1、海淀区海淀区 20222023 学年第一学期期末练习学年第一学期期末练习高三数学高三数学2023.01本试卷共 4 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无 效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共分）一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求 的一项。（1）已知集合23Axx，0Bx x，若AB（A）2,3（B）0,3（C）(0,)（D）2,)（2）在复平面
2、内，复数12i对应的点在（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）已知函数1()1f xxx，在下列区间中，包含()f x零点的区间是（A）1 1(,)4 2（B）1(,1)2（C）(1,2)（D）(2,3)（4）已知13lg5,sin,27abc，则A.abcB.bacC.bcaD.acb（5）若圆222220 xyxaya截直线210 xy 所得弦长为 2，则a（A）1（B）0（C）1（D）2（6）已知 na为等差数列，13a，4610aa.若数列 nb满足1nnnbaa，（n=1，2，），记 nb的前n项和为nS，则8S（A）32（B）80（C）192（D）224（7
3、）某校高一年级计划举办足球比赛，采用抽签的方式把全年级 6 个班分为甲、乙两组，每组 3 个 班，则高一（1）班、高一（2）班恰好都在甲组的概率是（A）13（B）14（C）15（D）16（8）设，是两个不同的平面，直线m，则“对内的任意直线l，都有ml”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）已知函数()cos2f xx=cos2x 在区间,()3t ttR上的最大值为()M t，则()M t的最小值为（A）32（B）32（C）12（D）12（10）在实际生活中，常常要用到如图 1 所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图 2，用
4、一个 与圆柱底面所成角为 450的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图 3）的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦 型函数的部分图象（如图 4）.记该正弦型函数的最小正周期为T，截口椭圆的离心率为.若圆柱的底面直径为 2，则（A）12,2Te（B）22,2Te（C）14,2Te（D）24,2Te第二部分（非选择题 共第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共分）二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。（11）抛
5、物线22yx的焦点坐标为.（12）在42()xx的展开式中，2x的系数为.（13）如图，在正三棱柱111ABCABC中，P是棱1BB上一点，12ABAA，则三棱锥1PACC的体积为.（14）设O为原点，双曲线22:13yC x 的右焦点为F，点P在C的右支上.则C的渐近线方程是；OP OFOP 的取值范围是.（15）已知函数2()22f xxxt，()xg xet.给出下列四个结论：当0t 时，函数()yf x()g x有最小值；tR，使得函数()yf x()g x在区间1,)上单调递增;tR，使得函数()yf x()g x没有最小值；tR，使得方程()f x()g x有两个根且两根之和小于
6、2.其中所有正确结论的序号是.三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题 13 分）已知函数()sin()(0,)2f xx.用五点法画()f x在区间11,1212上的图象 时，取点列表如下：（）直接写出()f x的解析式及其单调递增区间；（）在ABC中，1()2f B，2 3b，6ac，求ABC的面积.（17）（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，ADDC，ABDC，12ABDC，1PDAD，M为棱PC的中点.（）证明：BM平面PAD；（）再从条
7、件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求二面角PDMB的余弦值.条件：3PB;条件：BDBC.注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分.（18）（本小题 14 分）H 地区农科所统计历年冬小麦每亩产量的数据，得到频率分布直方图（如图 1），考虑到受市场影响，预测该地区明年冬小麦统一收购价格情况如表 1（该预测价格与亩产量互不影响）.假设图 1 中同组的每个数据用该组区间的中点值估算，并以频率估计概率.（）试估计 H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 1500 元的概率；（）设 H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为X元，求X的分布列和数学期望；（）H 地区农科所研究发现，若每亩多投入 1
8、25 元的成本进行某项技术改良，则可使每亩冬小麦 产量平均增加 50 kg.从广大种植户的平均收益角度分析，你是否建议农科所推广该项技术改良？并说明理由.（19）（本小题 14 分）已知函数()ln(1)f xxx.（）判断 0 是否为()f x的极小值点，并说明理由；（）证明：2()112f xxx.（20）（本小题 15 分）已知椭圆E：22221xyab过点(2,1)P 和(2 2,0)Q.（）求椭圆E的方程；（）过点(0,2)G作直线l交椭圆E于不同的两点A，B，直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴 于点N.若2GMGN，求直线l的方程.（21）（本小题 15 分）对于一个有穷正整数数
9、列Q，设其各项为12,.,na aa，各项和为()S Q，集合(,),1iji j aaijn 中元素的个数为()T Q.（）写出所有满足()4S Q，()1T Q 的数列Q;（）对所有满足()6T Q 的数列Q，求()S Q的最小值；（）对所有满足()2023S Q 的数列Q，求()T Q的最大值.高三数学参考答案 第1页（共7页）海淀区20222023学年第一学期期末练习 高三数学参考答案 一、选择题 题目 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D B C B C A D B 二、填空题（11）1(,0)2（12）8（13）2 33（14）3yx=；(1,2（15）三、解
10、答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）解：（）()f x的解析式为()sin(2)6f xx=+，单调递增区间为,()36kkk+Z.（）由（）可知1()sin(2)62f BB=+=，因为0B，所以22666B+.所以266B+=.即3B=.由余弦定理得2222cosbacacB=+.即2212acac=+.即212()3acac=+.即12363ac=.即8ac=.所以1sin2 32ABCSacB=.高三数学参考答案 第2页（共7页）（17）（本小题 14 分）解：（）取PD中点N，连接,ANMN.在PCD中，,M N分别为,PC
11、 PD的中点，所以MNDC，1=2MNDC，因为ABDC，1=2ABDC，所以ABMN，=AB MN.所以四边形ABMN为平行四边形，因此BMAN.又因为BM 平面PAD，AN 平面PAD，所以BM平面PAD.（）选择条件 因为PD 平面ABCD，,AD DC 平面ABCD，所以PDAD，PDDC.又因为ADDC，所以建立如图空间直角坐标系Dxyz 因为PD 平面ABCD，BD 平面ABCD，所以PDBD.所以在RtPBD中，1PD=，3PB=，可得2BD=.在RtABD中，1AD=，2BD=，所以1AB=,又因为12ABDC=，所以2DC=.由题意得(0,0,0)D,(1,0,0)A,(1,
12、1,0)B,(0,2,0)C,(0,0,1)P,1(0,1,)2M，所以(1,0,0)DA=，1(0,1,)2DM=，(1,1,0)DB=.设平面BDM的法向量为(,)x y z=n，所以0,0,DMDB=nn 即10,20.yzxy+=+=令1y=，则1,2xz=.所以平面BDM的一个法向量为(1,1,2)=n.易知DA为平面PDM的一个法向量.所以16cos,6|6 1DADADA=nnn.因为二面角PDMB为钝角，所以二面角PDMB的余弦值为66.NBMDCAPzyxBMDCAP高三数学参考答案 第3页（共7页）选择条件 因为PD 平面ABCD，,AD DC 平面ABCD，所以PDAD，
13、PDDC，又因为ADDC，所以建立如图空间直角坐标系Dxyz 取CD的中点E，连接BE.因为ABDC，1=2ABDC，所以ABDE，=AB DE，又因为ADDC，所以四边形ABED为矩形.在BCD中，因为BDBC，所以12BEDC=.又因为12ABDC=，所以ABBE=.所以四边形ABED为正方形，即1ABAD=，2DC=.由题意得(0,0,0)D,(1,0,0)A,(1,1,0)B,(0,2,0)C,(0,0,1)P,1(0,1,)2M，所以(1,0,0)DA=，1(0,1,)2DM=，(1,1,0)DB=.设平面BDM的法向量为(,)x y z=n，所以0,0,DMDB=nn 即10,20
14、.yzxy+=+=令1y=，则1,2xz=.所以平面BDM的一个法向量为(1,1,2)=n.易知DA为平面PDM的一个法向量.所以16cos,6|6 1DADADA=nnn.因为二面角PDMB为钝角，所以二面角PDMB的余弦值为66.（18）（本小题 14 分）解：（）由图可知，亩产量是 400 kg 的概率约为0.005 500.25=，亩产量是 450 kg 的概率约为 0.01 500.5=，亩产量是 500 kg 的概率约为0.005 500.25=.估计 H 地区明年每亩冬小麦统一收购总价为 1500 元的概率为0.25 0.60.15=.（）X的所有可能取值为 960，1080，1
15、200，1350，1500.(960)0.25 0.40.1P X=，(1080)0.5 0.40.2P X=，(1200)0.25 0.40.25 0.60.1 0.150.25P X=+=+=，(1350)0.5 0.60.3P X=，(1500)0.25 0.60.15P X=.zyxBEMDCAP高三数学参考答案 第4页（共7页）X的分布列为 X 960 1080 1200 1350 1500 P 0.1 0.2 0.25 0.3 0.15()960 0.1 1080 0.2 1200 0.25 1350 0.3 1500 0.151242E X=+=.（3）建议农科所推广该项技术改良
16、.设增产前每亩冬小麦产量为kg，增产后每亩冬小麦产量为kg，则50.=+设增产后的每亩冬小麦总价格为 Y 元，由分析可知()()50(2.4 0.43 0.6)E YE X=+所以增产的 50 kg 会产生增加的收益是50(2.4 0.43 0.6)138125+=，故建议农科所推广该项技术改良.19.（本小题 14 分）（）解法一：0 是()f x的极小值点，理由如下：当0 x 时，ln(1)0 x+，所以()ln(1)0f xxx=+.当10 x 时，01 1x+，可知ln(1)0 x+，所以()ln(1)0f xxx=+.而(0)0f=，由极小值点的定义知，0 是()f x的极小值点.（
17、）解法二：0 是()f x的极小值点，理由如下：对函数求导得()ln(1)1xfxxx=+.当0 x 时，ln(1)0,01xxx+，所以()0fx.当10 x 时，01 1x+，可知ln(1)0,01xxx+，所以()0fx.所以()f x在区间(0,)+上单调递增,在区间(1,0)上单调递减.所以 0 是()f x的极小值点.（）证明：2()112f xxx+等价于ln(1)112xxx+，即 21ln(1)20 xxxx+.记21()ln(1)(1)2g xxxx x=+.求导得21()111xg xxxx=+=+.当1x 时易知()0g x，所以函数()g x在区间(1,)+上单调递增
18、.又(0)0g=，可得当0 x 时，()(0)0g xg=，高三数学参考答案 第5页（共7页）即当0 x 时，不等式21ln(1)02xxx+成立.即当0 x 时，不等式2()112f xxx+成立.当10 x 时，()(0)0g xg=，即当10 x 时，不等式21ln(1)02xxx+成立.即当10 x 时，不等式2()112f xxx+成立.综合上述，不等式2()112f xxx+成立.（20）（本小题 15 分）解：（）将点(2,1)P，(2 2,0)Q坐标带入椭圆 E 的方程，得 222411,81.aba+=解得228,2ab=.所以椭圆E的方程为22182xy+=.（）若直线l斜
19、率不存在，即直线l为0 x=时，A和M点重合，B和N点重合，分别为椭圆的上下顶点(0,2),(0,2)，此时|(22)(22)2GMGN=+=，符合题意.若直线l斜率存在，设直线AB的方程为2ykx=+，1122(,),(,)A x yB xy(12x 且22x ).联立方程222182ykxxy=+=得，22(41)1680kxkx+=.222(16)32(41)32(41)0kkk=+=，214k，即12k 或12k .1221641kxxk+=+，122841x xk=+.1112PAykx=+，所以直线PA的方程为111(2)12yyxx=+，取0 x=得112(1)(0,1)2yMx
20、+.同理可得222(1)(0,1)2yNx+.由|2GMGN=得12122(1)2(1)1212222yyxx+=+，即12122(1)2(1)11222kxkxxx+=+.所以21212(21)222xxkxx=+，高三数学参考答案 第6页（共7页）即2121212(21)22()4x xkx xxx=+.2222841(21)283244141kkkkk+=+，即22(21)1483kkk=+，因为12k，所以得|21|1|23|kk=，即1k=.经检验符合题意，此时直线l为2yx=+.综上所述，直线l的方程为0 x=或2yx=+.（21）（本小题 15 分）解：（）1,2,1 和 3,1
21、.（）()S Q的最小值为 7.首先证明()7S Q：由题知26nC 得4n.当4n=时，应有数列中各项均不相同，此时有()1 2 3 410S Q +=；当5n=时，由于数列中各项必有不同的数，进而有()6S Q.若()6S Q=，满足上述要求 的数列中有四项为 1，一项为 2，此时()4T Q，不符；当n6时，同可得()S Q7.综上所述，有()S Q7.同时当Q为 2,2,1,1,1 时，()S Q=7，所以()S Q的最小值为 7.（）()T Q的最大值为 511566.下面分五步证明当()T Q最大时，数列 Q 应满足：存在大于 1 的项，否则此时有()0T Q=；1na=，否则将n
22、a拆分成na个 1 后()T Q变大；当1,2,1tn=时，有1ttaa+，否则交换1,tta a+的顺序后()T Q变为()1T Q+.进一步有10,1ttaa+，否则有12ttaa+，此时将ta改为1ta，并在数列末尾添加一项 1，此时()T Q变大；各项只能为 2 或 1，否则由可得数列 Q 中存在相邻的两项13,2ttaa+=，设此时 Q 中有x项为 2，则将ta改为 2，并在数列末尾添加一项 1 后，()T Q的值至少变为()T Qx+1()1xT Q=+;由上可得数列 Q 为2,2,2,1,1,1的形式,设其中有x项为 2,有y项为 1,则有22023xy+=,高三数学参考答案 第7页（共7页）从而有2()(20232)22023T Qxyx xxx=+，由二次函数性质可得，当且仅当5061011xy=时，()T Q最大，为 511566.综上可得()T Q的最大值为 511566.
