1、第二十一章 一元二次方程21.2.1 配方法第1课时 直接开平方法学习目标1.会把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程.(难点）2.运用开平方法解形如x2=p或（x+n)2=p(p0)的方程.(重点）1.如果 x2=a,则x叫做a的 .导入新课导入新课复习引入平方根2.如果 x2=a(a 0),则x=.3.如果 x2=64,则x=.a84.任何数都可以作为被开方数吗？负数不可以作为被开方数.讲授新课讲授新课直接开平方法一 问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的
2、表面积为6x2dm2，可，可列出方程106x2=1500，由此可得 x2=25开平方得即x1=5，x2=5.因棱长不能是负值，所以正方体的棱长为5dmx=5，试一试：解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.(1)x2=4(2)x2=0(3)x2+1=0解:根据平方根的意义，得x1=2,x2=-2.解:根据平方根的意义，得x1=x2=0.解:根据平方根的意义，得 x2=-1,因为负数没有平方根，所以原方程无解.(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 =0；(3)当p0 时，根据平方根的意义，方程(I)有两个不等的实数根 ，；1px 2px12xx 利用平方根的定义直接开平方求一元二
3、次方程的根的方法叫直接开平方法.归纳 例1 利用直接开平方法解下列方程:(1)x2=6；(2)x2900=0.解：（1）x2=6，直接开平方，得（2）移项，得 x2=900.直接开平方，得x=30，x1=30,x2=30.典例精析6,x1266xx，在解方程(I)时，由方程x2=25得x=5.由此想到:（x+3)2=5，得得对照上面方法，你认为怎样解方程（x+3）2=5探究交流35,x 3535.xx ，或123535xx ，或于是，方程（x+3）2=5的两个根为 上面的解法中，由方程得到，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了.解题归纳
4、例2 解下列方程：（x1）2=2；解析：第1小题中只要将（x1）看成是一个整体，就可以运用直接开平方法求解.22.即x1=-1+，x2=-1-解：（1）x+1是2的平方根，2.x+1=解析：第2小题先将4移到方程的右边，再同第1小题一样地解.例2 解下列方程：（2）（x1）24=0；即x1=3，x2=-1.解：解：（2）移项，得（x-1）2=4.x-1是4的平方根，x-1=2.x1=，547.4 x2=(3)12（32x）23=0.解析：第3小题先将3移到方程的右边，再两边都除以12，再同第1小题一样地去解，然后两边都除以-2即可.解：(3)移项，得12（3-2x）2=3，两边都除以12，得（
5、3-2x）2=0.25.3-2x是0.25的平方根，3-2x=0.5.即3-2x=0.5,3-2x=-0.5 21445xx 229614xx 解：解：225,x25,x 25,25,xx 方程的两根为方程的两根为125x 225.x 解：解：2314,x312,x 312312,xx ，方程的两根为方程的两根为21.x 例3 解下列方程：113x 1.能用直接开平方法解的一元二次方程有什么特点？如果一个一元二次方程具有x2=p或（xn）2=p（p0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解.2.任意一个一元二次方程都能用直接开平方法求解吗？请举例说明.探讨交流当堂练习当堂练习 (C)4(x-1)
6、2=9,解方程，得4(x-1)=3,x1=;4741x2=(D)(2x+3)2=25,解方程，得解方程，得2x+3=5,x1=1;x2=-4 1.下列解方程的过程中，正确的是（）(A)x2=-2,解方程，得x=2(B)(x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4 D(1)方程x2=0.25的根是 .(2)方程2x2=18的根是 .(3)方程(2x-1)2=9的根是 .3.解下列方程：(1)x2-810；(2)2x250；(3)(x1)2=4.x1=0.5,x2=-0.5x13,x2-3x12,x21解：x19,x29；解：x15,x25；解：x11,x23.4.4.（请你当小老师）下面是李昆
7、同学解答的一道一元二次方程的具体过程，你认为他解的对吗?如果有错，指出具体位置并帮他改正.21150,3y2115,3y115,3y 115,3y 3 51,y 解：解：不对，从开始错，应改为115,3y 123 53,3 53.yy 解方程解方程:22(2)(25)xx挑战自我挑战自我解：解：22225,xx2(25),xx 方程的两根为方程的两根为17x 21x 225,225xxxx 课堂小结课堂小结直接开平方法概念步骤基本思路利用平方根的定义求方程的根的方法关键要把方程化成 x2=p(p 0)或(x+n)2=p(p 0).一元二次方程两个一元一次方程降次直接开平方法第二十一章 一元二次
8、方程21.2.1 配方法第2课时 配方法学习目标1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点）3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.（难点）导入新课导入新课复习引入(1)9x2=1；(2)(x-2)2=2.1.用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5；(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p0)的形式，再利用开平方讲授新课讲授新课配方的方法一问题问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=()2；(2)a2-2ab+b2=()2.a+ba-b探究交流问题问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.（1）x
9、2+4x+=(x+)2（2）x2-6x+=(x-)2（3）x2+8x+=(x+)2（4）43x2-x+=(x-)2你发现了什么规律？22232342422()323二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结想一想：x2+px+()2=(x+)22p2p配方的方法用配方法解方程二合作探究怎样解方程:x2+6x+4=0 (1)问题1 方程(1)怎样变成（x+n)2=p的形式呢？解：x2+6x+4=0 x2+6x=-4移项 x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式：常数项等于一次项系数一半的平方.方法归纳在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二
10、次项系数为1的前提下进行的.问题2 为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9？加其他数行吗？不行，只有在方程两边加上一次项系数一半的平方，方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.方程配方的方法：要点归纳 像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程，叫做配方法.配方法的定义配方法解方程的基本思路把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解45,x 例1 解下列方程：21810 xx；12415,415.xx解：（1）移项，得x28x=1,配方，得x28x+42=1+42,(x4)2=15由此可得即配方，得2223313,2424xx 231,416x3
11、1,44x 由此可得2111,.2xx二次项系数化为1，得231,22xx 2 2213 xx；解：移项，得 2x23x=1,即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?配方，得2224211,3xx 211.3x 因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，上式都不成立，所以原方程无实数根解：移项，得2364,xx 二次项系数化为1，得242,3xx 2 33640.xx为什么方程两边都加12？即即思考思考1：用配方法解一元二次方程时，移项时要用配方法解一元二次方程时，移项时要 注意些什么？注意些什么？思考思考2：用配方法解一元二次方程的一般步骤用配方法解一元二次方程的一般步骤.移
12、项时需注意改变符号移项时需注意改变符号.移项，二次项系数化为移项，二次项系数化为1；左边配成完全平方式；左边配成完全平方式；左边写成完全平方形式；左边写成完全平方形式；降次；降次；解一次方程解一次方程.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (x+n)2=p.当当p0时时,则则 ,方程的两个根为方程的两个根为当当p=0时时,则则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两开平方得方程的两个根为个根为 x1=x2=-n.当当p0时时,则方程则方程(x+n)2=p无实数根无实数根.xnp 12,xnpxnp 规律总结例2.试用配方法说明：不论k取何实
13、数，多项式 k24k5 的值必定大于零.解：k24k5=k24k41=（k2）21因为（因为（k2）20，所以（，所以（k2）211.所以k24k5的值必定大于零.配方法的应用二例3.若a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ,054322cba,05,04,0322cba,543cba，所以，ABC为直角三角形.,02558622cbbaa,543222222cba1.方程2x2-3m-x+m2+2=0有一根为x=0，则m的值为（）A.1 B.1 C.1或2 D.1或-22.应用配方法求最值.(1)2x2-4x+5的最小值；(2)-3x2+
14、5x+1的最大值.练一练C解：原式=2(x-1)2+3 当x=1时有最小值3解：原式=-3(x-2)2-4 当x=2时有最大值-4归纳总结配方法的应用 类别类别 解题策略解题策略1.求最值或求最值或证明代数式证明代数式的值为恒正的值为恒正（或负）（或负）对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2n的形式后，(x+m)20，n为常数，为常数，当当a0时，可知其最小值；当a0时，可知其最大值.2.完全平方完全平方式中的配方式中的配方如：已知x22mx16是一个完全平方式，所以一次项系数一半的平方等于16，即m2=16，m=4.3.利用配方利用配方构成非负数构成非负数和的形式和的形式对于含有
15、多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2b24b4=0,则a2(b2)2=0,即a=0，b=2.例4.读诗词解题：读诗词解题：（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄.）大江东去浪淘尽，大江东去浪淘尽，千古风流数人物。千古风流数人物。而立之年而立之年督东吴，督东吴，早逝英年两位数。早逝英年两位数。十位恰小个位三，十位恰小个位三，个位平方与寿符。个位平方与寿符。哪位学子算得快，哪位学子算得快，多少年华属周瑜？多少年华属周瑜？解：设个位数字为解：设个位数字为x，十位数字为
16、，十位数字为(x-3)x1=6,x2=5x2-11x=-30 x2-11x+5.52=-30+5.52(x-5.5)2=0.25x-5.5=0.5,或或x-5.5=-0.5 x2=10(x-3)+x这个两位数为这个两位数为36或或25，周瑜去世的年龄为周瑜去世的年龄为36岁岁.周瑜周瑜30岁还攻打过东吴，岁还攻打过东吴，1.解下列方程：（1）x2+4x-9=2x-11；（；（2）x(x+4)=8x+12；（3）4x2-6x-3=0；（4）3x2+6x-9=0.解：x2+2x+2=0，(x+1)2=-1.此方程无解；解：x2-4x-12=0，(x-2)2=16.x1=6,x2=-2；233024
17、xx解：，2321().416x12321321,44xx；解：x2+2x-3=0，(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.当堂练习当堂练习2.利用配方法证明：不论x取何值，代数式x2x1的值总是负数，并求出它的最大值.解：x2x1=(x2+x+)+1所以x2x1的值必定小于零.141421()0,2x+213(),24=x+213()0,24x+当当 时，时，x2x1有最大值12x=3.43.若 ，求(xy)z 的值.01326422zyyxx解：对原式配方，得 023222zyx由代数式的性质可知 02,03,0222zyx.2,3,2zyx.3663222zxy4.如图，在一块长35m、
18、宽26m的矩形地面上，修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草，要使剩余部分的面积为850m2，道路的宽应为多少？解：设道路的宽为xm,根据题意得（35-x)(26-x)=850，整理得x2-61x+60=0.解得x1=60（不合题意，舍去）,x2=1.答：道路的宽为1m.5.已知a,b,c为ABC的三边长，且 试判断ABC的形状.,0222bcacabcba解：对原式配方，得 由代数式的性质可知 ,021222cbcaba,0,0,0222cbcaba,cba所以，ABC为等边三角形.课堂小结课堂小结配方法定义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.步骤一移常数项；二配方配上 ；三写成（x+n)2=p(p 0);四直接开平方法解方程.22二次项系数（）特别提醒：在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应用求代数式的最值或证明
