1、2.2.4 平面与平面平行的性质1.1.理解平面与平面平行的性质定理理解平面与平面平行的性质定理.（重点）（重点）2.2.会用平面与平面平行的性质定理分析解决有关会用平面与平面平行的性质定理分析解决有关 问题问题.（难点难点）3.3.培养空间想象能力与转化化归的思想培养空间想象能力与转化化归的思想.问题问题1 1：若两个平面平行，则一个平面内的直线：若两个平面平行，则一个平面内的直线a a与另与另一个平面内的直线有什么位置关系一个平面内的直线有什么位置关系?abc异面、平行异面、平行/,/.例例1 1 如如果果已已知知平平面面，满满足足，求求证证：abab a bab/,a b没有公共点,a
2、b都在平面 内/.ab证明证明:问题问题2 2：平面：平面ACAC内哪些直线与内哪些直线与D D1 1B B1 1平行？如何找到它们？平行？如何找到它们？内线1111平平面面AC的AC的直直只只要要和和D B 共D B 共面面即即可可.A AD DC CB BD D1 1A A1 1B B1 1C C1 1如图如图平面平面ACAC内内DBDB与与D D1 1B B1 1平行平行.一块长方体木料，将木料一块长方体木料，将木料 按虚线锯开，如图所示，按虚线锯开，如图所示，那么，所得的截面有什么那么，所得的截面有什么 特点？特点？想一想想一想如果平面如果平面平行于平面平行于平面，那么，那么()A A
3、平面平面内内的的任意直线都平行于平面任意直线都平行于平面B B平面平面内仅有两条相交直线平行于平面内仅有两条相交直线平行于平面C C平面平面内内的的任意直线都平行于平面任意直线都平行于平面内的任意直线内的任意直线D D平面平面内的直线与平面内的直线与平面内的直线不能垂直内的直线不能垂直 A 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行么它们的交线平行 即即：/aa bb 二、平面和平面平行的性质定理二、平面和平面平行的性质定理简记简记:面面平行面面平行 线线平行线线平行 ba符号语言：符号语言：图形语言：图形语言：面面平行面面平行 线线平行线
4、线平行作用：作用：作平行线的方法；作平行线的方法；判定直线与直线平行的重要依据判定直线与直线平行的重要依据.平面与平面平行的性质定理的认识平面与平面平行的性质定理的认识关键：关键：寻找两平行平面与第三个平面的交线寻找两平行平面与第三个平面的交线.ba三种平行关系的转化三种平行关系的转化线线线线平平行行线线面面平平行行面面面面平平行行线面平行判定线面平行判定线面平行性质线面平行性质面面平行判定面面平行判定面面平行性质面面平行性质面面平行性质面面平行性质例例2 2 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.已知：如图，已知：如图，ABCDABCD，AA，C,BC
5、,B，D.D.求证求证:AB=CD.:AB=CD.讨论讨论:解决这个问题的基本步骤是什么解决这个问题的基本步骤是什么?第一步第一步:结合图形，将原题改写成数学符号语言结合图形，将原题改写成数学符号语言;第二步第二步:分析分析,作出辅助线；作出辅助线；ACBDACBD第三步第三步:书写证明过程书写证明过程.夹在两个平行夹在两个平行平面间的所有平面间的所有平行线段相等平行线段相等.证明：证明：/ABDCAB 过过，C CD D可可作作平平面面 =AC=AC =BD=BD/BDBDACACABABCDCD边为边四四形形ABCD平ABCD平行行四四形形 AB=CD.AB=CD.ACBD1 1平面平面与
6、圆台的上、下底面分别相交于直线与圆台的上、下底面分别相交于直线m m，n n，则则m m，n n的位置关系是的位置关系是()A A相交相交B B异面异面C C平行平行D D平行或异面平行或异面 2 2已知已知，a a，B B，则在，则在内过点内过点B B的所有的所有直线中直线中()A A不一定存在与不一定存在与a a平行的直线平行的直线 B B只有两条与只有两条与a a平行的直线平行的直线 C C存在无数条与存在无数条与a a平行的直线平行的直线 D D存在唯一一条与存在唯一一条与a a平行的直线平行的直线C D 3.3.下列命题正确的是（下列命题正确的是（）A.A.两个平面有无数个公共点，则
7、这两个平面重合两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B.B.若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，若一个平面内有两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行则这两个平面平行C.C.若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，若一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行则这两个平面平行D.D.若两个平面平行，则其中的一个平面与另一个若两个平面平行，则其中的一个平面与另一个平面内的无数条直线平行平面内的无数条直线平行 D D4.4.已知已知，ABAB交交，于于A A，B B，CDCD交交，于于C C，D D，ABCD=SABCD=S，SA=6SA=6，AB=9AB=9，SD=8SD=
8、8，求，求CD.CD.C CB BS SA AD D图图1 1A AD DC CB BS S图图2 2解：解：（1 1）如图如图1 1所示所示,因为因为,所以所以ACBD.ACBD.所以所以所以SASC68-CD24SASC68-CD24=,=,CD=,=,CD=ABCD9CD5ABCD9CD5C CB BS SA AD D图图1 1（2 2）如图）如图2 2所示，所示，因为因为，所以，所以ACBD.ACBD.所以所以所以SASC6CD-8SASC6CD-8=,=,=,=,ABCD9CDABCD9CDCD=24.CD=24.综2424上上，CD=或CD=或CD=24.CD=24.5 5A AD
9、 DC CB BS S图图2 2变式训练如图所示,平面平面,ABC,ABC分别在,内,线段AA,BB,CC共点于O,O在,之间,若AB=2,AC=1,BAC=90,OAOA=32.则ABC的面积为.解析:相交直线AA,BB所在平面和两平行平面,分别相交于AB,AB,由面面平行的性质定理可得ABAB.同理相交直线BB,CC确定的平面和平行平面,分别相交于BC,BC,从而BCBC.同理易证ACAC.BAC与BAC的两边对应平行且方向相反,BAC=BAC.同理ABC=ABC,BCA=BCA.ABC与ABC的三内角分别相等,ABCABC,ABAB,AABB=O,在平面ABAB中,AOBAOB.证明线面
10、平行证明线面平行【例2】导学号96640045如图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q分别是BC,C1D1,AD1,BD的中点.(1)求证:PQ平面DCC1D1.(2)求PQ的长.(3)求证:EF平面BB1D1D.思路分析:(1)证明PQCD1PQ平面DCC1D1或取AD的中点G证平面PGQ平面DCC1D1PQ平面DCC1D1(2)利用PQ=D1C求解.(3)取B1D1的中点O1证明BEFO1为平行四边形EF平面BB1D1D或取B1C1的中点E1证明平面EE1F平面BB1D1DEF平面BB1D1D(1)证明:(方法一)如图,连接AC,CD1.P,Q分别是AD1,AC
11、的中点,PQCD1.又PQ平面DCC1D1,CD1平面DCC1D1,PQ平面DCC1D1.(方法二)取AD的中点G,连接PG,GQ,则有PGDD1,GQDC,且PGGQ=G,平面PGQ平面DCC1D1.又PQ平面PGQ,PQ平面DCC1D1.(3)证明:(方法一)取B1D1的中点O1,连接FO1,BO1,则有FO1B1C1,且FO1=B1C1.又BEB1C1,且BE=B1C1,BEFO1,且BE=FO1,四边形BEFO1为平行四边形,EFBO1.又EF平面BB1D1D,BO1平面BB1D1D,EF平面BB1D1D.(方法二)取B1C1的中点E1,连接EE1,FE1,则有FE1B1D1,EE1B
12、B1,且FE1EE1=E1,平面EE1F平面BB1D1D.又EF平面EE1F,EF平面BB1D1D.变式训练2如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点.M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NFCM.证明:因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DEAB.又DE平面ABC,AB平面ABC,所以DE平面ABC,同理DF平面ABC,且DEDF=D,所以平面DEF平面ABC.又平面PCM平面DEF=NF,平面PCM平面ABC=CM,所以NFCM.转化与化归思想在线面、面面平行性质定理中的应用典例如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点N在BD上
13、,点M在B1C上,且CM=DN.求证:MN平面AA1B1B.【审题视角】用判定定理证明较困难,可通过证明过MN的平面与平面AA1B1B平行,得到MN平面AA1B1B.探究一探究二思想方法当堂检测（1 1）如果两个平面平行，那么在一个平面内的所）如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行有直线都与另一个平面平行.（2 2）如果两个平行平面同时和第三个平面相交）如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行那么它们的交线平行.（3 3）夹在两个平行平面间的所有平行线段相等）夹在两个平行平面间的所有平行线段相等.两个平面平行具有如下的结论两个平面平行具有如下的结论(1)(1)平行公理平行公理(2)(2)三角形中位线三角形中位线(3)(3)平行线分线段成比例平行线分线段成比例(4)(4)相似三角形对应边成比例相似三角形对应边成比例(5)(5)平行四边形对边平行平行四边形对边平行线线/线线面面/面面线线/面面各种平行之间的转化关系各种平行之间的转化关系
