1、栏目索引 课题课题1616 利用二次函数解决实际问题利用二次函数解决实际问题 栏目索引 总纲目录 基础基础知识梳理知识梳理 考点一 利用二次函数解决抛物线型问题 考点二 利用二次函数解决“最大(或最小)值”问题 栏目索引 总纲目录 中考题型突破中考题型突破 题型一 考查利用二次函数解决抛物线型问题 题型二 考查利用二次函数解决最大(小)值问题 栏目索引 总纲目录 易错 没有考虑到实际问题中自变量的取值范围 易混易错突破易混易错突破 栏目索引 河北考情探究 考点 年份 题号 分值 考查方式 二次函数的应用 2018 26 12 以解答题的形式,与反比例 函数相结合,考查二次函数 的应用 2017
2、 26 12 以解答题的形式,与一次函 数、反比例函数相结合,考 查二次函数的应用 2016 26 12 以解答题的形式,以求函数 图象最高点的坐标为问题 情境,考查二次函数的应 用 备考策略:二次函数的应用是我省中考的常考内容,主要内容包括利用待定系数法确定二次函数表达式,二次函数与一元二次方程的关系,二次函 数的最大(小)值等,这些知识常隐含于实际问题中,题目的 难度较大. 河北考情探究 栏目索引 基础知识梳理 考点一考点一 利用二次函数解决抛物线型问题利用二次函数解决抛物线型问题 某些建筑的外形或物体的运动路线(如拱形桥、抛出去的铅球的运行轨迹) 等,可看做抛物线的一部分,因此可通过建立
3、 适当 的直角坐标系,把这 些建筑的外形或物体的运动路线转化为 二次 函数的图象,然后利用二 次函数的有关知识解决这个实际问题. 基础知识梳理 栏目索引 基础知识梳理 考点二考点二 利用二次函数解决“最大利用二次函数解决“最大(或最小或最小)值”问题值”问题 利用二次函数解决实际问题中的最大(或最小)值问题时,应先利用图形周 长、 面积 等计算公式或有关各量之间的 数量关系 ,得到与之相 关的二次函数关系式,然后通过求二次函数的最大(或最小)值,使实际问题得 到解决. 栏目索引 中考题型突破 题型一题型一 考查利用二次函数解决抛物线型问题考查利用二次函数解决抛物线型问题 该题型主要考查利用二次
4、函数解决抛物线型问题,包括怎样根据抛物线中的 信息确定二次函数表达式、当图中没有直角坐标系时怎样建立适当的直角 坐标系等. 中考题型突破 栏目索引 中考题型突破 典例典例1 (2017山东德州中考)随着新农村的建设和旧城的改造,我们的家园越 来越美丽,小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池,在水池中心竖直安装 了一根高为2米的喷水管,它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离 为1米处达到最高,水柱落地处离池中心3米. (1)请你建立适当的平面直角坐标系,并求出水柱抛物线的函数解析式; (2)求出水柱的最大高度. 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)以水管与地面交点O为原点,点O与水柱落地
5、点A所在直线为x轴,水 管所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示. 设喷水点为B,水柱的最高点为C,过点C作x轴的垂线交x轴于点D,则点O(0,0), A(3,0),B(0,2),D(1,0),直线CD为抛物线形水柱的对称轴. 设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+h(a0), 栏目索引 中考题型突破 把点A(3,0),B(0,2)的坐标代入,得 解得 抛物线的解析式为y=- (x-1)2+ =- x2+ x+2(0x3). (2)抛物线的解析式为y=- (x-1)2+ ,x的取值范围为0x3, 水柱的最大高度为 m. 40, 2, ah ah 2 , 3 8 . 3 a h 2 3 8
6、 3 2 3 4 3 2 3 8 3 8 3 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练1 (2017唐山模拟)如图,拱门的地面宽度为200米,两侧距地面高15 0米处各有一个观光窗,两窗的水平距离为100米,则拱门的最大高度为 ( C ) A.100米 B.150米 C.200米 D.300米 栏目索引 中考题型突破 答案答案 C 以CD所在的直线为x轴,CD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标 系,则抛物线与x轴的交点为C(-100,0),D(100,0)的坐标,设这条抛物线的解析 式为y=ax2+h(a0),把点B(50,150),D(100,0)代入,得 解得 y=- x2+200, 拱门
7、的最大高度为200米. 2 500150, 10 0000, ah ah 1 , 50 200, a h 1 50 栏目索引 中考题型突破 题型二题型二 考查利用二次函数解决最大考查利用二次函数解决最大(小小)值问题值问题 该题型主要考查利用二次函数解决最大(小)值问题,如图形的最大面积、图 形的最小周长、销售问题中的最大利润等,解决这类问题时,先确定与之有关 的二次函数表达式,从而把问题转化为求二次函数的最大(小)值问题. 栏目索引 中考题型突破 典例典例2 九(1)班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1x9 0)天的售价与销量的相关信息如下表: 时间x(天) 1x50 50x
8、90 售价(元/件) x+40 90 每天销量(件) 200-2x 已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品每天的利润为y元. (1)求出y与x的函数关系式; (2)问销售该商品第几天时,当天销售利润最大,最大利润是多少? (3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4 800元? 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)当1x50时, y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2 000; 当50x90时, y=(200-2x)(90-30)=-120x+12 000. 综上所述, y= (2)当1x50时, y=-2x2+180x+2 000=-2(x-45)
9、2+6 050,且-20, 2 21802 000(150), 12012 000(5090). xxx xx 栏目索引 中考题型突破 当x=45时,y最大值=6 050. 当50x90时,y随x的增大而减小, 当x=50时,y最大值=6 000. 6 0006 050, 第45天时,该商品当天销售利润最大,最大利润是6 050元. (3)当1x50时,由-2x2+180x+2 000=4 800, 解得x1=20,x2=70. 当20x0,0x . 设窗户的面积为S,根据题意,得S=AB AD=x =- x2+3x=- + . x= 在0x1.05 m2, 与图比较,改变窗户形状后,窗户透光
10、面积的最大值变大. 9 7 栏目索引 易混易错突破 易错易错 没有考虑到实际问题中自变量的取值范围没有考虑到实际问题中自变量的取值范围 典例典例 (2017秦皇岛模拟)小明家门前有一块空地,空地外有一面长10米的围 墙,为了美化生活环境,小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏(如图所示),花圃的一边AD(垂直围墙的 边)究竟应为多少米才能使花圃的面积最大?最大面积是多少平方米? 易混易错突破 栏目索引 易混易错突破 易错警示易错警示 本题的易错之处是不结合实际,直接利用抛物线顶点坐标的意义 求其最大值,其原因是忽略了“空地外有一面长10米的围墙”这个
11、限制条件, 由此可知x=16并不在这个二次函数的取值范围内.实际上,在实际问题中求二 次函数的最大(小)值时,首先应考虑自变量的取值范围,如果x=- 在自变量 的取值范围内,那么其最大(小)值为 ;如果x=- 不在自变量的取值范 围内,那么应结合二次函数的增减性求其最大(小)值. 2 b a 2 4 4 acb a 2 b a 栏目索引 易混易错突破 解析解析 设AB的长为x米,矩形的面积为y平方米, 则y=x =- (x-16)2+128. 0x10,且当x16时,y随x的增大而增大, 当x=10时,y取得最大值,y最大值=- (10-16)2+128=110(平方米),此时,AD= =11
12、(米). 答:花圃的一边AD(垂直围墙的边)应为11米才能使花圃的面积最大,最大面积 是110平方米. 32 2 x1 2 1 2 32 2 x 栏目索引 随堂巩固检测 1.n支球队进行单循环比赛(参加比赛的任何一支球队都与其他所有的球队各 赛一场),总的比赛场数为y,则有 ( D ) A.y=2n B.y=n2 C.y=n(n-1) D.y= n(n-1) 1 2 随堂巩固检测 栏目索引 随堂巩固检测 2.用长为30 cm的一根绳子围成一个矩形,其面积的最大值为 ( C ) A.225 cm2 B.112.5 cm2 C.56.25 cm2 D.100 cm2 3.一个小球被抛出后,如果距离
13、地面的高度h(米)和运行时间t(秒)的函数关系 式为h=-5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是 ( D ) A.1米 B.3米 C.5米 D.6米 栏目索引 随堂巩固检测 4.向空中发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y米,且高度与时间的关系式为y=ax2 +bx+c(a0).若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列时间中炮弹 所在高度最高的是 ( B ) A.第8秒 B.第10秒 C.第12秒 D.第15秒 栏目索引 随堂巩固检测 5.如图,用长为23 m的篱笆,一面利用墙(墙足够长)围成一块留有一扇1 m宽的 门的长方形花圃,则当AB的长为 6 m时,花圃的面积最大,
14、最大面积是 72 m2. 栏目索引 随堂巩固检测 6.一个直角三角形的两条直角边长的和为20 cm,其中一直角边长为x cm,面 积为y cm2,则y有 最大 (填“最大”或“最小”)值,且这个值为 50 . 7.如图,已知线段AB=10,点C是线段AB上的一个动点,分别以AC和BC为直径 作半圆,用S表示这两个半圆的面积之和,则当AC= 4或6 时,S= . 13 2 栏目索引 随堂巩固检测 8.在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够 长),用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB,BC两边),设AB= x m. (1)若花园的面积为192 m2,求
15、x的值; (2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15 m和6 m,要将这棵树围在花 园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值. 栏目索引 随堂巩固检测 答案答案 AB=x m,BC=(28-x)m. (1)根据题意,得x(28-x)=192,解得x1=12,x2=16. x1=12,x2=16都符合实际问题的意义, x的值为12或16. (2)根据题意,得S=x(28-x)=-x2+28x. 点P在矩形ABCD内, 解得6x13. 抛物线S=-x2+28x的对称轴为直线x=- =14,且-10, 6, 2815, x x 28 2 ( 1) 栏目索引 随堂巩固检测 当x14时,S随x的增大而增大,则当x=13时,S有最大值,且S最大值=-132+2813= 195. 故花园面积S的最大值为195 m2.
