1、德阳市高中2 0 2 0级第一次诊断考试数学参考答案与评分标准(理科)一、选择题(每小题5分,共6 0分)题号1234567891 01 11 2答案ACBCDDCBABBD二、填空题(每小题5分,共2 0分)1 3.1 2 1 4.12 1 5.s i n2x+4 1 6.2 23,1.三、解答题1 7.解:(1)由题意知:Sn=n a1+n(n-1)2d=d n2+(2-d)n2所以S2n=4d n2+2(2-d)n2所以SnS2n=d n2+(2-d)n4d n2+2(2-d)n=d n+2-d4d n+4-2d为常数.因为d0,故只要d4d=2-d4-2d,解得d=2此时an=2n-1
2、.6分(2)由(1)知an=2n-1,bn=2n-1an=(2n-1)2n-1.所以Tn=120+321+(2n-1)2n-1得2Tn=121+322+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n两式相减得:-Tn=120+221+22n-1-(2n-1)2n=1+22(1-2n-1)1-2-(2n-1)2n=(3-2n)2n-3所以Tn=(2n-3)2n+3.1 2分)页7共(页1第案答)理(学数三高1 8.解:(1)在A B C中,由正弦定理及ba=c o sB+13 s i nA得:3 s i nAs i nB=s i nAc o sB+s i nA因为s i nA0,所以3 s i nB-c
3、 o sB=1即s i nB-6 =12得:B-6=6或56解得B=3.6分(2)若选条件:c o sA=33,b=1.易知符合条件的A B C存在且唯一.A C边上的高为cs i nA.由c o sA=33得:s i nA=63所以s i nC=s i n(-A-B)=s i nA+3 =s i nA+3 c o sA2=6+36.故c=bs i nCs i nB=6+3632=2+33,所以A C边上的高为cs i nA=2 3+3 29.1 2分若选条件:b=2,c=23,由于cs i nB=32,所以符合条件的A B C不存在.若选条件:a=3,c=2,由余弦定理得:b2=9+4-23
4、2c o s3=7.所以b=78分由正弦定理s i nCc=s i nBb得:s i nC=cs i nBb=232 7=2 17.1 1分所以A C边上的高为as i nC=3 2 17.1 2分)页7共(页2第案答)理(学数三高1 9.解:(1)由题得:x-=8,y-=6.5所以b=8i=1xiyi-8x-y-8i=1x2i-8x-2=4 5 9.5-886.55 8 0-86 4=0.6 4 a=y-bx-=6.5-0.6 48=1.3 8.故月利润y(千元)关于月销售量x(百个)的回归方程为:y=0.6 4x+1.3 8.6分(2)的所有可能取值为0、1、2、3,则P(=0)=C34C
5、38=45 6,P(=1)=C24C14C38=2 45 68分P(=2)=C14C24C38=2 45 6,P(=3)=C34C38=45 61 0分故的分布列为:0123P45 62 45 62 45 645 6的数学期望E=045 6+12 45 6+22 45 6+345 6=32.1 2分2 0.解:(1)因为f(x)=x2+(a-1)x-a=(x+a)(x-1)令f(x)=0解得:x=1或x=-a1分因为a0,可知f(x)在(-,-a)上单增,(-a,1)上单减,(1,+)上单增.2分所以f(x)极大值=f(-a)=16a3+12a23分f(x)极小值=f(1)=-a2-16.4分
6、(2)由(1)知f(x)在(-,-a)上单增,(-a,1)上单减,(1,+)上单增.当a1时,f(x)在-1,1上单减,在1,2上单增.所以f(x)在区间-1,2的最小值m=f(1)=-a2-16.5分)页7共(页3第案答)理(学数三高最大值M为f(-1)=3a2-56与f(2)=23的较大者.因为f(-1)-f(2)=3a2-320,所以M=3a2-56.7分因为M+m13,23 ,即M+m=f(-1)+f(1)=a-113,23 所以a43,53 .8分f(x)的三个零点x1,x2,x3为方程13x3+12(a-1)x2-a x=0的三个根,显然一根为0,不妨设x3=0,那么x1,x2为方
7、程13x2+12(a-1)x-a=0的两根,所以x1x2=-3a.9分故f(x1x2+x2x3+x3x1)=f(-3a)=-9a3+3a22a43,53 .1 0分令g(a)=-9a3+3a22a43,53 有g(a)=-2 7a2+6a20,故只要texc o sx在-2,2 上恒成立.令F(x)=exc o sx,x-2,2 .因为F(x)=ex(s i nx+c o sx)c o s2x,x-2,2 .)页7共(页4第案答)理(学数三高令F(x)=ex(s i nx+c o sx)c o s2x0,解得x-4,2 .故F(x)在-4,2 上单增,在-2,-4 上单减.所以F(x)m i
8、n=F-4 =2e-4.即实数t的取值范围为-,2e-4 .4分(2)由题意,只要找出t(0,+),使得x0时,h(x)0;x0时,h(x)0时,h(x)0成立且若x0时,h(x)0,h(x)=ex-12s i nx-1,所以h(x)=ex-12c o sx因为x0,故ex112c o sx,即h(x)=ex-12c o sx0恒成立.所以h(x)在(0,+)上单增,故h(x)f(0)=0.即x0时,h(x)0成立.8分当t=12时,若x0,h(x)=ex-12s i nx-1由(1)知当t-,2e-4 时,ex-ts i nx-1在-2,0 上单调递增.因为e6 4e42 212 2e-4所
9、以h(x)=ex-12s i nx-1在-2,0 上单调递增故当x-2,0 时,h(x)412e-2所以exe-21212s i nx+1即当x-,-2 时,也有h(x)0.1 1分综上,t(0,+),对xR,a0,+),使得x h(x)=a总成立.1 2分2 2.解:(1)曲线C1的极坐标方程为2-2c o s-2 3s i n+3=0.2分设直线l的极坐标方程为=,直线l与曲线C1的交点极坐标分别为A(A,),B(B,),则|O A|O B|=|A|B|.因为A、B是方程2-2c o s-2 3s i n+3=0的两根,故AB=3.所以|O A|O B|为常数3.5分(2)若直线l平分曲线
10、C1,则直线l的直角坐标方程为y=3x,易知|A B|=2.6分直线O P的方程为y=-33x代入曲线C2的参数方程x=3t2y=3t 得3t=-3t2所以点P的坐标为(3,-3),故|O P|=2 3,所以P A B的面积为2 3.1 0分2 3.解:(1)因为y=f(x-1)-f(x+5)=|x-1|-|x+5|=6,x-5-2x-4,-51.故y=f(x-1)-f(x+5)的图象为根据图象得原不等式的解集为0,+).5分(2)f(x-1)-f(x+5)+k f(x+2)0|x-1|-|x+5|+k|x+2|0恒成立.)页7共(页6第案答)理(学数三高当x=-2时,不等式显然成立.当x-2
11、时,原不等式k|x+5|-|x-1|x+2|=1+3x+2-1-3x+2.令t=1x+2,t0,那么只要k|1+3t|-|1-3t|在t0时恒成立.因为|1+3t|-|1-3t|1+3t+1-3t|=2,所以只要k2即可.故实数k的取值范围为2,+).1 0分)页7共(页7第案答)理(学数三高德阳市高中2 0 2 0级第一次诊断考试数学参考答案与评分标准(文科)一、选择题(每小题5分,共6 0分)题号1234567891 01 11 2答案ACBCDDCBABBD二、填空题(每小题5分,共2 0分)1 3.2 1 4.12 1 5.s i n2x+4 1 6.2 23,1.三、解答题1 7.解
12、:(1)由题意知:Sn=n a1+n(n-1)2d=d n2+(2-d)n2所以S2n=4d n2+2(2-d)n2所以SnS2n=d n2+(2-d)n4d n2+2(2-d)n=d n+2-d4d n+4-2d为常数.因为d0,故只要d4d=2-d4-2d,解得d=2此时an=2n-1.6分(2)由(1)知an=2n-1,bn=2n-1an=(2n-1)2n-1.所以Tn=120+321+(2n-1)2n-1得2Tn=121+322+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n两式相减得:-Tn=120+221+22n-1-(2n-1)2n=1+22(1-2n-1)1-2-(2n-1)2n=(3
13、-2n)2n-3所以Tn=(2n-3)2n+3.1 2分)页6共(页1第案答)文(学数三高1 8.解:(1)在A B C中,由正弦定理及ba=c o sB+13 s i nA得:3 s i nAs i nB=s i nAc o sB+s i nA因为s i nA0,所以3 s i nB-c o sB=1即s i nB-6 =12得:B-6=6或56解得B=3.6分(2)若选条件:c o sA=33,b=1.易知符合条件的A B C存在且唯一.A C边上的高为cs i nA.由c o sA=33得:s i nA=63所以s i nC=s i n(-A-B)=s i nA+3 =s i nA+3
14、c o sA2=6+36.故c=bs i nCs i nB=6+3632=2+33,所以A C边上的高为cs i nA=2 3+3 29.1 2分若选条件:b=2,c=23,由于cs i nB=32,所以符合条件的A B C不存在.若选条件:a=3,c=2,由余弦定理得:b2=9+4-232c o s3=7.所以b=78分由正弦定理s i nCc=s i nBb得:s i nC=cs i nBb=232 7=2 17.1 1分所以A C边上的高为as i nC=3 2 17.1 2分)页6共(页2第案答)文(学数三高1 9.解:(1)由题得:x-=8,y-=6.5所以b=8i=1xiyi-8x
15、-y-8i=1x2i-8x-2=4 5 9.5-886.55 8 0-86 4=0.6 4 a=y-bx-=6.5-0.6 48=1.3 8.故月利润y(千元)关于月销售量x(百个)的回归方程为:y=0.6 4x+1.3 8.6分(2)设装有“五年高考三年模拟”玩偶的盲盒为1、2、3;装有“教材全解”玩偶的盲盒为a、b、c.则从6个盲盒中随机选出3个的所有可能情况有:(1、2、3),(1、2、a),(1、2、b),(1、2、c),(1、3、a),(1、3、b),(1、3、c),(2、3、a),(2、3、b),(2、3、c),(1、a、b),(1、a、c),(1、b、c),(2、a、b),(2、
16、a、c),(2、b、c),(3、a、b),(3、a、c),(3、b、c),(a、b、c)共2 0种情况,其中装有“五年高考三年模拟”玩偶的个数至少为2个的有1 0种情况.故3个盲盒中装有“五年高考三年模拟”玩偶的个数至少为2个的概率为12.1 2分2 0.解:(1)因为f(x)=x2+(a-1)x-a=(x+a)(x-1)令f(x)=0解得:x=1或x=-a1分因为a0,可知f(x)在(-,-a)上单增,(-a,1)上单减,(1,+)上单增.2分所以f(x)极大值=f(-a)=16a3+12a23分f(x)极小值=f(1)=-a2-16.4分(2)由(1)知f(x)在(-,-a)上单增,(-a
17、,1)上单减,(1,+)上单增.当a1时,f(x)在-1,1上单减,在1,2上单增.所以f(x)在区间-1,2的最小值m=f(1)=-a2-16.5分最大值M为f(-1)=3a2-56与f(2)=23的较大者.)页6共(页3第案答)文(学数三高因为f(-1)-f(2)=3a2-320,所以M=3a2-56.7分因为M+m13,23 ,即M+m=f(-1)+f(1)=a-113,23 所以a43,53 .8分f(x)的三个零点x1,x2,x3为方程13x3+12(a-1)x2-a x=0的三个根,显然一根为0,不妨设x3=0,那么x1,x2为方程13x2+12(a-1)x-a=0的两根,所以x1
18、x2=-3a.9分故f(x1x2+x2x3+x3x1)=f(-3a)=-9a3+3a22a43,53 .1 0分令g(a)=-9a3+3a22a43,53 有g(a)=-2 7a2+6a20),令g(x)=(1-x)ex-1(x0)因为g(x)=-x ex0即g(x)在(0,+)上单减所以g(x)g(0)=0,故f(x)0.所以函数f(x)在(0,+)上单减.4分(2)先证当x(0,+)时,f(x)1即xex-1x+1,x0.令g(x)=ex-x-1,x0.)页6共(页4第案答)文(学数三高因为g(x)=ex-1e0-1=0即g(x)在(0,+)上单增所以g(x)g(0)=0,故f(x)1.8
19、分再证当x(0,+)时,1ex+10,x0.令h(x)=(x-1)ex+x+1,x0.因为h(x)=x ex+10即h(x)在(0,+)上单增所以h(x)h(0)=0,故1ex+1f(x).综上,1ex+1f(x)1.1 2分2 2.解:(1)曲线C1的极坐标方程为2-2c o s-2 3s i n+3=0.2分设直线l的极坐标方程为=,直线l与曲线C1的交点极坐标分别为A(A,),B(B,),则|O A|O B|=|A|B|.因为A、B是方程2-2c o s-2 3s i n+3=0的两根,故AB=3.所以|O A|O B|为常数3.5分(2)若直线l平分曲线C1,则直线l的直角坐标方程为y
20、=3x,易知|A B|=2.6分直线O P的方程为y=-33x代入曲线C2的参数方程x=3t2y=3t 得3t=-3t2所以点P的坐标为(3,-3),故|O P|=2 3,所以P A B的面积为2 3.1 0分2 3.解:(1)因为y=f(x-1)-f(x+5)=|x-1|-|x+5|=6,x-5-2x-4,-51.故y=f(x-1)-f(x+5)的图象为)页6共(页5第案答)文(学数三高根据图象得原不等式的解集为0,+).5分(2)f(x-1)-f(x+5)+k f(x+2)0|x-1|-|x+5|+k|x+2|0恒成立.当x=-2时,不等式显然成立.当x-2时,原不等式k|x+5|-|x-1|x+2|=1+3x+2-1-3x+2.令t=1x+2,t0,那么只要k|1+3t|-|1-3t|在t0时恒成立.因为|1+3t|-|1-3t|1+3t+1-3t|=2,所以只要k2即可.故实数k的取值范围为2,+).1 0分)页6共(页6第案答)文(学数三高
