1、人大附中 20192020 学年度高三 4 月质量检测试题 数数 学学 2020 年 4 月 13 日 说明：本试卷共三道大题、22 道小题，共 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。考生 务必按要求将答案答在答题纸上，在试题纸上作答无效。 第一部分第一部分 （选择题（选择题 共共 40 分）分） 一、 选择题 （本大题共一、 选择题 （本大题共 10 个小题， 每小题个小题， 每小题 4 分， 共分， 共 40 分 在每道小题给出的四个备选答案中，分 在每道小题给出的四个备选答案中， 只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上。 ）只有一个是符合题目要求的，请将答
2、案涂在机读卡上的相应位置上。 ） （1）集合 2 2,230Ax xxRBx xx，则AB A. (3,) B. (, 1)(3,) C. (2,) D. (2,3) （2）已知复数 = 2 2 是正实数，则实数的值为 A.0 B. 1 C. -1 D. 1 （3）下列函数中，值域为 R 且为奇函数的是（ ） A.2 xy B.xysin C. 3 xxy D. x y2 （4）设等差数列 n a的前 n 项和为 n S，若5, 2 413 aaa，则 6 S=（ ） A.10 B.9 C.8 D.7 （5）在平面直角坐标系中，将点(1,2)绕原点逆时针旋转90到点，设直线与轴正半轴 所成的最
3、小正角为，则等于 A. 25 5 B. 5 5 C. 5 5 D. 2 5 （6）设cba,为非零实数，且cbca ,，则（ ） A.cba B. 2 cab C.c ba 2 D. cba 211 （7）某四棱锥的三视图如图所示，记 S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则 A.SS3222，且 B.SS3222，且 C.SS3222，且 D.SS3222，且 （8）已知点(2,0)M，点P在曲线 2 4yx上运动，点F为抛物线的焦点，则 2 1 PM PF 的最小值 为 A. 3 B. 51)2（ C. 4 5 D. 4 （9）已知函数 x x xf sin21 sin )( 的部分图象如图所示
4、，将此图象分别作以下 变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（ ） 绕着x轴上一点旋转 180 ； 沿x轴正方向平移； 以x轴的某一条垂线为轴作轴对称. A. B. C. D. （10）设函数 0,lg 0, 110 )( 2 xx xxx xf若关于x的方程)()(Raaxf有四个实数解 )4 , 3 , 2 , 1( ixi，其中 4321 xxxx，则)( 4321 xxxx的取值范围是（ ） A.101, 0( B.99, 0( C.100, 0( D.), 0( 第二部分第二部分 （非选择题（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6
5、个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分） （11）在二项式 26 (2)x 的展开式中， 8 x的系数为 。 （12）若向量), 1 (),2 ,( 2 xbxa满足3ba，则实数x的取值范围是 . （13）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治， 二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制。下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从 2 月 7 日到 2 月 13 日一 周 的新 增 “新冠肺炎”确诊人数 的 折线 图 如下： 根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指 定的空白处。 。 。
6、 （14） 函数) 4 2sin()( xxf的最小正周期为 ； 若函数)(xf在区间), 0(a上单调递增， 则的最大值为 . （15）集合( , ),0,( , )1Ax yxya aBx yxyxy ，若 AB是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为 a的值可以为 2； a的值可以为2； a的值可以为22； 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 个小题，共个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ）分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 ） 16.（本小题满分为 13 分） 已知函数( )sin() (0,) 2 f xx 满足下列 3 个条
7、件中的 2 个条件： 函数( )f x的周期为； 6 x 是函数( )f x的对称轴； ()0 4 f 且在区间(,) 6 2 上单调。 （）请指出这二个条件，并求出函数( )f x的解析式； （）若0, 3 x ，求函数( )f x的值域。 17.（本题满分 15 分） 在 四 棱 锥PABCD的 底 面ABCD中 ，/ /,B CA D C DA D， POABCD 平面，是的中点，且222POADBCCD （）求证：/ /ABPOC平面； （）求二面角OPCD的余弦值； （） 线段PC上是否存在点E， 使得ABDE， 若存在指出点E的位置， 若不存在请说明理由。 OAD x y O B
8、C DA P O 18.（本题满分 14 分） 2019 年底，北京 2022 年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破 60 万， 其中青年学生约有 50 万人.现从这 50 万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取 20 人进行英 语水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下： （）试估计在这 50 万青年学生志愿者中，英语测试成绩在 80 分以上的女生人数； （）从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人，记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X，求 X 的分布 列和数学期望； （）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于 5000）
9、 ，并在每 组中随机选取 m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以上的 概率大于 90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出 m 的最小值.（结论不要求证明） 19.（本题满分 14 分） 设函数 2 ( )ln(2)f xaxxax，其中 （）若曲线( )yf x在点（2，(2)f）处切线的倾斜角为 4 ，求 的值； （）已知导函数()在区间（1，e）上存在零点，证明:当 x（1，e）时， 2 ( )f xe- 20.（本小题满分 15 分） 设椭圆 2 2 :1 2 x Ey，直线 1 l经过点 M（m，0） ，直线 2 l经过点 N（n，0） ，
10、直线 1 l直线 2 l， 且直线 1 l、 2 l分别与椭圆 E 相交于 A，B 两点和 C，D 两点。 （）若 M，N 分别为椭圆 E 的左、右焦点，且直线 1 lx轴，求四边形 ABCD 的面积； （）若直线 1 l的斜率存在且不为 0，四边形 ABCD 为平行四边形，求证:m+n=0； （）在（）的条件下，判断四边形 ABCD 能否为矩形，说明理由。 21.（本小题满分 14 分） 对于正整数 n，如果()k kN 个整数 a1，a2，ak满足 1a1a2akn，且 a1+a2+ak=n， 则称数组（a1，a2，ak）为 n 的一个“正整数分拆” 。记 a1，a2，ak 均为偶数的“正整数分拆” 的个数为 fn；a1，a2，ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为 gn。 （）写出整数 4 的所有“正整数分拆” ； （）对于给定的整数 n（n4） ，设（a1，a2，ak）是 n 的一个“正整数分拆” ，且 a1=2，求 k 的最 大值； （）对所有的正整数 n，证明： ；并求出使得等号成立的 n 的值。 （注:对于 n 的两个“正整数分拆” （a1，a2，ak）与（b1，b2，bn） ，当且仅当 k=m 且 a1=b1，a 2=b2，ak=bm时，称这两个“正整数分拆”是相同的.）
