1、3.8 离散系统的系统函数、系统频率响应()()()()()nnY zH zZT h nh n zX zLSI系统的系统的系统函数系统函数H(z)：单位抽样响应h(n)的z变换其中：y(n)=x(n)*h(n)Y(z)=X(z)H(z)系统的系统的频率响应频率响应 ：()jH e()()()jjz eH eH zDTFT h n单位圆上的系统函数单位抽样响应h(n)的傅立叶变换1、因果稳定系统LSI即要求系统单位抽样响应为因果序列，而因果序列z变换的收敛域满足：xRz（1）因果系统：）因果系统：()nh n()nnh n z 系统输出只取决于当前和之前时刻输入。一个LSI系统是因果系统的充要条
2、件为：h(n)=0 ,n0（2）稳定系统：）稳定系统：有界输入产生有界输出。一个LSI系统是稳定系统的充要条件为：对比其z变换的收敛域定义：结论结论2：稳定：稳定(LSI)系统的系统函数系统的系统函数H(z)的的Roc须包含单位圆，即须包含单位圆，即频率响应存在且连续。频率响应存在且连续。结论结论1：因果：因果(LSI)系统的系统函数系统的系统函数H(z)的的Roc必须在某半径的圆必须在某半径的圆外，且包含无穷大处。外，且包含无穷大处。（3）因果稳定系统：）因果稳定系统：综合上述两条件：综合上述两条件：一个一个LSI系统系统是因果稳定系统是因果稳定系统至少至少应满足：应满足：结论结论3：一个因
3、果稳定系统的系统函数一个因果稳定系统的系统函数H(z)必须必须(至少至少)在从单位圆到在从单位圆到内内收敛；收敛；也就是说系统的全部极点必须在单位圆内。也就是说系统的全部极点必须在单位圆内。1z Roc：62je40.2je/4/4/6/60.2,0.2,0.4,2,2,1.5jjjjeeee例：一系统的极点为：问系统函数收敛域满足什么条件时：(1)系统为因果系统；(2)系统为稳定系统；(3)系统为因果稳定系统；Re zIm jz0140.2je0.41.562je2z 解：因果系统：0.41.5z稳定系统：系统不可能为因果稳定系统2、系统函数与差分方程的关系LSI系统可用常系数线性差分方程描
4、述，其一般形式为：00()()NMkmkma y nkb x nm将上述方程两边同时取z变换，由线性性和移位性有：00()()NMkmkmkma z Y zb zX z得到系统函数为：()()/()H zY zX z其其有理分式有理分式表达中，分子分母系数分别对应差分方程系数；表达中，分子分母系数分别对应差分方程系数；00MmmmNkkkb za z1111(1)(1)MmmNkkc zKd z其其因式分解因式分解表达中，分子分母系数分别为系统的零极点由差分方程系数决定；表达中，分子分母系数分别为系统的零极点由差分方程系数决定；可由看出除常数因子可由看出除常数因子K外，系统完全由其零极点确定，
5、因此可用零极点分别描述外，系统完全由其零极点确定，因此可用零极点分别描述系统特性下面内容：由零极点分别通过几何法确定系统频响。系统特性下面内容：由零极点分别通过几何法确定系统频响。LSI311()(1)(2)()(1)483()()123y ny ny nx nx nx ny n例：已知离散系统的差分方程：其中：为输入，为输出。）求系统函数，指出系统的零极点；）若该系统是因果稳定的，指出系统的收敛域；）求该因果稳定系统的单位抽样响应。z解：1）对差分方程两边取 变换：121311()()()()()483Y zz Y zz Y zX zz X z1112111111()33()3111()11
6、14824zzY zH zX zzzzz111,0 ,324zz 零点：极点：系统函数：212z）由于系统为因果稳定系统，故收敛域：Re zIm jz00.50.2511/3 111131131111241124zzH zzzzzz 121311112424zH zAAzzzzz 1121211103112324zzzH zAReszzzz3)H(z)h(n)对求z反变换即得单位抽样响应，用部分分式法消去消去z的负幂，便于求解：的负幂，便于求解：对对H(z)进行部分分式分解，假定部分分式系数为进行部分分式分解，假定部分分式系数为Ak：由留数定理求由留数定理求Ak：214141173114324
7、zzzH zAReszzzz 10733()1124zzH zzz1:2-12Rocz 根据，查表得 10 17 1()323 4nnh nu n将求得的将求得的Ak代入，整理得代入，整理得X(z)的部分分式表达：的部分分式表达：根据收敛域，查表求得部分分式的根据收敛域，查表求得部分分式的z反变换后再相加：反变换后再相加：3、系统频率响应的意义系统频率响应：系统频率响应：系统对输入信号频谱的处理作用（幅度、相位）即系统的频域表示法。（1）LSI系统对复指数序列的稳态响应：系统对复指数序列的稳态响应：()jjnHee()j nx nen 输入：输入：()()()*()()jn mj nmj mm
8、y nh mxhmennhee 输出：输出：即：系统的频率响应完全描述了复指数序列通过即：系统的频率响应完全描述了复指数序列通过LSI系统后复系统后复振幅（包括幅度、相位）的变化。振幅（包括幅度、相位）的变化。（2）LSI系统对正弦序列的稳态响应：系统对正弦序列的稳态响应：输入为正弦序列，输出输入为正弦序列，输出同频同频 正弦序列；正弦序列；幅度幅度受频率响受频率响应幅度应幅度 加权；加权；相位相位为输入相位与系统相位响应之和。为输入相位与系统相位响应之和。()jH e00()cos()x nAn输入：输入：000()()cosarg()jjy nA H enH e输出：输出：00()()2j
9、njnAee0000()()()()()2jjnjjnAy nH eeH ee000000()()arg()arg()|()|()|2jjjjnjjnjH ejH eAH eeeH eee因为h(n)是实序列，所以 共轭对称：0()jH e00*()()jjH eHe00|()|()|jjH eH e00arg()arg()jjH eH e 幅度偶对称：相角奇对称：000000(arg()(arg()|()|()|2jjjjnH ejjnH eAH eeH ee 00000(arg()(arg()|()|2jjjjnH ejnH eAH eee （3）LSI系统对任意输入序列的稳态响应：系统对
10、任意输入序列的稳态响应：其中：，可看出序列x(n)可表示成1()()2jj nx nX eed复指数微分分量：的叠加。1()2jj nX eed()()*()y nx nh n时域卷积：时域卷积：()()()jjjY eX eH e频域相乘：频域相乘：1()()()2jjj ny nH eX eed取取IDTFT得到输出：得到输出：又系统对复指数微分分量的响应为：1()()2jjj nH eX eed总的输出等于系统对总的输出等于系统对x(n)每个复指数分量的响应的叠加。每个复指数分量的响应的叠加。LSI系统输出序列的傅立叶变换等于输入序列的傅立叶变换与系统函数系统输出序列的傅立叶变换等于输入
11、序列的傅立叶变换与系统函数的乘积。的乘积。3.8.3 频率响应的几何确定法1()11111(1)()()(1)()MMmmNMmmNNkkkkc zzcH zKKzd zzd()arg()11()()()()jMjmjj N MjjH emNjkkecH eKeH eeed将系统函数将系统函数H(z)表示成因式分解形式表示成因式分解形式即用零极点表示H(z)：将将 代入上式即可得到系统的频率响应代入上式即可得到系统的频率响应 ：jze()jH e表示成模和相角形式则频率响应的则频率响应的mjjmmmcece kjjkkkdedl e 定义矢量如下并用极坐标表示为：定义矢量如下并用极坐标表示为：
12、11arg()arg()MNjmkmkH eKNM相角：相角：11()MmjmNkkH eKl幅度：幅度：()arg()11()()()()jMjmjj N MjjH emNjkkecH eKeH eeedn零点位置影响凹谷点的位置与深度零点位置影响凹谷点的位置与深度零点在单位圆上，谷点为零零点趋向于单位圆，谷点趋向于零n极点位置影响凸峰的位置和深度极点位置影响凸峰的位置和深度极点趋向于单位圆，峰值趋向于无穷极点在单位圆外，系统不稳定()()nh na u n ()()(1)1y nx nay naa例3.8.1：设一阶系统的差分方程：，为实数 求系统的单位抽样响应并分因果析幅频特性。1z()
13、1()()1Y zH zzaX zaz解：两边求 变换，得 11()1(1cos)sinjjH eaeaja21/2()(12 cos)sinarg()arctan1cosjjH eaaaH ea 幅度响应：相位响应：2()()(1)(2).y nx nax na x n例3.8.2：设系统的差分方程为：110(1)()MMkkax nMa x nk1MM这就是个单元延时及个抽头加权后相加所组成的电路，这里不像上例有输出的延时反馈，常称之为横向滤波器，求其单位抽样响应并分析频率特性。21,2,.,1jiMizaeiM零点：，1110z1()01()MMMMMkkMka zzaH za zzaz
14、zza解：两边取 变换()()01()0nnh nanMh nn当输入为，则输出为其它0(1)zMza极点：，阶，处零极点相消3.8.4 IIR系统和FIR系统无限长单位抽样响应（IIR）系统：单位抽样响应h(n)是无限长序列有限长单位抽样响应（FIR）系统：单位抽样响应h(n)是有限长序列0001()1MMmmmmmmNNkkkkkkb zb zH za za z0ka IIR系统：至少有一个0ka FIR系统：全部0b全极点系统：分子只有常数项0b零极点系统：分子不止常数项收敛域 内无极点，是全零点系统0z 01()()()MNmkmky nb x nma y nk0ka IIR系统：至少有一个有反馈环路，采用递归型结构0ka FIR系统：全部无反馈环路，多采用非递归结构
