指定位置上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知集合 Ux|1x10，A1，2，3，B1，2，3，4，5，6，则(UA)BA.4，5，6，7，8，9B.1
2、，2，3C.7，8，9D.4，5，62.已知复数 z2i5i2i，则 zA.14iB.14iC.512iD.12i3.已知 a 是 1，3，3，5，7，8，10，11 的上四分位数，在 1，3，3，5，7，8，10，11 中随机取两个数，这两个数都小于 a 的概率为A.14B.514C.1528D.13284.已知函数 f(x)为偶函数，定义域为 R，当 x0 时，f (x)0 的解集为A.(0，1)B.(0，2)C.(1，1)D.(2，2)高三数学第页25.石碾子是我国传统粮食加工工具 如图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚(圆柱形)和碾架组成碾盘中心设竖轴(碾柱)，连碾架，架中装碾滚
3、，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的若推动拉杆绕碾盘转动 2 周，碾滚的外边缘恰好滚动了 5 圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为A.32B.54C.53D.436.已知等差数列an的首项 a10，而 a90，则a1a8a11a16a7a8a14A.0B.2C.1D.127.过点 P(1，1)作圆 E：x2y24x2y0 的切线，则切线方程为A.xy20B.2xy10C.x2y10D.x2y10 或 2xy108.设 aln 22，b13，c42ln 2e2，则A.abcB.cabC.bcaD.ba1，方程 x(x1)2x
4、0，x(x1)log2x0 在区间(1，)的根分别为 a，b，以下结论正确的有A.ba2alog2bB.1a1b1C.ab1三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.已知向量 a(3，2)，b(2，)，ab，则实数_14.已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点 F 到 C 的一条渐近线 y2x0的距离为 2 3，则双曲线 C 的方程为_15.已知直线 l：ykxb 是函数 f(1)ax2(a0)与函数 g(x)ex的公切线，若（1，f(1)）是直线 l 与函数 f(x)相切的切点，则 b_16.已知ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
5、c，且 a4，c3b，则ABC 面积的最大值是_；若 r，R 分别为ABC 的内切圆和外接圆半径，则 rR 的取值范围为_高三数学第页4四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分 10 分)因疫情防控需要，某社区每天都要在上午 6 点到 8 点之间对全社区居民完成核酸采集，该社区有 A，B 两个居民小区，两小区的居住人数之比为 911，这两个小区各设有一个核酸采集点，为了解该社区居民的核酸采集排队时间，用按比例分配分层随机抽样的方法在两小区中随机抽取了 100 位居民，调查了他们一次核酸采集排队时间，根据调查结果绘制了如下频率分布直方图(
6、1)由直方图分别估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长和在一次核酸采集中排队时长超过 16 分钟的居民比例；(2)另据调查，这 100 人中一次核酸采集排队时间超过 16 分钟的人中有 20 人来自 A 小区，根据所给数据，填写完成下面 22 列联表，并依据小概率值0.01 的独立性检验，能否认为排队时间是否超过 16 分钟与小区有关联？排队时间超过 16 分钟排队时间不超过 16 分钟合计A 小区B 小区合计附表：0.1000.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828附：22()()()()()n adbcab cd ac bd，其中 nabc
7、d.参考数据：140.0751.05，180.03750.675，220.0250.55，240.03750.9，260.01250.325，280.01250.35.高三数学第页518.(本小题满分 12 分)已知 Sn为数列an的前 n 项和，Sn2an4n2.(1)证明：数列an4为等比数列；(2)求数列nan的前 n 项和 Tn.19.(本小题满分 12 分)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，(sin Asin B)(sin Asin B)sin C(sin Csin B).(1)求 A；(2)如图，在ABC 所在平面上存在点 E，连接 BE，CE，若 EC 3
8、AC，ACE120，EBC30，BC2，求ABC 的面积20.(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥 PABCD 中，PCPBABBCCDDA2，E 为棱 AP的中点，EBBC.(1)证明：BCPD；(2)若 BE32，求平面 PDC 与平面 PBC 夹角的余弦值高三数学第页621.(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)xeax.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)证明：ln xax11f（x）.22.(本小题满分 12 分)已知动圆 E 过定点 A(6，0)，且在 y 轴上截得的弦 BD 的长为 12，该动圆的圆心 E 的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的方程；(2)点 P 是曲线
9、 C 上横坐标大于 2 的动点，过点 P 作圆(x1)2y21 的两条切线分别与 y 轴交于点 M，N，求PMN 面积的最小值高三数学参考答案及评分标准第页（共 9 页）1张家口市 20222023 学年度高三年级第一学期期末考试数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.D【解析】由 Ux|1x10，A1，2，3，B1，2，3，4，5，6，得(UA)B4，5，6，故选 D.2.A【解析】z5i2i2i5i(2i)(2i)(2i)2i14i，故z14i.故选 A.3.C【解析】由题意，得 875%6，所以
10、 a81029.小于 a 的有 6 个数，所以随机取两个数都小于 a 的概率为 PC26C281528，故选 C.4.B【解析】当 x0 时，f (x)0，得 f(x2x)f(x)，所以|x2x|x|，故|x1|1，解得 0 xe22e23ln 223ln 2213，所以 ab.设 yln xx，则 y1ln xx2.当 x(0，e)时，y0，函数 yln xx单调递增；当 x(e，)时，y0，函数 yln xx单调递减，又 ee22ln 44.又 aln 22ln 44，c4ln 4e2ln e4ln 22e2lne422e22lne22e2lne22e22，所以 ca.综上 ba4，故 C
11、 错误；因为 ba2aa，设 f(m)2mm，则 f(m)2mln 21，当 m1 时，f(m)0，所以当 m1 时，函数 f(m)2mm 单调递增，故 f(m)2mmf(1)1，即 ba1，所以 D 正确三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.4【解析】因为 ab，所以 243，所以4.14.x23y2121【解析】由题意，得 2 32c14，所以 c 15.又ba2，a2b2c2，解得 a23，b212，所以双曲线 C 的方程为x23y2121.15.e e2【解析】根据题意，得 l 与函数 f(x)的切点为(1，a)，设 l 与函数 g(x)ex的切点为(x2，e
12、x2)，又 f(x)2ax，g(x)ex，所以 k2aex2，所以切线 l 的方程为 ya2a(x1)，即 y2axa.同时切线 l 的方程也为 yex2ex2(xx2)，即 yex2xex2x2ex2，所以aex2x2ex2b，解得 x232，所以 be e2.16.3；(34，2)【解析】以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的中点为原点建立直角坐标系，则 B(2，0)，C(2，0)设 A(x，y)，由 c3b，得|AB|3|AC|，所以(x2)2y23(x2)2y2，化简得 x2y25x40，y0，高三数学参考答案及评分标准第页（共 9 页）5所以点 A 到 BC 的最大距离为圆 x2y2
13、5x40 的半径32，故ABC 面积的最大值为 S12|BC|323.由正弦定理，得 2R4sin AR2sin A.因为12r(4b3b)SABC12bcsin A3b22sin Ar3b2sin A4（1b），故 rR32b21b.由b3b4，b43b，得 1b2.令 f(x)x21x(1x0，所以 f(x)在(1，2)上单调递增，故 f(x)的值域为(12，43)，所以 rR 的取值范围是(34，2)四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.(本小题满分 10 分)解：(1)由直方图，得平均数的估计值为4(20.012560.0375100.0
14、5140.075180.0375220.025260.0125)13.4(分)，3分因为 4(0.01250.0250.0375)0.3，所以有 30%的居民排队时长超过 16 分钟，综上，估计该社区居民核酸采集排队时间的平均时长为 13.4 分钟，在一次核酸采集中该社区有 30%的居民排队时长超过 16 分钟.5分(2)由(1)可知样本中有 30%10030(人)排队时长超过 16 分钟.6分又两小区的居住人数之比为 911，故在 A 小区抽取了 45 人，在 B 小区抽取了 55 人，7分故填表如下：排队时间超过 16 分钟排队时间不超过 16 分钟合计A 小区202545B 小区1045
15、55合计30701008分零假设为 H0：排队时间是否超过 16 分钟与所属小区相互独立，即排队时间是否超过 16 分钟与所属小区无关，高三数学参考答案及评分标准第页（共 9 页）62100（20451025）2307045558.136.635x0.01.9分根据小概率值0.01 的独立性检验，我们推断 H0不成立，即排队时间是否超过 16 分钟与所属小区有关联，此推断犯错误的概率不大于 0.01.10分18.(本小题满分 12 分)(1)证明：由题意，得 a1S12a1412，所以 a12，a146.1分由 Sn2an4n2，得 Sn12an14(n1)2，n2，所以 anSnSn1(2a
16、n4n2)2an14(n1)22an2an14，n2，3 分所以 an2an14，n2，故an4an142，n2，4分所以数列an4是以 6 为首项，2 为公比的等比数列.5分(2)解：由(1)得 an462n132n，故 an32n4，6分则 nan3n2n4n.7 分设 bnn2n，其前 n 项和为 Pn，则 Pn12222n2n，2Pn122223n2n1，所以Pn222232nn2n122n1n2n1，所以 Pn(n1)2n12，10分所以 Tn3Pn4(12n)3(n1)2n164n(n1)2(3n3)2n12n22n6.12 分19.(本小题满分 12 分)解：(1)由正弦定理，得
17、(ab)(ab)(cb)c，即 a2b2c2bc，2 分故b2c2a22bc12，由余弦定理，得 cos Ab2c2a22bc12，所以 A120.4 分(2)由平面四边形内角和为 360，可知ABCBEC90.5高三数学参考答案及评分标准第页（共 9 页）7分在ABC 中，由正弦定理，得BCsinBACACsinABC，即232bsinABC.6 分在BEC 中，由正弦定理，得BCsinBECECsinEBC，即2sin(90ABC)3b12，7分所以 sinABCsin(90ABC)14.8 分又 sinABC sin(90ABC)sinABC cosABC12sin(2ABC)，所以 s
18、in(2ABC)12，故 2ABC30，即ABC15，所以ACB45.10 分sin 15sin(4530)223212 6 24.由正弦定理，得2sin 120bsin 15csin 45，所以 c2sin 45sin 120，b2sin 15sin 120，11 分所以 SABC12cbsin A122sin 45sin 1202sin 15sin 120sin 1202 636 24133.12分20.(本小题满分 12 分)(1)证明：由 ABBCCDDA2，得 ADBC，1 分设 F，H 分别为棱 BC 和棱 PD 的中点，连接 PF，DF，HF，EH，如图，所以 EH 綊12AD，
19、故 EH 綊 BF，故 BE 綊 FH.2 分因为 EBBC，所以 FHBC.3 分因为 PCPB，所以 PFBC.又 PF平面 PDF，HF平面 PDF，PFHFF，所以 BC平面 PDF，又 PD平面 PDF，所以 BCPD.4 分(2)解：由(1)知 BC平面 PDF，所以 BCDF.又 DC2，CF1，故 DF 3.高三数学参考答案及评分标准第页（共 9 页）8因为 BE32，且 BE 綊 FH，所以 FH32.因为 PBPCBC2，F 为 BC 的中点，所以 PF 3，故 PD 3，PDF 为等边三角形由 BC平面 PDF，BC平面 ABCD，得平面 PDF平面 ABCD.以 F 为
20、坐标原点，分别以直线 FD，FB 为 x，y 轴，以过点 F 且垂直于平面 ABCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 Fxyz.6 分所以 F(0，0，0)，D(3，0，0)，C(0，1，0)，P32，0，32.7 分设 m(x1，y1，z1)为平面 PBC 的法向量，则有mCF0，mCP0，即y10，32x1y132z10，可取 m(3，0，1)，8分设 n(x2，y2，z2)为平面 PDC 的法向量，则有nCD0，nCP0，即3x2y20，32x2y232z20，可取 n(3，3，1)，10分所以|cosm，n|mn|m|n|1313，所以平面 PDC 与平面 PBC 夹角的
21、余弦值为1313.12分21.(本小题满分 12 分)(1)解：f(x)的定义域为 R，f (x)eax(ax1)，1 分当 a0 时，f (x)0 时，在区间，1a 上，f (x)0，在区间1a，上，f (x)0，所以函数 f(x)在区间，1a 上单调递增，在区间1a，上单调递减；3 分当 a0 时，在区间，1a 上，f (x)0，所以函数 f(x)在区间，1a 上单调递减，在区间1a，上单调递增.4 分(2)证明：f(x)xeaxeaxln x，5分要证 ln xax11f（x），即证 ln xax11eaxln x.6 分设 g(x)x1ex，则 g(x)1ex，7 分在区间(，0)上，
22、g(x)0，所以函数 g(x)在区间(，0)上单调递减，在区间(0，)上单调递增，9 分所以 g(x)g(0)0，10 分故(ln xax)11eaxln x0，当 ln xax0 时等号成立，所以 ln xax11eaxln x成立，故 ln xax11f（x）.12 分22.(本小题满分 12 分)解：(1)设 E(x，y)，则 EAr，所以 EA2x2BD22，2分即(x6)2y2x236，化简得 y212x.3分(2)设 P(x0，y0)，直线 PM 为 yy0k1(xx0)，直线 PN 为 yy0k2(xx0)，则 y2012x0，M(0，y0k1x0)，N(0，y0k2x0)，4分
23、故|MN|k2k1|x0 x0(k2k1)24k2k1.5分又直线 PM 和直线 PN 与圆(x1)2y21 相切，所以|k1(1x0)y0|k211|k2(1x0)y0|k2211，高三数学参考答案及评分标准第页（共 9 页）10故 k1，k2是方程|k(1x0)y0|k211 的两个根，6分即 k1，k2是方程(x202x0)k22y0(1x0)ky2010 的两个根，所以 k1k22y0(1x0)x202x0，k1k2y201x202x0.8 分则PMN 的面积 SPMN12|MN|x0 x202(k2k1)24k2k1x2024y20(1x0)2(x202x0)24(y201)x202x0 x0y20(1x0)2(y201)(x202x0)(x02)2 x0 x202x0y20(x02)2 x0 x202x012x0(x02)2x4010 x30(x02)2.9分设 f(x)x410 x3(x2)2，x2，则 f (x)2x2(x6)(x5)(x2)3.10 分所以当 x(2，5)时，f (x)0，函数 f(x)单调递增.11 分所以当 x05 时，SPMN取得最小值，最小值为25 33.12 分
