1、4 二重积分的变量变换 本节将介绍二重积分的变量变换公式,并用格林公式加以证明.特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论.一、二重积分的变量变换公式三、二重积分的广义极坐标变换 二、二重积分的极坐标变换 一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中在定积分的计算中,我们得到了如下结论我们得到了如下结论:设设()f x,a b()xt t 在区间在区间 上连续上连续,当当 从从变到变到 时严格时严格 单调地从单调地从a 变到变到 b,且且 ()t 连续可导连续可导,则则 ()d()()d.(1)baf xxfttt ()0t ,Xa b Y 当当(即即)时时,记记 则则 1(),().XYYX 利
2、用这些记号利用这些记号,公式公式(1)又可又可 写成写成1()()d()()d.(2)XXf xxfttt ()0t 当当(即即)时时,(1)式可写成式可写成 1()()d()()d.(3)XXf xxfttt 故当故当()t 为严格单调且连续可微时为严格单调且连续可微时,(2)式和式和(3)式可式可 统一写成如下的形式统一写成如下的形式:1()()d()|()|d.(4)XXf xxfttt 下面要把公式下面要把公式(4)推广到二重积分的场合推广到二重积分的场合.为此先给为此先给 出下面的引理出下面的引理.引理引理 设变换设变换 :(,),(,)Txx u vyy u v 将将 uv 平面平
3、面 上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域 ,一对一地一对一地 (,),(,)x u vy u v 映成映成 xy 平面上的闭区域平面上的闭区域 D.函数函数 在在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式(,)(,)0,(,),(,)x yJ u vu vu v则区域则区域 D 的面积的面积 ()|(,)|d d.DJ u vu v (5)(,)y u v 证证 下面给出当下面给出当 在在 内具有二阶连续偏导数内具有二阶连续偏导数 时的证明时的证明.(注注:对对(,)y u v具有一阶连续偏导数条件具有一阶连续偏导数条件 下
4、的一般下的一般证明证明,将在本章将在本章9 中给出中给出.)(,)0,J u v 由于由于 T 是一对一变换是一对一变换,且且因而因而 T 把把的的 L 内点变为内点变为 D 的内点的内点,所以所以的按段光滑边界曲线的按段光滑边界曲线 DL也也变换为变换为 D 的的按段光滑按段光滑边界曲线边界曲线 .设曲线设曲线L 的参数方程为的参数方程为(),()().uu tvv tt L(),()u tv t ,由于由于按段光滑按段光滑,因此因此在在 上至多除上至多除 去有限个第一类间断点外去有限个第一类间断点外,在其他的点上都连续在其他的点上都连续.又又 (),DLT L DL因因所以所以 的参数方程
5、为的参数方程为()(),()().()(),()xx tx u tv ttyy ty u tv tt DL若规定若规定 从从 变到变到 时时,对应于对应于 的正向的正向,则根据格则根据格 林公式林公式,取取 (,)0,(,),P x yQ x yx 有有()d()()dDLDx yx t y tt (),()()()d.(6)yyx u tv tu tv ttuv 另一方面另一方面,在在 uv 平面上平面上 (,)ddLyyx u vuvuv (),()()()d,(7)yyx u tv tu tv ttuv t L 其中正号及负号分别由其中正号及负号分别由 从从 变到变到 时时,是对应于是对
6、应于 的正方向或负方向所决定的正方向或负方向所决定.由由(6)及及(7)式得到式得到()(,)ddLyyDx u vuvuv (,)d(,)d.Lyyx u vux u vvuv 令令(,)(,),(,)(,),yyP u vx u vQ u vx u vuv在在uv平平 面上对上式应用格林公式面上对上式应用格林公式,得到得到 ()d d.QPDu vuv (,)y u v2yu v 由于函数由于函数 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数,即有即有,2yv u (,),QPJ u vuv因此因此 于是于是 ()(,)d d.DJ u vu v ()D(,)J u v 又因为又因为 总是非负的总
7、是非负的,而而 在在 上不为零且上不为零且 连续连续,故其函数值在故其函数值在 上不变号上不变号,所以所以()|(,)|d d.DJ u vu v 定理定理21.13 设设(,)f x y在有界闭区域在有界闭区域 D 上可积上可积,变变换换 :(,),(,)Txx u vyy u v 将将 uv 平面由按段光滑平面由按段光滑封封闭曲线所围成的闭区域闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成一对一地映成 xy 平面上平面上 (,),(,)x u vy u v 的闭区域的闭区域 D,函数函数 在在内分别具有内分别具有 一阶连续偏导数且它们的函数行列式一阶连续偏导数且它们的函数行列式 (,)(,)0,(,)
8、,(,)x yJ u vu vu v i 证证 用曲线网把用曲线网把分成分成 n 个小区域个小区域,在变换在变换 T 作用作用 iDi 下下,区域区域 D 也相应地被分成也相应地被分成 n 个小区域个小区域.记记及及 iD()i ()(1,2,).iDin 的面积为的面积为及及在对在对 y 的的(,)d d(,),(,)|(,)|d d.Df x yx yf x u vy u vJ u vu v则有则有()|(,)|d d|(,)|(),iiiiiDJ u vu vJ uv其中其中(,)(1,2,).iiiuvin 令令(,),(,),iiiiiix uvy uv则则(,)(1,2,).iii
9、Din 作二重积分作二重积分(,)d dDf x yx y的积分和的积分和1(,)()niiiifD 加强条件下加强条件下,由引理及二重积分中值定理由引理及二重积分中值定理,有有 1(,),(,)|(,)|().niiiiiiiif x uvy uvJ uv(,),(,)|(,)|f x u vy u vJ u v这个和式是这个和式是可积函数可积函数 12:,nT|0T 的分割的分割 的细度的细度 时时,D 的的 12:,DnTD DD|DT相应分割相应分割 的细度的细度 也趋也趋于零于零.因此得到因此得到 (,)d d(,),(,)|(,)|d d.Df x yx yf x u vy u v
10、J u vu v在在 上的积分和上的积分和.又由变换又由变换 T 的连续性可知的连续性可知,当当 例例1 求求ed d,x yx yDx y其中其中 0,0,xyxy 1 D是由是由解解 为了简化被积函数为了简化被积函数,令令,.uxy vxy 所围的区域所围的区域(图图21-23).Ox2123 图图11Dy即作变换即作变换 11:(),(),22Txuvyvu它的函数行列式为它的函数行列式为 11122(,)0.21122J u v 在在 T 的作用下的作用下,区域区域 D 的的 如图如图 21-24 所示所示.原象原象 所以所以 1ed ded d2x yuxyvDx yu vOvu21
11、24 图图1 uvuv 11110011eede d(ee)d.224uvvvvuvv,22ymx ynx ,yx y 例例2 求抛物线求抛物线和直线和直线x()(0,0).Dmn 所围区域所围区域 D 的面积的面积解解 D 的面积的面积()d d.DDx y 为了化简积分区域为了化简积分区域,作作 变换变换 2,.uuxyvv它把它把 xy 平面上的区域平面上的区域 D (见图见图21-25)对应到对应到 uv 平面上的矩形平面上的矩形 ,.m n 由于由于 234212(,)0,(,),1uuvvJ u vu vvuvv 因此因此 2125 图图Ox2ymx yx yx 2ynx yD4(
12、)dd dDuDu vv2233433d()()d.6nmvnmu uv ()1,2f t 在在D例例3 设设上可积上可积,是由曲线是由曲线 1,2,4xyxyyxyx 所围成的区域在第一象限中的部分所围成的区域在第一象限中的部分.证明证明:21()dln2()d.Dfxyftt 1 21 21 21 2,.ytxy uxtuytux即即证证 令令 则则(,)1,2 1,4,t u有有1 21 21 23 21 21 21 21 211122(,).21122tutuJ t uututu 因此因此 1()d()d d2Dfxyftt uu 2421111d()d=ln2()d.2tftuftt
13、u二、二重积分的极坐标变换 当积分区域是圆域或圆域的一部分当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数或者被积函数 的形式为的形式为22()f xy时时,采用极坐标变换采用极坐标变换cos,:0,02,sin,xrTryr (8)往往能达到简化积分区域或被积函数的目的往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.此时此时,变换变换 T 的函数行列式为的函数行列式为 cossin(,).sincosrJ rrr 容易知道容易知道,极坐标变换极坐标变换 T 把把r 平面上的矩形平面上的矩形 0,R 此对应不是一对一的此对应不是一对一的,例例如如,xy 平面上原点平面上原点(0,0)O于于r 平面上两条直
14、线段平面上两条直线段 CD 和和 EF(图图21-26).又当又当0r (,)0,J r 时时,因此不满足因此不满足定理定理21.13 的条件的条件.但是仍然有下面的结论但是仍然有下面的结论.222:.DxyR 变换成变换成 xy 平面上的圆域平面上的圆域0,2 但但 r 0r 与与平面上直线平面上直线 相对相对应应,x 轴上线段轴上线段 对应对应 AA定理定理21.14 设设(,)f x y满足定理满足定理21.13 的条件的条件,且且在在 xyr 极坐标变换极坐标变换(8)下下,平面上的有界闭域平面上的有界闭域 D 与与平平 面上区域面上区域 对应对应,则成立则成立 OyxBAAB D(a
15、)2126 图图(b)O r 22 RDFCE (,)d d(cos,sin)d d.(9)Df x yx yf rrr r222,0,0,2.DxyRR 为为一一圆圆:则则 证证 若若 BB A A 为为的的扇形扇形 后所得的区域后所得的区域(图图21-26(a),),则则(图图 21-26(b).又因在又因在 D 与与之间是一一对应的之间是一一对应的设设 2222(,)|Dx yxyR 为为圆圆环环除去中心角除去中心角 在变换在变换(8)下下,D 对应于对应于,0,2,R 且且 上上 (,)0,J r 于是由定理于是由定理 21.13,有有 (,)d d(cos,sin)d d.(10)D
16、f x yx yf rrr r因因 f在在 D 上有界上有界,故可设故可设|(,)|,(,).f x yMx yD(,)d d(,)d d(,)d d()0(0).DDD Df x yx yf x yx yf x yx yMD D 于是由于是由0lim()0,D D 可知可知同理又有同理又有 (,)d d(cos,sin)d d.Df x yx yf rrr r若若 D 是一般的有界闭域是一般的有界闭域,则取足够大的则取足够大的 0,R 使使 222(,),RDDx yxyR(cos,sin)d d(cos,sin)d d(0).f rrr rf rrr r(0),即得即得 所以所以,对对 (
17、10)式取极限式取极限(,),(,),(,)0,(,).Rf x yx yDF x yx yDD RD在在 中中函数函数 F 至多在有限条按段光滑曲线上至多在有限条按段光滑曲线上间断间断,因此因此由前述得到由前述得到 (,)d d(cos,sin)d d,RRDF x yx yF rrr r R r 0,0,2.R 其中其中为为平面上矩形区域平面上矩形区域由函数由函数 (,)F x y 的定义的定义,(9)式对一般的式对一般的 D 也成立也成立.RD上定义函数上定义函数 并且在并且在 由定理由定理21.14 看到看到,用极坐标变换计算二重积分时用极坐标变换计算二重积分时,除除变量作相应的替换外
18、变量作相应的替换外,还须把还须把“面积微元面积微元”d dx y换换 成成d d.r r 下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分 来计算来计算.12()(),rrr r 1.常用的是将常用的是将分解为分解为平面中的平面中的型区域型区域.,OD(i)若原点若原点则则 型区域型区域必可表示成必可表示成(图图21-27)于是有于是有 21()()(,)d dd(cos,sin)d.(11)rrDf x yx yf rrr r 2127 图图O 1()rr D2()rr x(ii)若原点为若原点为 D 的内点的内点(图图21-28(a),D 的边界的极
19、坐的边界的极坐 (),rr 标标方程为方程为 则则 一般可表示成一般可表示成 0(),02.rr 于是有于是有 2()00(,)d dd(cos,sin)d.rDf x yx yf rrr r(12)2128 图图OyxD ()rr OyxD()rr(a)(b)(iii)若原点在若原点在 D 的边界上的边界上 (图图21-28(b),则则为为:0(),rr 于是有于是有 ()0(,)d dd(cos,sin)d.(13)rDf x yx yf rrr r r r2.也可将也可将分解为分解为平面中的平面中的 型区域型区域(图图21-29).(1)令令1min(cos,sin),rrrrD2max
20、(cos,sin).rrrD 12,rr r r(2)作半径为作半径为的圆穿过的圆穿过 D,按逆时针方按逆时针方 向首先向首先由边界曲线由边界曲线 1()r 穿入穿入,而后由边界曲线而后由边界曲线 2()r 穿出穿出.则有则有 2129 图图1r2rD2()r xOr1()r 例例4 对积分对积分(,)d dDf x yx y作极坐标变换作极坐标变换,并表示为并表示为 (,)01,01.Dx yxxy不同次序的累次积分不同次序的累次积分,其中其中(见图见图21-30(a)D 解解 经过极坐标变换后经过极坐标变换后,可分解为二个可分解为二个型区域型区域:1(,)0,0sec,4Grr 2211(
21、)()(,)d dd(cos,sin)d.rrrrDf x yx yr rf rr (14)2130 图图Ox12G1xy11G0 xy y(a)Ox113D4D1D2Dy(b)21(,)0,0.2sincosGrr 又可分解为四个又可分解为四个r型区域型区域(见图见图21-30(b):12(,)0,242Drr221(,)1,arccos,2442Drrr321(,)1,arccos,2422Drrr41(,)12,arccos.4Drrr 于是于是 123142,JJJJIII 其中其中 0sec012d(cos,sin)d,rf rrrI 12sincos200d(cos,sin)d;r
22、f rrrI 212204d(cos,sin)d,rrf rrJ 1arccos1422224d(cos,sin)d,rrrf rJr1221arccos2423d(cos,sin)d,rrrf rJr12arccos414d(cos,sin)d.rrJrf rr例例5 计算计算 22d,1DIxy 其中其中 D 为圆域为圆域:221.xy 解解 由于原点为由于原点为 D 的内点的内点,故由故由 (12)式式,有有 2100222ddd11Drrxyr 12220001dd2.r2222xyzR 22xyRx 例例6 求球体求球体 被圆柱面被圆柱面所割下部分的体积所割下部分的体积 (称为维维安
23、尼称为维维安尼 (Viviani)体体 ).解解 由所求立体的对称性由所求立体的对称性(图图21-31),),只要求出在第只要求出在第 一卦限内的部分体积一卦限内的部分体积,再乘以再乘以4,即得所求立体的体即得所求立体的体 2131 图图yxzR2132 图图OcosrR yxD(图图21-32),而曲顶的方程为而曲顶的方程为 222.zRxy所以所以 2224d,DVRxy 后后,由由 (13)式便可求得式便可求得 cos223200424dd.323RVRr r rR 0y 22xyRxxy 平面内由平面内由和和所确定的区域所确定的区域 D 积积.在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体在第一卦限
24、内的立体是一个曲顶柱体,其底为其底为 其中其中 22(,)0,.Dx yyxyRx用极坐标变换用极坐标变换 例例7 计算计算 22()ed,xyDI 其中其中 D 为圆域为圆域:22xy 2.R解解 利用极坐标变换利用极坐标变换,由公式由公式 (12),容易求得容易求得 22200ded(1e).RrRIrr 若不用极坐标变换若不用极坐标变换,而直接在直角坐标系下化为累而直接在直角坐标系下化为累次次积分计算积分计算,则则会遇到无法算出会遇到无法算出 2edyy的难的难题题.三、二重积分的广义极坐标变换 当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时,可考虑用如可考虑用如 下的
25、下的广义极坐标变换广义极坐标变换:cos,:0,02,sin,xarTrybr 并计算得并计算得cossin(,).sincosaarJ rabrbbr 对广义极坐标变换也有与定理对广义极坐标变换也有与定理21.14 相应的定理相应的定理,这这 例例8 求椭球体求椭球体 2222221xyzabc 的体积的体积.解解 由对称性由对称性,椭球体的体积椭球体的体积 V 是第一卦限部分体是第一卦限部分体 积的积的 8 倍倍,而而这部分是以这部分是以22221xyzcab为曲顶为曲顶,22(,)0,0bDx yyaxxaa里就不再赘述了里就不再赘述了.222281d d.DxyVcx yab应用广义极坐标变换应用广义极坐标变换,由于由于21,zcr 因此因此122008d1dVcr abr r 1220048d1d.3abcrrrabc abcR 34.3R 特别当特别当时时,得到球的体积为得到球的体积为为底的曲顶柱体为底的曲顶柱体,所以所以
