1、3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离问题：在铁路问题：在铁路MNMN附近附近P P地要修建一条公路使之与铁路地要修建一条公路使之与铁路MNMN连接起来连接起来,如何设计才能使公路最短如何设计才能使公路最短?M M地地N N地地P P地地过过P P点作点作MNMN的垂线的垂线,设垂足为设垂足为Q,Q,则垂则垂线段线段PQPQ的长度就的长度就是点是点P P到直线到直线MNMN的的最短距离最短距离.Q即求即求P P到到MNMN上的最短距上的最短距离离1.1.了解点到直线距离公式的推导了解点到直线距离公式的推导.（难点）（难点）2.2.点到直线的距离公式及其应用点到直线的距离公式
2、及其应用.（重点）（重点）3.3.会求两条平行线之间的距离会求两条平行线之间的距离.x xy yP P0 0(x(x0 0,y,y0 0)O O|y|y0 0|x|x0 0|x x0 0y y0 01.1.点到直线的距离公式点到直线的距离公式x xy yP P0 0(x(x0 0,y,y0 0)O O|x|x1 1-x-x0 0|y|y1 1-y-y0 0|x x0 0y y0 01yyy y1 11xxx x1 1点到直线的距离公式点到直线的距离公式已知点已知点 ,直线直线 ，如何，如何求点求点 到直线到直线 的距离？的距离？000,Pxy0:lAxByC0Plx xyO O0Pl探究探究1
3、：直接法直接法直线直线l的方程的方程直线直线l的方程的方程直线直线P P0 0Q Q的方程的方程交点交点点点P P0 0，Q Q之间的距离之间的距离|P|P0 0Q|Q|（P P0 0到到l的距离）的距离）点点P P0 0的坐标的坐标直线直线P P0 0Q Q的斜率的斜率点点P P0 0的坐标的坐标点点Q Q的坐标的坐标两点间距离公式两点间距离公式x xy yO O0PlQ思路简单思路简单运算繁琐运算繁琐直线直线l的斜率的斜率lPP0 0Q QP P0 0（x x0 0，y y0 0），），l:Ax+By+C=0:Ax+By+C=0，Ax+By+C=0Ax+By+C=0，Bx-Ay-BxBx-
4、Ay-Bx0 0+Ay+Ay0 0=0=0Q(x,y)Q(x,y)满足满足:20022ABxA yBCyAB 20022，B xAByACxAB 00022()，A AxByCxxAB 00022()B AxByCyyAB 22000022220022-2200|PQ|()()()()|.xxyyA AxByCB AxByCABABAxByCAB 提示：提示：点点P P0 0(x x0 0,y,y0 0)到直线到直线 l:A:Ax x+B+By y+C=0+C=0的的距离为距离为:0022|.AxByCdAB 探究探究2：间接法间接法x xy yO O0PlQ面积法求出面积法求出|P|P0 0
5、Q|Q|求出求出|P|P0 0R|R|求出求出|P|P0 0S|S|利用勾股定理求出利用勾股定理求出|RS|RS|S SR R求出点求出点R R的坐标的坐标 求出点求出点S S的坐标的坐标x xO O0PlQdSRy y如图，设如图，设0,0AB，则直线则直线l与与x x轴和轴和y y轴都相交，轴都相交，过点过点P P0 0分别作分别作x x轴与轴与y y轴的平轴的平行线，交直线行线，交直线l于于R R和和S.S.R 的坐标为的坐标为 00(,)ByCyA，的坐标为的坐标为 S00(,).AxCxB则直线则直线 的方程为的方程为 0P R0yy，P P0 0（x x0 0，y y0 0），），
6、l:Ax+By+C=0:Ax+By+C=0，直线直线P P0 0S S的方程为的方程为x=xx=x0 0，于是有于是有00000 AxByCByCPRxAA，00000 AxByCAxCPSyBB，22220000.ABRSP RPSAxByCA B设设0,PQd由三角形的面积公式得由三角形的面积公式得00d RSP RPS，于是得于是得000022.P RPSAxByCdRSAB的距离为的距离为到直线到直线由此我们得到点由此我们得到点000(,)P xy:0l AxByC当当A=0A=0或或B=0B=0时，此公式也成立时，此公式也成立.提示：提示：0022=.AxByCdAB1.1.此公式的
7、作用是求点到直线的距离此公式的作用是求点到直线的距离.2.2.此公式是在此公式是在A A，B0B0的前提下推导的的前提下推导的.3.3.如果如果A=0A=0或或B=0B=0，此公式恰好也成立，此公式恰好也成立.4.4.如果如果A=0A=0或或B=0B=0，一般不用此公式，一般不用此公式.5.5.用此公式时直线要先化成一般式用此公式时直线要先化成一般式.【提升总结】【提升总结】点点(0(0，5)5)到直线到直线y=2xy=2x的距离是（的距离是（）A.B.A.B.C.D.C.D.5232525B B【即时训练】【即时训练】1P1,21 2xy100.2 3x2.例求点到下列直线的距离：102 5
8、.5解解:（1 1）根据点到直线的距离公式，得）根据点到直线的距离公式，得22|212 10|21d（2 2）根据点到直线的距离公式，得）根据点到直线的距离公式，得22|312|5.330 d1.1.点点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线3x=23x=2的距离是的距离是_._.2.2.点点P(-1,2)P(-1,2)到直线到直线3y=23y=2的距离是的距离是_._.5343【变式练习】【变式练习】例例2 2 已知点已知点 ，求，求 的面积的面积 133110ABC，-，ABC解：解：如图，设如图，设 边上的高为边上的高为 ，则，则ABh1.2ABCSAB hy1234xO-1123AB
9、Ch223 11 32 2.AB ABAB边上的高边上的高h h就是点就是点C C到到ABAB的距离的距离 边所在直线的方程为：边所在直线的方程为：AB311 33 1yx，即：即：40.xy点点C C（-1,0-1,0）到直线）到直线 的距离的距离4 0 x y 221 045.211h 因此，因此，152 25.22ABCS P P（2 2，33）到直线）到直线x+2y+4=0 x+2y+4=0的距离是的距离是_._.0【变式练习】【变式练习】2.2.两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离（1 1）两条平行直线间的距离）两条平行直线间的距离两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线两条平行
10、直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长间公垂线段的长.（2 2）探究：）探究：能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的能否将两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离？距离？已知两条平行直线已知两条平行直线112212:0,:0.lAxByClAxByCCC0020020,.AxByCAxByC即设设 是直线是直线 上的任意一点，则上的任意一点，则00(,)P xy2l120012222|CCAxByCdABAB1l2l就是直线就是直线和和间的距离间的距离提示：提示：两条平行直线的方程必须化为一般式，两条平行直线的方程必须化为一般式，即为即为ll11112222:Ax+By+C=0,:
11、Ax+By+C=0,:Ax+By+C=0.:Ax+By+C=0.l1 1与与l2 2是否平行？若平行，求是否平行？若平行，求l1 1与与l2 2间的距离间的距离.例例3 3 已知直线已知直线解：解：因为因为l1 1，l2 2的斜率分别为的斜率分别为12262,.7217kk所以所以l1 1，l2 2平行平行.先求先求l1 1与与x x轴的交点轴的交点A A的坐标，易得的坐标，易得A A（4,04,0），），点点A A到直线到直线l2 2的距离为的距离为-（）2 22 26 64 4-2 21 10 0-1 12 23 32 23 3d d=5 53 3,1 15 59 93 3 5 53 36
12、 6+2 21 1所以所以l1 1，l2 2间的距离为间的距离为2353.15912:2780,:62110.lxylxy求下列两条平行线的距离：求下列两条平行线的距离：l1 1:2x+3y-8=0:2x+3y-8=0，l2:2:2x+3y+18=0.2x+3y+18=0.2 22 2|1 18 8-(-8 8)|2 26 6d d=2 2 1 13 31 13 32 2+3 3解解：【变式练习】【变式练习】1.1.点（点（1 1，-5-5）到直线）到直线2x-y-2=02x-y-2=0的距离的距离d=d=（）222 1(5)25.2(1)解d=析：52.2.若点若点P P在直线在直线3x+y
13、-5=03x+y-5=0上，且点上，且点P P到直线到直线x-y-1=0 x-y-1=0的的距离为距离为 ，则点，则点P P的坐标为的坐标为()()A.(1,2)B.(2,1)A.(1,2)B.(2,1)C.(1,2)C.(1,2)或或(2(2，-1)D.(2-1)D.(2，1)1)或或(-1(-1，2)2)2C C3.3.点点P(2P(2，3)3)到直线到直线ax+(aax+(a1)y+3=01)y+3=0的距离等于的距离等于3 3，则则a a的值等于的值等于 .337或4.P4.P（11，1 1）到直线）到直线3x=23x=2的距离是的距离是_._.535.5.求下列两条平行线的距离：求下
14、列两条平行线的距离：l1 1:3x+4y=10 3x+4y=10，l2:2:3x+4y-5=0.3x+4y-5=0.2222|-5-(-10)|-5-(-10)|d=1.d=1.3+3+：4 4解解6.6.直线直线 过点过点A(0,1),A(0,1),过点过点B(5,0),B(5,0),如果如果 ,且且 与与 的距离为的距离为5,5,求求 ,的方程的方程.1l12/ll2l1l2l1l2l解：解：(1)(1)若直线若直线 ,的斜率存在的斜率存在,设直线的斜率设直线的斜率为为k,k,由斜截式得由斜截式得 的方程为的方程为y=kx+1,y=kx+1,即即kx-y+1=0,kx-y+1=0,由点斜式
15、可得由点斜式可得 的方程为的方程为y=k(x-5),y=k(x-5),即即 kx y-5k=0,kx y-5k=0,因为直线因为直线 过点过点A(0,1),A(0,1),则点则点A A 到直线到直线 的距离的距离1l2l1l2l1l2l，2222-1-5k-1-5kd=5d=5(-1)+k(-1)+k2225101=2525kkk所以，125k所以，所以所以 的方程为的方程为12x-5y+5=012x-5y+5=0，的方程为的方程为12x-5y-60=0.12x-5y-60=0.(2)(2)若若 ，的斜率不存在的斜率不存在,则则 的方程为的方程为 x=0,x=0,的方程为的方程为 x=5,x=
16、5,它们之间的距离为它们之间的距离为5,5,同样满足条件同样满足条件.2l1l1l2l1l2l 综上所述综上所述,满足条件的直线方程有两组满足条件的直线方程有两组:12x-5y+5=0,:12x-5y-60=0 :12x-5y+5=0,:12x-5y-60=0或或 :x=0,:x=5.:x=0,:x=5.1l2l1l2l平面内的几种距离公式小结平面内的几种距离公式小结平面上平面上的距离的距离两点间的距离两点间的距离点到直线的距离点到直线的距离两条平行线间的距离两条平行线间的距离22122121PP(xx)(yy)0022Ax+By+CdA+B2122C-CdA+B不相信自己的意志，永远干不成大事。
