1、第五节第五节 样条插值法样条插值法插值法 样条插值的研究背景样条插值的研究背景 样条函数的力学意义样条函数的力学意义三次样条插值多项式的构造三次样条插值多项式的构造一般的插值问题一般的插值问题即即为为则则)()(0 xlyxLiniin jjnjiyxLjijixl )(,0,1)()()(,)(,)(,)()(100102100100 nnnxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN拉格朗日拉格朗日(Lagrange)插值多项式，是插值基函数的插值多项式，是插值基函数的线性组合，形式简单，结构对称，便于理论分析。线性组合，形式简单，结构对称，便于理论分析。一、拉格朗日一、拉格朗日(La
2、grange)插值插值样条插值的研究背景样条插值的研究背景牛顿牛顿(Newton)(Newton)插值引入了差商的插值引入了差商的概念，在增加新的概念，在增加新的节点时，只是增加一项，前面结果可再利用。节点时，只是增加一项，前面结果可再利用。二、牛顿二、牛顿(Newton)插值插值样条插值的研究背景样条插值的研究背景 nkkkxxxf00)(,55,11)(2 xxxg称为龙格称为龙格RungeRunge现象现象。三、分段插值三、分段插值样条插值的研究背景样条插值的研究背景取等距节点做取等距节点做n次次Lagrange插值多项式。插值多项式。当节点无限加密时，当节点无限加密时，插值多项式出现振
3、荡现插值多项式出现振荡现象。象。xjxj-1xj+1x0 xn分段线性插值分段线性插值分段线性插值（低次多项式插值），误差小，分段线性插值（低次多项式插值），误差小，整体逼近效果好，但曲线光滑性差。整体逼近效果好，但曲线光滑性差。三、分段插值三、分段插值)1,2,1(6361111111 njhyyhyyMhMhhMhjjjjjjjjjjjjj带导数的插值)1,2,1(6361111111 njhyyhyyMhMhhMhjjjjjjjjjjjjj插值问题的较高要求：)1,2,1(6361111111 njhyyhyyMhMhhMhjjjjjjjjjjjjj 保持插值曲线在节点处有切线（光滑），
4、使插值函数和被插函数的密和程度更好。Hermite插值插值四、四、Hermite插值插值)1,2,1(6361111111 njhyyhyyMhMhhMhjjjjjjjjjjjjj但实际问题中，导数值往往很难获得！插值函数在子区间的端点插值函数在子区间的端点(衔接处衔接处)不光滑不光滑,从而导数不连续。从而导数不连续。而一些实际问题而一些实际问题,不但要求一阶导数连续不但要求一阶导数连续,而且要求二阶导数连续。所以一般插值往往不而且要求二阶导数连续。所以一般插值往往不不能满足实际需要。不能满足实际需要。一般插值函数的不足一般插值函数的不足 (1)S(x)在每个子区间在每个子区间xi,xi+1(
5、i=0,1,2,n-1)上是上是次数不超过次数不超过m的多项式的多项式;(2)S(x)在区间在区间a,b上有上有m-1阶连续导数阶连续导数;则称则称S(x)是定义在是定义在a,b上的上的m次样条函数次样条函数。x0，x1，x2,称为称为样条结点样条结点,其中其中x1,xn-1称为称为内结点内结点,x0,xn 称为称为边界结点边界结点。当当m=3时时,便成为最常用的便成为最常用的三次样条函数三次样条函数 设设S(x)是区间是区间a,b上的函数上的函数,在区间在区间a,b上给定一上给定一组节点组节点:a=x0 x1x2AbsolutePointSize15Showg1,g2,g3,Prolog-A
6、bsolutePointSize15注：三对角矩阵的构造注：三对角矩阵的构造A=TableSwitchi-j,-1,a,0,b,1,c,_,0,i,1,m,j,1,n;MatrixForm%11232011123211222212222)2(nnnnnnnnnyccccycMMMMM 行标减列标行标减列标=-1=-1时为时为对角线上方元素。对角线上方元素。作图观察效果作图观察效果三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的构造3321214,52,2943456681012程序运行结果如下：系数矩阵常数项求得的弯矩值M样条函数样条插值图形三次样条插值函数的构造)1,1(211 ni cMMMii
7、iii i 2、若满足若满足S(a)=M0=f(a),S(b)=Mn=f(b），），则事实上只有则事实上只有n-1n-1个未知数，其矩阵形式为个未知数，其矩阵形式为：nnnnnncMMMMM2110 则则有有三次样条插值函数的构造nnMMxSxS 00),0()0(3、若若满满足足：联联立立，可可得得与与)1,1(211 nicMMMiiiiii nnnnnnnncccccMMMMM132113211122112222)3(211032101211100,)(111 iiiiiiixxxfxxfxfx三次样条插值函数的构造 总结以上论述，可得求三次样条的步骤为总结以上论述，可得求三次样条的步骤
8、为：（1）确定边界条件，判定是第几类插值问题）确定边界条件，判定是第几类插值问题；（2）根据所确定的条件计算各值，形成方程组）根据所确定的条件计算各值，形成方程组(*)；（3）解三对角方程组解三对角方程组(*)，求得求得M0,M1,M2,Mn；（4）将求得的将求得的Mi值代回值代回S(x)的表达式中的表达式中，从而可求从而可求得函数得函数y=f(x)在任一点的近似值在任一点的近似值S(x)。三次样条插值函数的构造例例2 2已知已知f(x)在若干点处的值为在若干点处的值为f(0)=0,f(1)=1,f(2)=1,f(3)=0,试求试求f(x)满足条件满足条件（1）f(0)=1,f(3)=2（2）
9、f”(0)=1,f”(3)=2的三次样条插值函数的三次样条插值函数s(x)以及以及f(2.5)的近似值的近似值。解：构造一阶均差表解：构造一阶均差表 ,0)0(,(6100 fxx fc11x4x23x31664181x411 x213x316例例5.3三次样条插值函数的构造2,1,0,)(6()(6()(6)(6)(S11113131 ixxxxxMyxxMyxxMxxMxiiiiiiiiiiiii,1210 hhh由由于于,18),)3(6323 xxffc,3,62101 xxxfc,3,63212 xxxfc 18330210021221002122100123210MMMM对条件对条
10、件(1)(1)有有三次样条插值函数的构造方程组为方程组为：0667.11,1333.4,5333.0,2667.03210 MMMM解解得得2,130 MM将数据代入可得样条插值函数将数据代入可得样条插值函数三次样条插值函数的构造对条件对条件(2)(2)有有的的方方程程组组为为关关于于21,MM 42722121221MM6667.1,3333.121 MM解解得得213011 yc 2213322 yc 3,2),2(33333.0)3(27778.1)2(33333.0)3(27778.02,1),1(27778.1)2(22222.1)1(27778.0)2(22222.01,0,22222.1)1(16667.022222.0)1(16667.0)(333333xxxxxxxxxxxxxxxxS三次样条插值函数的构造NoImage三次样条插值函数的构造内容小结内容小结1.1.一般插值函数的不足；一般插值函数的不足；内 容 小 结2.2.三次样条函数的概念；三次样条函数的概念；3.3.三次样条插值函数的构造三次样条插值函数的构造.二 元 样 条 曲 面j jjjy x f nj Mx S )(,),1,0()(记记
