1、江苏省江苏省南通市南通市 2020 届届四校联盟四校联盟 高三数学高三数学模拟测试卷模拟测试卷 一、填空题（共一、填空题（共 14 题题,每题每题 5 分分,计计 70 分分.不写解答过程不写解答过程,把答案写在答题纸指定位置上）把答案写在答题纸指定位置上） 1已知集合A|3| 1x x， 2 B540x xx，则AB 4 2.复数 2 1 z i ， （其中i是虚数单位） ，则复数z的共轭复数为 1 i 3设向量a(l，k)，b(2，k3)，若ab，则实数 k 的值为 1 4如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 10 11 5函数 f(x) = )34log 2 1 x（的定义域为 .(-
2、3/4,1 6已知命题 p：10 存在零点，则实数 a 的取值范围为.2,+) 14已知( )(2 )(3)f xm xm xm，( )22 x g x ，若同时满足条件： xR ，( )0f x 或( )0g x ；(, 4)x ，( ) ( )0f x g x 则m的取值范围是 ( 4, 2) 二、解答题二、解答题（共（共 6 小题，共小题，共 90 分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16 （本题满分 14 分） 如图，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，已知底面 ABCD 是菱形，点 P 是侧棱 C1C 的 中点 （1）求证
3、：AC1平面 PBD； （2）求证：BDA1P （1）证明：连结AC交BD于O点，连结OP， 因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O， 所以O点是AC的中点，所以AOOC 又因为点P是侧棱 1 C C的中点，所以 1 CPPC 在 1 ACC中， 1 1 C PAO OCPC , 所以 1/ / ACOP4 分 又因为OPPBD 面， 1 ACPBD 面， 所以 1/ / AC平面PBD7 分 （2）证明：连结 11 AC. 因为 1111 ABCDABC D为直四棱柱， 所以侧棱 1 C C垂直于底面ABCD， P D1C1 B1 A1 D C BA O P D1C1 B1 A1
4、 D C BA 又BD 平面ABCD，所以 1 CCBD 因为底面ABCD是菱形，所以ACBD 又 1 ACCCC， 111 ,ACAC CCAC面面,所以 1 BDAC 面10 分 又因为 1111 ,PCC CCACC A面,所以 11 PACC A面，因为 111 AACC A面， 所以 11 APAC面， 所以 1 BDAP14 分 16 （本小题满分 14 分） 在ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，cosB4 5 （1）若 c2a，求sinB sinC的值； （2）若 CB 4，求 sinA 的值 解： （1）解法 1： 在ABC 中，因为 cosB4 5，所
5、以 a2c2b2 2ac 4 52 分 因为 c2a，所以 (c 2) 2c2b2 2c c 2 4 5，即 b2 c2 9 20，所以 b c 3 5 10 4 分 又由正弦定理得sinB sinC b c，所以 sinB sinC 3 5 10 6 分 解法 2： 因为 cosB4 5，B(0，)，所以 sinB 1cos 2B3 52 分 因为 c2a，由正弦定理得 sinC2sinA， 所以 sinC2sin(BC)6 5cosC 8 5sinC，即sinC2cosC4 分 又因为 sin2Ccos2C1，sinC0，解得 sinC2 5 5 ， 所以sinB sinC 3 5 10
6、6 分 （2）因为 cosB4 5，所以 cos2B2cos 2B17 258 分 又 0B，所以 sinB 1cos2B3 5， 所以 sin2B2sinBcosB2 3 5 4 5 24 2510 分 因为 CB 4，即 CB 4，所以 A(BC) 3 4 2B， 所 以 sinA sin( 3 4 2B) sin 3 4 cos2B cos 3 4 sin2B 31 2 50 14 分 17 （ 14 分 ） 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 椭 圆 22 22 :10 xy Cab ab 的右焦点为 1,0F ，且过点 3 (1,) 2 过点F且不与x轴重合的直线
7、l与椭圆C交于 ,A B 两 点 ， 点 P 在 椭 圆 上 ， 且 满 足 0OAOBtOP t （1）求椭圆C的标准方程； （2）若 2 2 t ，求直线AB的方程 .解： （1）由题意可知，1c，且 22 19 1 4ab ，又因为 222 abc， 解得2,3ab，2 分 所以椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy 4 分； （2）若直线AB的斜率不存在，则易得 33 (1, ),(1,) 22 AB， 2 (2,0) 2 OAOBOP， 得(2 2,0)P，显然点P不在椭圆上，舍去5 分； 因此设直线l的方程为1yk x，设 1122 ( ,), (,)A x yB xy， 将 直
8、 线l的 方 程 与 椭 圆C的 方 程 联 立 22 1 1 43 yk x xy ， 整 理 得 2222 ( 34)841 20kxkxk7 分， 因为 22 1,2 2 461 34 kk x k ，所以 2 12 2 8 34 k xx k 8 分， 则由 1212 2 ,k2 2 OAOBxxxxOP， 得 1212 ( 2(), 2 (2)Pxxk xx10 分 将P点坐标代入椭圆C的方程，得 222 1212 3()4(2)6xxkxx( )11 分 x y F P O B A （第 17 题） ;将 2 12 2 8 34 k xx k 带入等式( )得 2 3 4 k ，
9、3 2 k 12 分， 因此所求直线AB的方程为 3 1 2 yx 14 分 设直线l的方程为1xmy求解亦可 18 （16 分）某校要在一条水泥路边安装路灯，其中灯杆的设计如图所示，AB为地面， ,CD CE为路灯灯杆，CD AB， 2 3 DCE，在E处安装路灯，且路灯的照明张 角 3 MEN已知4m,2mCDCE （1）当,M D重合时，求路灯在路面的照明宽度MN； （2）求此路灯在路面上的照明宽度MN的最小值 解： （1）当,M D重合时， 由余弦定理知， 22 2cos2 7MEDECDCECD CEDCE ， 所以 222 5 7 cos 214 CDDECE CDE CD DE
10、2 分， 因为 2 CDEEMN，所以 5 7 sincos 14 EMNCDE， 因为cos0EMN，所以 2 21 cos1 sin 14 EMNEMN，4 分 因为 3 MEN，所以 2 sinsin 3 ENMEMN 222 7 sincoscossin 337 EMNEMN6 分 在EMN中， 由正弦定理可知，sin sin MNEM MENENM ， 解得 7 3 2 MN 8 分； （2）易知E到地面的距离 2 42sin5m 32 h ，10 分 由三角形面积公式可知， 11 5sin 223 EMN SMNEM EN ， 所以 10 3 MNEM EN,12 分 NM E C
11、 DB A （第 18 题） 又由余弦定理可知， 222 2cos 3 MNEMENEM ENEM EN，13 分 当且仅当EMEN时，等号成立，所以 2 10 3 MNMN，解得 10 3 3 MN14 分； 答： （1）路灯在路面的照明宽度为 7 3 m 2 ； （2）照明宽度MN的最小值为10 3m 3 .16 分 19 （本小题满分 16 分）已知函数xxxxf32 3 1 )( 23 （Rx）的图象为曲线C （1）求曲线C上任意一点处的切线的斜率的取值范围； （2）若曲线C上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐 标的取值范围； （3）试问：是否存在一条直线与曲
12、线 C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条 件的所有直线方程；若不存在，说明理由 【解】 （1）34)( 2 xxxf，则 2 ( )(2)11kfxx ， -4 分 （2）由（1）可知， 1 1 1 k k -6 分 得：,22)3 , 1 (22 ,x；-9 分 （3）设存在过点 A),( 11 yx的切线曲线 C 同时切于两点，另一切点为 B),( 22 yx， 21 xx ， 过 A),( 11 yx的切线方程是： )2 3 2 ()34( 2 1 3 11 2 1 xxxxxy， -11 分 同理：过 B),( 22 yx的切线方程是)2 3 2 ()34( 2 2 3 22
13、2 2 xxxxxy， 则有：3434 2 2 21 2 1 xxxx，得4 21 xx，-13 分 又由 2 2 3 2 2 1 3 1 2 3 2 2 3 2 xxxx， 即0)(2)( 3 2 2121 2 221 2 121 xxxxxxxxxx 04)( 3 1 2 221 2 1 xxxx，即012)( 2 2211 xxxx 即0124)4( 2 22 xx，044 2 2 2 xx 得2 2 x，由4 21 xx得2 1 x，这与 21 xx 矛盾，所以不存在-16 分 20 （本小题满分 16 分） 设各项均为正数的数列 n a的前n项和为 n S， 已知 1 1a ， 且
14、111 n nnnnn aSa Saa 对一切*nN都成立 （1）时；当1， 求数列 n a的通项公式； 若,) 1( nn anb求数列 n b的前n项的和; n T （2）是否存在实数 ，使数列 n a是等差数列.如果存在，求出的值；若不存在， 说明理由. 【详解】(1)若1，因为 111nnnnnn a SaSaa 则 11 11 nnnn SaSa ， 11 1aS. 又0 n a ，0 n S ， 11 1 1 nn nn Sa Sa ， 313122 1212 111 111 nn nn SSaaSa SSSaaa ， 化简，得 11 12 nn Sa . 当2n时，12 nn S
15、a . ，得 1 2 nn aa ， 1 22 n n a n a . 当1n 时， 2 2a ，1n 时上式也成立， 数列 n a是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 1 2n n a - =.4 分 因为1 nn bna， 1 1 2n n bn 所以 01221 2 23 24 22(1) 2 nn n Tnn 所以 1231 22 23 24 22(1) 2 nn n Tnn 将两式相减得： 121 2222(1) 2 nn n Tn 1 2(1 2) 2(1) 22 1 2 n nn nn 所以2n n Tn8 分 (2)令1n ，得 2 1a.令2n，得 2 3 1a. 要使数列
16、 n a是等差数列，必须有 213 2aaa，解得0. 当0时， 11 1 nnnn SaSa ，且 21 1aa.10 分 当2n时， 111 1 nnnnnn SSSSSS ， 整理，得 2 111nnnnn SSSSS ， 1 1 1 1 nn nn SS SS ， 从而 33124 12123 111 111 nn nn SSSSSS SSSSSS ， 化简，得 1 1 nn SS ，所以 1 1 n a . 综上所述， * 1N n an ， 所以0时，数列 n a是等差数列. 16 分 数学附加试卷 （满分 40 分，考试时间 30 分钟） 21A （本小题满分 10 分） 己知矩
17、阵，其中，点 P(2，2)在矩阵的变换下得到的点 Q(2，4) （1)求实数 a，b 的值： （2）求矩阵 A 的逆矩阵 解： （1）因为 4 2 2 2 1 1 b a ， 所以 422 222 b a 所以 1 2 b a 5 分 （2）3 11 12 )det( A， 3 2 3 1 3 1 3 1 3 2 3 1 3 1 3 1 1 A10 分 21B在极坐标系中，已知(A 1， 3 )，(B 9， 3 )，线段AB的垂直平分线l与极轴交于 点C，求l的极坐标方程及ABC的面积 解：由题意，线段AB的中点坐标为(5,) 3 ， 设点( , )P 为直线l上任意一点， 在直角三角形OMP
18、中，cos()5 3 ， 所以，l的极坐标方程为cos()5 3 ，5 分 令0，得10，即(10,0)C （8 分） 所以，ABC的面积为： 1 (91) 10sin20 3 23 10 分 22.(本小题満分 10 分) 1 ()2,0, ( ) 1 2(),0 m xx x f x xn x x 已知函数是奇函数. （1）求实数 m，n 的值： （2）若对任意实数 x，都有0)()( 2 xx efef成立.求实数的取值范围. 23 （本小题满分 10 分） 已知 21 2 012 1 n xaa xa x 21 21 n n ax ， * nN 记 0 21 n nn k k Tka
19、（1）求 2 T的值； （2）化简 n T的表达式，并证明：对任意的 * nN， n T都能被42n整除 解： （1） 210 2210555 35C3C5C30Taaa3 分 （2） 1 212 21 !212! 1C121 C 1! nkn k nn nnn nknkn nknknknk 1 2121 000 2121 C21 C nnn n knk nn knn kkk Tkakk 111 212121 000 2121C21C21C nnn nknknk nnn kkk nknnkn 1221 22122 00 11 2 21C21C2 212C21221 C 22 nn n knknnnn nnnn kk nnnnn 1221 22122 00 11 2 21C21C2 212C21221 C 22 nn n knknnnn nnnn kk nnnnn 7 分 1 2212121 21 C21 CC2 21 C nnnn nnnnn Tnnn * 21 CnnN ， n T能被42n整除10 分
