1、第四章第四章 函数函数第一节第一节 函数的基本概念函数的基本概念第二节第二节 函数的合成和合成函数的性质函数的合成和合成函数的性质第三节第三节 二元运算二元运算第一节第一节 函数的基本概念函数的基本概念一、函数的定义一、函数的定义二、特种函数二、特种函数一、函数的定义一、函数的定义1、函数、函数2、函数的定义域、函数的定义域3、函数的值域、函数的值域4、陪域、陪域5、函数相等、函数相等6、函数的图和矩阵表示、函数的图和矩阵表示7、缩小和扩大、缩小和扩大(略略)1、函数、函数函数是满足函数是满足任意性任意性和和唯一性唯一性的二元的二元关系关系。f:XY对对任意任意的的x X都存在都存在唯一唯一的
2、的y Y fy=f(x)，任意性任意性唯一性唯一性函数函数映射映射原像原像像点像点函数举例函数举例设设X=x1,x2,x3,x4,Y=y1,y2,y3判断下列关系是否是函数？判断下列关系是否是函数？f1=,f2=,f3=,解答解答f1=,不是函数。不是函数。x2对应两个不同的像点对应两个不同的像点y2和和y3不满足唯一性。不满足唯一性。解答解答f2=,是函数是函数满足任意性和唯一性。满足任意性和唯一性。解答解答f3=,不是函数。不是函数。原像原像x2没有像点没有像点不满足任意性不满足任意性。2、函数的定义域、函数的定义域函数函数f:XY定义域定义域Df3、函数的值域、函数的值域函数函数f:XY
3、f(X)是是f的的值域值域由像点组成的集合由像点组成的集合Rff(X)Y4、陪域、陪域函数函数f:XY陪域陪域定义域、值域及陪域举例定义域、值域及陪域举例f:XYX=x1,x2,x3,x4,Y=y1,y2,y3,y4,y5,y6函数举例函数举例判断下列关系中哪个能构成函数？判断下列关系中哪个能构成函数？(1)f1=|x1,x2 N,x1+x210(2)f2=|x1,x2 R,x22=x1(3)f3=|x1 N,x2为非负整数为非负整数,x2为为小于等于小于等于x1的素数的个数的素数的个数解答解答(1)f1=|x1,x2 N,x1+x210不能构成函数。不能构成函数。(1)不满足任意性不满足任意
4、性:Df=1,2,3,4,5,6,7,8N(2)不满足唯一性：不满足唯一性：f1(1)=1,f1(1)=2,f1(1)=8解答解答(2)f2=|x1,x2 R,x22=x1不能构成函数。不能构成函数。(1)不满足任意性不满足任意性:Df=R+R(2)不满足唯一性：不满足唯一性：一个一个x1对应两个不同的对应两个不同的x2例如：例如：22=4,(-2)2=4解答解答(3)f3=|x1 N,x2为非负整数为非负整数,x2为小为小于等于于等于x1的素数的个数的素数的个数能构成函数。能构成函数。满足任意性和唯一性：对于满足任意性和唯一性：对于任意任意的一个自然数的一个自然数x1，小于小于x1的素数个数
5、是的素数个数是唯一唯一的。的。例如例如:f3(1)=0:小于小于1的素数不存在；的素数不存在；f3(2)=1:小于小于2的素数有的素数有1个：个：1 f3(3)=2:小于小于3的素数有的素数有2个：个：1,2 f3(4)=3:小于小于3的素数有的素数有3个：个：1,2,35、函数相等、函数相等函数函数f和函数和函数g相等相等函数函数f:AB，g:C DA=CB=D对所有对所有xA和和xC都有都有f(x)=g(x)f=g函数相等举例函数相等举例设设f:AB,g:CD,h:EFA=C=E=1,2,3,B=D=a,b,c,F=a,b,c,df(1)=a,f(2)=a,f(3)=c h(1)=a,h(
6、2)=a,h(3)=cg(1)=a,g(2)=a,g(3)=cf=gfhBFghDF6、函数的图和矩阵表示、函数的图和矩阵表示图图Gf：f(x)=y f从从x有一条到有一条到y的有向弧的有向弧矩阵矩阵Mf：每一行有且仅有一个元素为每一行有且仅有一个元素为“1”。化简的化简的Mf：二列矩阵二列矩阵第一列：第一列：Df第二列：第二列：Rf函数的图和矩阵表示举例函数的图和矩阵表示举例X=a,b,c,d,e Y=,f=,求：求：Df、Rf、Gf、Mf、简化的、简化的MfDf=X=a,b,c,d,eRf=,Y解答解答X=a,b,c,d,e Y=,f=,举例举例X=a,b,c Y=0,1问：存在多少个从问
7、：存在多少个从X到到Y的的二元关系二元关系？存在多少个从存在多少个从X到到Y的的函数函数？解答解答X Y=,|X Y|=6关系是笛卡尔乘积的子集关系是笛卡尔乘积的子集|(X Y)|=26结论：存在结论：存在26个从个从X到到Y的二元关系的二元关系解答解答函数是满足任意性和唯一性的二元关系函数是满足任意性和唯一性的二元关系结论：存在结论：存在|Y|X|=23个从个从X到到Y的函数。的函数。结论结论则则:|BA|=|B|A|BA:从从A到到B的所有可能的函数的集合的所有可能的函数的集合BA=f|f:AB7、缩小和扩大、缩小和扩大(略略)f:XY A X(1)g:AY g=f(A Y)称称g是函数是
8、函数f的缩小，并记作的缩小，并记作f/A(2)若若g是是f的缩小，则的缩小，则f是是g的扩大。的扩大。由定义可知：由定义可知：Dg Df g f缩小即原有的对应关系不变，但定义域缩小。缩小即原有的对应关系不变，但定义域缩小。缩小和扩大举例缩小和扩大举例设设A=-1，0，1 f:A2B(1)写出写出f的全部序偶；的全部序偶；(2)求求Rf;(3)写出写出f/0,12中的全部序偶。中的全部序偶。000),(yxyxyxyxf若若f的全部序偶和的全部序偶和Rf(1)A2=A A=-1,0,1-1,0,1=,f()=0,f()=-1,f()=-2,f()=1,f()=0,f()=-1f()=2,f()
9、=1,f()=0f=,0,-1,-2,1,0,-1,2,1,0(2)Rf=-2,-1,0,1,2000),(yxyxyxyxf若若0,12 Rf中的全部序偶中的全部序偶f/0,12=f(0,12 Rf)0,12=0,1 0,1=,Rf=-2,-1,0,1,20,12 Rf=,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2 f/0,12中的全部序偶中的全部序偶f/0,12=f(0,12 Rf)=,0,-1,-2,1,0,-1,2,1,0 ,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2,-2,-1,0,1,2 =,0,-1,
10、1,0缩小的举例缩小的举例X=a1,a2,a3,x4,x5Y=y1,y2,y3,y4,y5A=a1,a2,a3f=,求：求：f/A解答解答f/A=,二、特种关系二、特种关系1、满射函数、满射函数2、内射函数、内射函数3、单射函数、单射函数4、双射函数、双射函数5、恒等函数、恒等函数1、满射函数、满射函数函数函数f:XY若若f(X)=Rf=Y值域陪域值域陪域f是滿射函数是滿射函数映满的映射映满的映射f是滿射函数是滿射函数对任意的对任意的y Y，在在X中必有原像中必有原像x与之对应与之对应f(x)=y像点的集合像点的集合满射举例满射举例A=a,b,c,dB=1,2,3f:ABf(a)=f(b)=1
11、,f(c)=3,f(d)=2 Rf=1,2,3=B f是满射函数。是满射函数。2、内射函数、内射函数函数函数f:XY若若Rf Yf是内射函数是内射函数映入的映射映入的映射3、单射函数、单射函数函数函数f:XY对任意对任意x1，x2Xx1x2f(x1)f(x2)如果原像不同如果原像不同,则像点不同则像点不同或或 f(x1)=f(x2)X1=x2如果像点相同如果像点相同,则原像相同则原像相同则则f是单射函数是单射函数一对一的映射一对一的映射内射、单射举例内射、单射举例A=a,b B=2,4,6f:ABf(a)=2,f(b)=4 Rf=2,4 B f是内射函数是内射函数且且f也是单射函数。也是单射函
12、数。4、双射函数、双射函数函数函数f:XYf是满射的是满射的f是单射的是单射的f是是双射函数双射函数一对一映满的映射一对一映满的映射5、恒等函数、恒等函数函数函数I Ix x:XX对于所有的对于所有的xX:Ix x=|xX恒等函数恒等函数双射函数双射函数特种函数举例特种函数举例(1)f1(x)=x2(2)f2(x)=2x(3)f3(x)=x3(4)f4(x)=x3-x2-5x+6问以上问以上4个函数各是什么函数？个函数各是什么函数？解答解答(1)f1(x)=x2 f1不是满射函数；不是满射函数；f1(x)=f1(x)=x2 f1不是单射函数不是单射函数；Rf1为正实数集合，不是实数集合为正实数
13、集合，不是实数集合解答解答(2)f2(x)=2x不是满射函数。不是满射函数。是单射函数是单射函数解答解答(3)f3(x)=x3是单射函数是单射函数是满射函数是满射函数是双射函数是双射函数解答解答(4)f4(x)=x3-x2-5x+6=(x-1)(x+2)(x-3)是满射函数是满射函数不是单射函数不是单射函数第二节函数的合成和合成函数的性质第二节函数的合成和合成函数的性质一、合成函数的定义一、合成函数的定义二、反函数二、反函数一、合成函数的定义一、合成函数的定义函数函数f:XY函数函数g:YZg f=|xXzZ(y)(yYy=f(x)z=g(y)f和和g的合成函数的合成函数复合函数复合函数函数函
14、数f和和g合成的书写格式合成的书写格式:关系关系R和和S合成的书写格式合成的书写格式:R Sg f从左到右从左到右从右到左从右到左fg定理定理函数函数f:XY 函数函数g:YZg f:XZ是函数是函数(g f)(x)=g(f(x)x X证明证明显然显然g f是从是从X到到Z的关系的关系(1)任意性：任意性：f是函数是函数:对任意的对任意的x X 存在存在y Y，使得使得 fg是函数是函数:对任意的对任意的y Y存在存在z Z，使得使得 g f g g f由复合关系的定义：由复合关系的定义：对于每一个对于每一个x X，都存在都存在Z中的某个像点中的某个像点z与之对应与之对应Dg fX证明（续）证
15、明（续）(2)唯一性：唯一性：g f g f假设假设且且z1 z2 g f存在存在y1 Y f g g f存在存在y2 Y f gy1 y2 yz1 z2 z合成函数举例合成函数举例设设X=1,2,3,Y=p,q,Z=a,b,f=,g=,求求g f。g f=,定理定理函数的合成运算是函数的合成运算是可结合可结合的，即：的，即：h (g f)=(h g)ff:XY g:YZh:Z W证明证明设：设：f，g，h f g g f h h (g f)g h h g f(h g)f是任意的是任意的h (g f)=(h g)f合成函数满足结合律的图解表示合成函数满足结合律的图解表示fghg fh gh (
16、g f)(h g)f合成函数举例合成函数举例设设R为实数集合为实数集合,对对xR有：有：f(x)=x+2,g(x)=2x,h(x)=3x;求求g f，h (g f)，f f，g g，f g，(h g)f解答解答合成函数不满足交换律合成函数不满足交换律g f(x)=g(f(x)=g(x+2)=2(x+2)h (g f)(x)=h(g f(x)=h(2(x+2)=6(x+2)f f(x)=f(f(x)=f(x+2)=(x+2)+2=x+4g g(x)=g(g(x)=g(2x)=4xf g(x)=f(g(x)=f(2x)=2x+2=2(x+1)(h g)f(x)=(h g)(f(x)=(h g)(x
17、+2)=6(x+2)h g(x)=h(g(x)=h(2x)=6x合成函数满足结合律合成函数满足结合律函数合成运算结合律的推广函数合成运算结合律的推广f1:X1X2,f2:X2X3,fn:XnXn+1fn fn-1 f2 f1 :X1Xn+1若：若：f1=f2=fn X1=X2=Xn+1，则：则：fn=f f f f :XX等幂函数等幂函数函数函数f:XXf2=ff f等幂函数等幂函数定理定理设函数设函数f:XY,g:YZ,g f是一个复是一个复合函数，则：合函数，则：(1)若若g和和f是满射的是满射的,则则g f是满射的是满射的.(2)若若g和和f是单射的是单射的,则则g f是单射的是单射的.
18、(3)若若g和和f是双射的是双射的,则则g f是双射的是双射的.证明（证明（1）对于任意的对于任意的zZZ存在存在xX,使得：使得：g f对于任意的对于任意的zZZg是满射的是满射的存在一个存在一个yY，使得使得g(y)=zf是满射的是满射的对于对于yY，必有必有xX，使得使得f(x)=yz=g(y)=g(f(x)=g f(x)g fg f是满射函数是满射函数证明（证明（2）x1x2 g f(x1)g f(x2)x1x2 f是单射的是单射的f(x1)f(x2)y1y2g是单射的是单射的g(y1)g(y2)g(f(x1)g(f(x2)g f(x1)g f(x2)g f是单射的是单射的定理定理设函
19、数设函数f:XY,g:YZ,g f是一是一个复合函数，则：个复合函数，则：(1)若若g f是满射的是满射的,则则g是满射是满射的的.(2)若若g f是单射的是单射的,则则f是单射是单射的的.(3)若若g f是双射的是双射的,则则g是满射的，是满射的，f是单射的是单射的.证明（证明（2）x1x2 f(x1)f(x2)x1x2 g f是单射的是单射的g f(x1)g f(x2)g(f(x1)g(f(x2)g(y1)g(y2)函数的唯一性函数的唯一性y1y2f(x1)f(x2)f是单射的是单射的定理定理设函数设函数 f:XY,IX是是X上的恒等函数，上的恒等函数，IY是是Y上的恒等函数，则上的恒等函
20、数，则 f=f IX=IY f证明证明设设:x X y YIX(x)=xIY(y)=yf IX(x)=f(IX(x)=f(x)f IX=fIY f(x)=IY(f(x)=f(x)IY f=f定理定理函数函数 f:XY f-1:f的逆关系，则：的逆关系，则：f-1是从是从Y到到X的函数的函数 f是双射函数是双射函数举例举例:f不是满射函数不是满射函数设函数设函数 f:XYX=a,b,c Y=1,2,3,4f=,f的逆关系的逆关系f-1=,，不满足函数的任意性不满足函数的任意性不是函数不是函数举例举例:f不是单射函数不是单射函数设函数设函数 f:XYX=a,b,c Y=1,2f=,f的逆关系的逆关
21、系f-1=,，不满足唯一性不满足唯一性不是函数不是函数2、反函数、反函数设设 f:XY是是双射函数双射函数，则，则:f的逆关系称的逆关系称f的反函数的反函数注意：注意：只有双射函数才有反函数。只有双射函数才有反函数。f-1证明证明(1)f:XY 则则f-1:YX假设假设f不是满射函数，则不是满射函数，则:与函数的任意性相矛盾与函数的任意性相矛盾Rf YRf=Df-1Df-1 Y证明证明(2)假设假设f不是单射函数，则：不是单射函数，则：x1x2f(x1)f(x2)yf(x1)yf(x2)yf-1(y)x1f-1(y)x2原像原像像点像点像点像点与函数的唯一性相矛盾与函数的唯一性相矛盾定理定理设
22、设 f:XY是一双射函数是一双射函数,则则:f的反函数的反函数f-1:YX也是一个双射函数。也是一个双射函数。证明证明(1)f-1 是从是从 Y到到X的函数；的函数；(2)f-1是满射函数；是满射函数；(3)f-1是单射函数；是单射函数；证明：证明：f-1 是从是从 Y到到X的函数的函数f是双射函数是双射函数f是满射函数是满射函数对任意的对任意的y Y必存在必存在x X f f-1Df-1Yf-1是满足任意性的是满足任意性的f是双射函数是双射函数f是单射函数是单射函数对任意的对任意的y Y恰有一个的恰有一个的x X f仅有一个x X f-1f-1是满足唯一性的是满足唯一性的证明：证明：f-1是
23、满射函数是满射函数R f-1=f-1是满射函数是满射函数Df=X证明：证明：f-1是单射函数是单射函数假设假设f-1不是单射函数，即：不是单射函数，即：y1y2但是有但是有 f-1(y1)f-1(y2)f是函数是函数f-1(y1)x1f-1(y2)x2x1 x2 f(x1)f(x2)y1 y2与假设相矛盾与假设相矛盾 f-1是单射函数是单射函数定理定理若若 f:XY是双射函数是双射函数,则则(f-1)-1=f。证明：对任意的证明：对任意的(f-1)-1 f-1 f(f-1)-1=f定理定理函数函数 f:XY反函数反函数 f-1:YXf-1 f=IXf f-1=IY证明：证明：设设f(x)=yf
24、-1(y)=xf-1 f(x)=f-1(f(x)=f-1(y)=x f-1 f=IXf f-1(y)=f(f-1(y)=f(x)=y f f-1=IY举例举例f:XYX=0,1,2 Y=a,b,cf=,求：求：f-1 f，f f-1解答解答f-1=,(f-1 f)(0)=f-1(f(0)=f-1(c)=0(f-1 f)(1)=f-1(f(1)=f-1(a)=1(f-1 f)(2)=f-1(f(2)=f-1(b)=2 f-1 f=,=IX 解答解答(f f-1)(a)=f(f-1(a)=f(1)=a(f f-1)(b)=f(f-1(b)=f(2)=b(f f-1)(c)=f(f-1(c)=f(0
25、)=c f f-1=,=IYf-1=,定理定理f:XYg:YZ(g f)-1=双射函数双射函数 g-1f-1证明证明f:XYg:YZg f:X Z(g f)-1:ZX对任意的对任意的 (g f)-1 g f(y)(y Y f g)(y)(y Y f-1 g-1)(y)(y Y g-1 f-1)f-1 g-1举例举例X=1,2,3FX:从从X到到X上的所有上的所有双射函数双射函数组成的集合组成的集合求：求：FX的所有函数及其反函数。的所有函数及其反函数。解答解答f1=,=IXf2=,f3=,f4=,f5=,f6=,FX=f1,f2,f3,f4,f5,f6 f1-1=,=f1f2-1=,=f2f3
26、-1=,=f3f4-1=,=f4f5-1=,=f6f6-1=,=f5解答解答(续续)f1f2f3f4f5f6f1f1f2f3f4f5f6f2f2f1f6f5f4f3f3f3f5f1f6f2f4f4f4f6f5f1f3f2f5f5f3f4f2f6f1f6f6f4f2f3f1f5若若|X|X|n,n,则则X X上双上双射函数的个数为射函数的个数为n!n!f3 f2=,=f5举例举例|X|=m|Y|=n问：存在满射函数、单射函数、双射函数的问：存在满射函数、单射函数、双射函数的必要条件是什么？必要条件是什么？mnmnm=n第三节第三节 二元运算二元运算一、基本概念一、基本概念二、二元运算的性质二、二
27、元运算的性质三、二元运算中的特异元素三、二元运算中的特异元素一、基本概念一、基本概念1、二元运算、二元运算2、n元运算元运算3、二元运算的封闭性、二元运算的封闭性1、二元运算、二元运算X:集合集合f:X2X的映射的映射f为为X中的中的二元运算二元运算解释：解释：一个运算符联系着两个运算分量一个运算符联系着两个运算分量f()=z运算符运算符运算分量运算分量运算分量运算分量运算结果运算结果xfy=zx,y,zXzX封闭封闭性性2、n元运算元运算X:集合集合f:XnX的映射的映射f为为X中的中的n元运算元运算运算的阶运算的阶f=xx1,x2,xn,x X3、二元运算的封闭性、二元运算的封闭性注意：注
28、意：任意一个二元运算必须满足封闭性任意一个二元运算必须满足封闭性A:集合集合f:A2B的映射的映射B A二元运算是封闭的二元运算是封闭的二元运算举例二元运算举例设设A=x|x=2n,n N 问：乘法运算是否封闭？对加法运算呢？问：乘法运算是否封闭？对加法运算呢？乘法运算：乘法运算：对于任意的对于任意的2r、2s A2r 2s=2r+s A乘法运算在乘法运算在A上封闭；上封闭；加法运算：加法运算：21+22=6 A加加法运算在法运算在A上不封闭；上不封闭；举例举例判断乘法运算是否在下列各判断乘法运算是否在下列各N的子集上封闭？的子集上封闭？(1)A1=0,1(2)A2=1,2(3)A3=x|x为
29、素数为素数(4)A4=x|x为偶数为偶数(5)A5=x|x为奇数为奇数2 2=4 A22 3=6 A3定理定理*:X中的二元运算中的二元运算S1 XS2 X*在在S1和和S2上是封闭的上是封闭的*在在S1S2上也封闭上也封闭证明证明对任意的两个元素对任意的两个元素x,y S1S2 x,y S1x,y S2*在在S1和和S2上封闭上封闭 x*y S1 x*y S2 x*y S1S2*在在S1S2上也封闭上也封闭二、二元运算的性质二、二元运算的性质1、封闭性（通性）、封闭性（通性）2、交换性交换性3、可结合性、可结合性4、可分配性、可分配性5、吸收律、吸收律1、封闭性（通性）、封闭性（通性）*:X
30、中的二元运算中的二元运算对于任意的对于任意的x,yXx*yX在集合在集合X上满足封闭性上满足封闭性2、交换性交换性*:X中的二元运算中的二元运算对于任意的对于任意的x,yXx*y=y*x*运算是可交换的运算是可交换的3、可结合性、可结合性*:X中的二元运算中的二元运算对于任意的对于任意的x,y,zXx*y*z=x*(y*z)=(x*y)*z*运算是可结合的运算是可结合的二元运算性质举例二元运算性质举例设设Q是有理数集合，是有理数集合，Q上的二元运算定上的二元运算定义为：义为：a*b=a+b-ab a,bQ问问*是否可交换？可结合？是否可交换？可结合？解答解答(1)交换性：交换性：b*a=b+a
31、-ba=a+b-ab=a*b*运算运算满足交换律满足交换律(2)结合性：结合性：a*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-ab-ac-bc+abc(a*b)*c=(a+b-ab)*c=(a+b-ab)+c-(a+b-ab)c=a+b+c-ab-ac-bc+abc=a*(b*c)*运算运算满足结合律满足结合律解答解答二元运算性质举例二元运算性质举例A是非空集合，是非空集合，*是是A上的二元运算，并上的二元运算，并定义为：定义为：a*b=b,证明证明*是可结合的。是可结合的。a*(b*c)*是可结合的是可结合的(a*b)*c=c=a*c=b*c=c
32、4、可分配性、可分配性*,:X中的二元运算中的二元运算对于任意的对于任意的x,y,zXx*(yz)=(x*y)(x*z)(yz)*x=(y*x)(z*x)*对可分配对可分配5、吸收律、吸收律*,:X中的中的可交换可交换的二元运算的二元运算对于任意的对于任意的x,yXx*(x y)=x(x*y)=xx*和满足吸收律和满足吸收律二元运算性质举例二元运算性质举例在在N上定义两个二元运算上定义两个二元运算*和，对任和，对任意的意的x,yN，有：有：x*y=max(x,y)xy=min(x,y)验证：验证：*和满足吸收律。和满足吸收律。解答解答x*(xy)=x*(min(x,y)=max(x,min(x
33、,y)=xyx=yxyx=yxymin(x,x)=xmin(x,x)=xmin(x,y)=x*和和满满足足吸吸收收律律三、二元运算中的特异元素三、二元运算中的特异元素1、幺元、幺元e（左幺元左幺元el、右幺元右幺元er）2、零元、零元（左零元左零元l、右零元右零元r）3、逆元（左逆元、逆元（左逆元xl、右逆元右逆元xr）4、等幂元、等幂元5、可约的（可消去的）、可约的（可消去的）6、由运算表求特异元素、由运算表求特异元素1、幺元、幺元e（左幺元左幺元el、右幺元右幺元er）*:X中的二元运算中的二元运算(x)()xX(el)()elXel*x=x左幺元左幺元(x)()xX(er)()erXx*
34、er=x右幺元右幺元定理定理*:X中的二元运算中的二元运算如果如果X对运算对运算*同时存在同时存在e l和和e re l=e r=e(x)()xX(e)()eXx*e=xe*x=幺元幺元单位元素单位元素e若存在则必唯一若存在则必唯一证明证明(1)el=er=ex*e=e*x=xel*e r el是是*的左幺元的左幺元=e rer是是*的右幺元的右幺元=e l=ex*e=e*x=xxe是是*唯一的幺元唯一的幺元(2)幺元是唯一的幺元是唯一的证明证明(续续)假设假设e 是是*的另一个幺元的另一个幺元e ee*e=ee*e=ee是幺元是幺元e是幺元是幺元e=e幺元举例幺元举例问实数集合问实数集合R上
35、的上的加法运算加法运算和和乘法运算乘法运算的幺元各是什么？的幺元各是什么？实数集合实数集合R上的上的加法运算加法运算：幺元是幺元是0实数集合实数集合R上的上的乘法运算乘法运算：幺元是幺元是12、零元、零元（左零元左零元l、右零元右零元r）*:X中的二元运算中的二元运算(x)()xX(l)()lXl*x=l左零元左零元(x)()xX(r)()rXx*r=r右零元右零元定理定理*:X中的二元运算中的二元运算如果如果X对运算对运算*同时存在同时存在 l和和 r l=r=(x)()xX()()Xx*=*x=零元零元若存在则必唯一若存在则必唯一零元举例零元举例问实数集合问实数集合R上的上的加法运算加法运
36、算和和乘法运算乘法运算的零元各是什么？的零元各是什么？实数集合实数集合R上的上的加法运算加法运算：实数集合实数集合R上的上的乘法运算乘法运算：无零元无零元零元是零元是03、逆元（左逆元、逆元（左逆元xl、右逆元右逆元xr）*:X中的二元运算中的二元运算*运算存在幺元运算存在幺元exX(xl)()xl Xexl*x=x的左逆元的左逆元左可逆的左可逆的(xr)()xr Xex*xr=x的右逆元的右逆元右可逆的右可逆的x是左可逆的是左可逆的x是右可逆的是右可逆的x是可逆的是可逆的定理定理*:X中的二元运算中的二元运算*运算存在幺元运算存在幺元e*运算可结合运算可结合元素元素xX是可逆的是可逆的x l
37、=x r=x-1x的逆元逆元x-1若存在则必唯一若存在则必唯一证明证明(1)左逆元等于右逆元左逆元等于右逆元xl*x*xr*是可结合的是可结合的=(xl*x)*xrxl*x=e=e*xr=xrxl*x*xr*是可结合的是可结合的=xl*(x*xr)x*xr=e=xl*e=xlxl=xr证明证明(2)xl=xr=x-1唯一唯一幺元幺元e e的逆元是其本身，零元不可逆的逆元是其本身，零元不可逆假设假设x1-1和和x2-1是是x的两个逆元的两个逆元x1-1 x2-1x1-1=x1-1*ex2-1是是x的逆元的逆元=x1-1*(x*x2-1)*是可结合的是可结合的=(x1-1*x)*x2-1x1-1是
38、是x的逆元的逆元=e*x2-1=x2-1举例举例(1)实数集合实数集合R上的加法运算：求每个实上的加法运算：求每个实数的逆元数的逆元(2)实数集合实数集合R上的乘法运算：求每个实上的乘法运算：求每个实数的逆元数的逆元解答解答实数集合实数集合R上的加法运算上的加法运算无零元无零元e=0 x+(-x)=0=ex-1=-x实数集合实数集合R上的乘运算上的乘运算e=10 x 1/x=1=ex-1=1/xx04、等幂元、等幂元x*x幺元和零元都是等幂元幺元和零元都是等幂元*:X中的二元运算中的二元运算xX=x等幂元等幂元5、可约的、可约的*:X中的二元运算中的二元运算aX对每一个对每一个x,y X(a*
39、x=a*y)x=y或者或者(x*a=y*a)x=y可约的可约的可消去的可消去的定理定理*:X中的二元运算中的二元运算*运算可结合运算可结合aXa是可逆的是可逆的a是可约的是可约的证明证明a*x=a*yx=ya是可逆的是可逆的,a的逆元为的逆元为a-1a-1*(a*x)*是可结合的是可结合的=(a-1*a)*x=e*x=xa-1*(a*x)a*x=a*y=a-1*(a*y)*是可结合的是可结合的=(a-1*a)*y=e*y=yx=ya是可约的6、由运算表求特异元素、由运算表求特异元素左幺元左幺元:右幺元右幺元:某一个元素使得某一行不改变；某一个元素使得某一行不改变；某一个元素使得某一列不改变；某
40、一个元素使得某一列不改变；左零元左零元:右零元右零元:某一个元素使得某一行均为该元素；某一个元素使得某一行均为该元素；某一个元素使得某一列均为该元素；某一个元素使得某一列均为该元素；逆元逆元:幺元幺元所对应的元素互为逆元；所对应的元素互为逆元；等幂元等幂元:只考虑主对角线上的元素只考虑主对角线上的元素举例举例已知二元运算已知二元运算*、的运算表，求的运算表，求各运算的特异元素。各运算的特异元素。解答解答(1)第第2、4行没改变行没改变和和均为左幺元；均为左幺元；无右幺元；无右幺元；(2)无左、右零元；无左、右零元；(3)无逆元；无逆元；(4)、均为等幂元。均为等幂元。解答解答(1)第第1行没改
41、变，所以行没改变，所以为左幺元；为左幺元；第第1列没改变，所以列没改变，所以为右幺元；为右幺元；为幺元为幺元(2)无左、右零元；无左、右零元；(3)-1;-1;-1;(4)为等幂元。为等幂元。解答解答(1)第第1行没改变，所以行没改变，所以为左幺元；为左幺元；第第1列没改变，所以列没改变，所以为右幺元；为右幺元；为幺元为幺元(2)无左、右零元；无左、右零元；(3)-1;-1;-1;-1;-1=;(4)、为等幂元。为等幂元。举例举例I:整数集合整数集合g:III，且：且：g=x*y=x+y-xy求出幺元，并指出每个元素的逆元。求出幺元，并指出每个元素的逆元。解答解答(1)求幺元求幺元e：对任意的
42、对任意的x Ix*y=x+y-xyx*e=x+e-xe幺元的定义幺元的定义=xe=0解答解答(2)求求x的逆元的逆元x-1：x*x-1x*y=x+y-xy=x+x-1-x x-1=0 x-1=x/(x-1)Ix=0时：时：x=2时：时：x-1=0 Ix-1=2 I举例举例设设*是自然数集合是自然数集合N中的二元运算，并中的二元运算，并且：且：x*y=x证明：证明：*不可交换，但可结合；不可交换，但可结合；并问哪些元素是等幂的，并问哪些元素是等幂的，是否有左、右幺元？是否有左、右幺元？解答解答(1)不可交换不可交换：x*y=xy*x=y(2)可结合可结合：(x*y)*z=x*z=xx*(y*z)=x*y=x解答解答(3)等幂元：等幂元：x*x=x*y=xx任何元素任何元素xN均为等幂元均为等幂元(4)右幺元：右幺元：x*y=x右幺元右幺元任何元素任何元素yN均为均为x的右幺元的右幺元(5)左幺元：左幺元：el*x=左幺元的定义左幺元的定义xel*x=x*y=xel无左幺元无左幺元 选择选择=结果结果汇报结束汇报结束 谢谢观看谢谢观看！欢迎提出您的宝贵意见！欢迎提出您的宝贵意见！
