1、四川天地人教育2021 年广东省普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟试题(五)（考试时间为 90 分钟，试卷满分为 150 分）一、选择题：本大题共 15 个小题,每小题 6 分，共 90 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1已知集合 A = x y = lg(x + 3)， B = x x 2，则 AI B =A. (-3, 2 B.(-3,+) C.2,+) D.-3,+)2若向量 BA = (1, 2), CA = (4,5),则 BC =A. (5, 7) B. (-3,-3) C. (3, 3) D.(-5,-7)3平面向量 a = (1, - 2) ，b
2、= (-2 , n) ，若 a / b ，则 n 等于A 4 B -4 C -1 D 24下列函数在定义域内为奇函数的是A.1y = x + B. y = xsin x C. y = x -1 D. y = cos xx5下列各式中，值为12的是 p psin150 cos150 B cos2 sin2 12 12A -2 tan 22.50Ccos12 sin 42 -sin12 cos 42 D 1- tan 22.50 0 0 02 06函数 f (x)=lg(x -1)x - 2的定义域是A(1,+) B(1,2)U (2,+) C(-,2)U (2,+) D1,2)U (2,+)7.
3、我国古代数学名著九章算术中有如下问题：今有甲乙丙三人持钱，甲语乙丙：各将公等所持钱，半以益我，钱成九十（意思是把你们两个手上的钱各分我一半，我手上就有90钱）；乙复语甲丙,各将公等所持钱，半以益我，钱成七十；丙复语甲乙：各将公等所持钱，半以益我，钱成五十六，则乙手上有（ ）钱A. 28 B. 32 C. 56 D. 701四川天地人教育8.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为 2 的等腰三角形，俯视图是半径为 1的半圆，则该几何体的体积是4 3A. p33B. p33C. p61D. p29已知 m,n 是两条不同直线，a,b,g 是三个不同平面，下列命题中正确的是A. 若 ma,na,
4、则 mn B. 若a g,b g,则abC. 若 ma,mb,则ab D. 若 m a,n a, 则 mn10已知某路口最高限速50km / h ，电子监控测得连续 6 辆汽车的速 3 84 1 3 6度如图 1 的茎叶图（单位： km / h ）若从中任取 2 辆，则恰好有1辆汽车超速的概率为5 5 8（图 1）4A.15B.258C.15D.3511直线 l 过点 ，且与直线 垂直，则 l 的方程是A. B. C. D.12圆心为(1, 1)且过原点的圆的方程是2 2 2 2 A(x - ) + (y - ) = B( ) ( )1 1 1 x +1 + y +1 =12 2 2 2 C(
5、x + ) + (y + ) = D(x -1) + (y -1) = 21 1 2f x = x + + - 零点时,用计算器得到下表： 13用二分法求函数 ( ) ln(2 6) 2 3xx 1.00 1.25 1.375 1.50f (x) 1.0794 0.1918 -0.3604 -0.9989则由表中数据,可得到函数的一个零点的近似值（精确度为 0.1）为A. 1.125 B. 1.3125 C. 1.4375 D. 1.4687514已知 a,bR ，且 ab 0 ，则下列结论恒成立的是A a + b 2 ab B a2 + b2 2aba b a bC + 2 D + 2b a
6、 b a2四川天地人教育15如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选与塔底 B 在 同一水平面内的两个测点C 与 D .测得 BCD = 150，BDC = 300，CD = 30米，并在点C测得塔顶 A 的仰角为60 ,则塔高 AB=0A.15 6 B. 12 3 C.16 2 D.10 2二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题 6 分，共 24 分把答案填在题中的横线上16. 设SS 为等比数列a 的前 n 项和，8a + a = 0 ，则 5n n 2 5S2= p17函数 y = 3 sin x + sin(x + ) 的最小正周期是 _.218袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别
7、标有“2”，“3”，“4”，“6”这四个数，现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数不能构成等差数列的概率是 .19已知圆C 经过点 A(0, 3) 和 B(3, 2) ,且圆心C 在直线 y = x 上,则圆 C 的方程为 .三、解答题：本大题共 3 个小题，每小题 12 分，共 36 分解答应写出文字说明、证明过程或演算过程频率 20.从某次知识竞赛中随机抽取 100 名考生的成绩， 组距绘制成如图所示的频率分布直方图，分数落在 0.030区间55, 65)，65, 75)，75,85内的频率之比为 4:2:10.019（）求这些分数落在区间55,65内的频率；0.012（）用分层抽样的
8、方法在区间45, 75)内抽取0.004一个容量为 6 的样本，将该样本看成一个总体，0 15 25 35 45 55 65 75 85质量指标值从中任意抽取 2 个分数，求这 2 个分数都在区间55,75内的概率3四川天地人教育21.如图，在三棱锥 P - ABC 中，PAB 和CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三角形，D、E、F 分别是 PC、AC、BC 的中点。(1) 证明：平面 DEF /平面 PAB ；(2) 证明： AB PC ；(3) 若 AB = 2PC = 2 ，求三棱锥 P - ABC 的体积22. 已知向量 m= (2 sin x,1)，n= (sin x + 3 c
9、os x,-3), xR，函数 f (x) =mn + 2.（1）求函数 f (x) 的最小正周期；（2）设锐角DABC 内角 A，B，C 所对的边分别为 a,b,c, 若 f (A) = 2, a = 7,b = 3 ，求角 A和边 c的值4四川天地人教育2021 年广东省普通高中学业水平考试数学科合格性考试模拟试题(五)参考答案和评分标准一、选择题 本大题共 15 小题，每小题 6 分，共 90 分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15答案 C B A D C B B C D C C D B D A二、填空题 本大题共 4 小题，每小题 6 分，满分
10、24 分16 -11 17 2p 18122 219( ) ( )x -1 + y -1 = 5三、解答题 本题共 3 小题共 36 分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程20（本小题满分 12 分）解：（）设区间75,85内的频率为 x ，则区间55, 65)，65, 75)内的频率分别为 4x 和 2x 1 分依题意得 (0.004 +0.012 +0.019 +0.030)10 + 4 x+ 2 x+ x=1 ，3 分解得 x = 0.05 所以区间55,65内的频率为 0.24 分（）由（）得，区间45, 55)，55, 65)，65, 75)内的频率依次为 0.3， 0.2 ， 0
11、.1用分层抽样的方法在区间45, 75)内抽取一个容量为 6 的样本，0.3则在区间45, 55)内应抽取6 = 30.3+ 0.2 + 0.1件，记为A ，1A ，2A 30.2在区间55, 65)内应抽取6 2 B ， B = 件，记为1 20.3+ 0.2 + 0.1 0.1在区间65, 75)内应抽取 0.3+ 0.2 + 0.16 =1件，记为C 6 分设“从样本中任意抽取 2 件产品，这 2 件产品都在区间55,75内”为事件 M，则所有的基本事件有：A1, A2， 1, 3 1, 1 A1,C ， 2 , 3A A ，A B ，A1,B2， A A ，A2 ,B1，A2 ,B2，
12、A2 ,C， 3, 1 3, 2 A3,C ， 2 ,A B ，A B ， B1,B2 ，B1,C，B C，共15 种8 分事件 M 包含的基本事件有：B1,B2，B1,C， 2 , B C ，共 3 种10 分3所以这 2 件产品都在区间55,75内的概率为151= 12 分55四川天地人教育21（本小题满分 12 分）解：（1）证明： E、F 分别是 AC、BC 的中点， EF / /AB . 1 分 AB 平面PAB , EF 平面PAB , EF / /平面PAB ,同理DF / /平 面PAB . 2 分 EF I DF = F且EF 平 面DEF , DF 平面DEF , 3 分
13、平面DEF / /平面PAB . 4 分（2）证明：取 AB 的中点G ，连结 PG 、CG ， PAB和CAB 都是以 AB 为斜边的等腰直角三角形， PG AB , CG AB , PG ICG = G , 且PG 平 面PCG ,CG 平面PCG, AB 平面PCG .6 分 PC 平面PCG , AB PC . 8 分（3）解：在等腰直角三角形 PAB中， AB = 2 ，G 是斜边 AB 的 1 2 , PG = AB =2 2同理 2CG = 。 9 分2 2 , PC =2 PCG 是等边三角形， 1 sin 60 1 2 2 3 3 . S = PG CG = =VPCG2 2
14、 2 2 2 810 分 AB 平面PCG , 1 1 2 3 6 .V - = AB SV = = 12 分P ABC PCG3 3 8 246四川天地人教育22.(本小题满分 12 分)解：（1） f (x) =mn+2 2 sin x(sin x + 3 cos x) -3+ 2 2 分= 2 sin x + 2 3 sin xcos x -1 = 3 sin 2x- cos 2x 4 分2p= 2sin(2x - ) 5 分62p f (x)的最小正周期T = = p 6 分2p p（2）由（I）知 f (A) = 2sin(2A- ) = 2 ，解得sin(2A- ) =1 7 分6
15、 6Q A0, ,2A - 26-6,56p p p2A- = A = 9 分6 2 3p解法一：由余弦定理得 a2 32 c2 2 3c cos= + - = c2 -3c +9 = 73解得 c =1或c = 2 10 分若c =1，则cos21 + 7 - 32 2( )B = 021 7B为钝角，这与 DABC 为锐角三角形不符， c 1 11 分c = 2 12 分解法二：由正弦定理得3 7= ，解得sinsin sinB p33 21B = 10 分14B是锐角, cos B = 1-sin2 B =714C =p -(A+ B) p 21sinC = sin(A+ B) = sin( + B) = 11 分 3 7c 7= ，解得 c = 2 12 分 21 37 27
