1、栏目索引 课题课题1414 二次函数的图象与性质二次函数的图象与性质 栏目索引 总纲目录 基础基础知识梳理知识梳理 考点一 二次函数的图象和性质 考点二 抛物线的平移 考点三 利用待定系数法求二次函数表达式 考点四 利用描点法画二次函数的图象 栏目索引 总纲目录 中考题型突破中考题型突破 题型一 考查二次函数的图象 题型二 考查二次函数的性质 题型三 考查确定二次函数的表达式 栏目索引 总纲目录 易错一 忽略二次函数y=ax2+bx+c中a0的限制条件 易错二 不理解二次函数的性质 易错三 不理解抛物线的平移规律 易混易错突破易混易错突破 栏目索引 河北考情探究 考点 年份 题号 分值 考查方
2、式 确定二次函数的表达式、 二次函数的 图象与性质 2018 26 11 以解答题的形式,与反比例函数相结合,考查二次 函数的图象和性质 2017 15 2 以选择题的形式,与反比例函数相结合,考查二次 函数的图象和性质 2016 26 12 以解答题的形式,与反比例函数相结合,考查二次 函数的图象和性质 备考策略:二次函数的图象和性质、二次函数的最大值、利用待定系数法确定二次函数表达式等内容一直是我省中考的必考内容,由于所考查 的内容综合性较强,所以题目的难度一般较大.预计今后我省 中考对本部分内容的考查不会有较大的变化. 河北考情探究 栏目索引 基础知识梳理 考点一考点一 二次函数的图象和
3、性质二次函数的图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质如下表所示 : 2 4 , 24 bacb hk aa 其中 基础知识梳理 函数表达式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y=ax2+bx+c(a0) 向 上 x=h (h,k) y=ax2+bx+c(a0) 当xh时,y随x增大 而 增大 当x= h 时,函数有最小值, 且最小值为k y=ax2+bx+c(a0且y20时,自变量x的取值范围; 如果满足当y10且y20时自变量x的取值范围内有且只有一个整数,求m的 取值范围. 1 2 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)y2=x2-mx+4= - +4, 二次函数图象的顶
4、点坐标为 . (2)当m=5时,y1= x-1,y2=x2-5x+4. 当y1=0时,得 x-1=0,解得x=2, A(2,0). 当y2=0时,得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4, B(1,0),C(4,0). 2 2 m x 2 4 m 2 ,4 24 mm 1 2 1 2 栏目索引 中考题型突破 y10且y20, 观察图象,得20时,自变量x的取值范围为x2. 如果满足当y10且y20时的自变量x的取值范围内有且只有一个整数, x=3. 当x=3时,y2=32-3m+40,解得m ; 当x=4时,y20,即16-4m+40,解得m5. m的取值范围是 m5. 13 3 13 3 栏
5、目索引 中考题型突破 题型三题型三 考查确定二次函数的表达式考查确定二次函数的表达式 该题型主要考查根据已知条件确定二次函数的表达式,主要形式有:根据抛物 线的平移、旋转、翻折等变换确定二次函数表达式,根据函数的对应值或其 图象上的已知点确定二次函数表达式,这类题目常与平面几何、图形的全 等、相似等知识相结合,题目的难度较大. 栏目索引 中考题型突破 典例典例3 抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表: (1)根据表格中的数值,求这条抛物线的函数表达式; (2)指出这条抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标,并分析在-10x-1的范围 内函数值的变化情况; (3)画出
6、这条抛物线. x -2 -1 0 1 2 3 y 0 4 6 6 4 0 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)解法一:设这条抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+c, 把(-2,0)、(3,0)、(0,6)代入上式,得 解得 这条抛物线的函数表达式为y=-x2+x+6. 解法二:由表格可知,当x=-2时,y=0,当x=3时,y=0, 该抛物线的对称轴为 x= = . 042, 093, 6, abc abc c 1, 1, 6. a b c 3( 2) 2 1 2 栏目索引 中考题型突破 设这条抛物线的函数表达式为y=a +k. 把(0,6)、(3,0)代入其中,得 解得 这条抛物线的函数
7、表达式为y=- + =-x2+x+6. 解法三:由表格可知,该抛物线与x轴的交点的坐标为(-2,0),(3,0),设这条抛 物线的函数表达式为y=a(x+2)(x-3). 2 1 2 x 1 6, 4 25 0, 4 ak ak 1, 25 . 4 a b 2 1 2 x 25 4 栏目索引 中考题型突破 把(0,6)代入其中,得6=a(0+2)(0-3), 解得a=-1. 这条抛物线的函数表达式为y=-(x+2)(x-3)=-x2+x+6. (2)这条抛物线的函数表达式为y=-x2+x+6=- + , 该抛物线的开口方向向下,对称轴是直线x= ,顶点坐标是 . 在x 时,y随x的增大而增大,
8、且-10x-1在x 的范围内, 在-10x-1的范围内函数值y随x的增大而增大. 2 1 2 x 25 4 1 2 1 25 , 24 1 2 1 2 栏目索引 中考题型突破 (3)画出的抛物线如图所示. 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 本题的求解过程给我们三点启示:利用待定系数法求二次函数 表达式时,如果方法不唯一,应根据题目特点,设解法比较简单的函数表达式; 一般来说,当已知抛物线的顶点与对称轴时,设顶点式比较简单,因此,要注 意观察、分析题干,看能否从已知条件中挖掘出抛物线的顶点与对称轴;当 已知的函数的对应值在求解时不需要全部利用时,应尽量选取计算比较简单 的对应值. 栏目索
9、引 中考题型突破 变式训练变式训练3 (2017衡水冀州模拟)如图,直线y=- x+4交x轴于点A,交y轴于 点C,抛物线y=ax2- x+c过点A,交y轴于点B(0,-2). (1)求抛物线的解析式; (2)点M为抛物线在第四象限部分上的一个动点,求四边形BMAC面积的最大 值. 4 3 4 3 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)令y=- x+4=0,则x=3,令x=0,则y=4.直线y=- x+4交x轴于点A,交y轴 于点C, 点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,4). 抛物线y=ax2- x+c过点A,交y轴于点B(0,-2), 解得 抛物线的解析式为y= x2- x-2.
10、4 3 4 3 4 3 940, 2, ac c 2 , 3 2. a c 2 3 4 3 栏目索引 中考题型突破 (2)设点M . 如图,过点M作x轴的垂线,交直线y=- x+4于点N, 点N的坐标为 . 2 24 ,2 33 xxx 4 3 4 ,4 3 xx 栏目索引 中考题型突破 MNBC, MN和BC间的距离为x,MN= - =6- x2,点A到MN的距离 d=3-x. S四边形BMNC= (BC+MN) x=6x- x3,SANM= MN (3-x)= x3-x2-3x+9, S四边形BMAC=S四边形BMNC+SANM=6x- x3+ x3-x2-3x+9=-x2+3x+9=-
11、+ . 0x3, 当x= 时,四边形BMAC的面积最大,为 . 4 4 3 x 2 24 2 33 xx 2 3 1 2 1 3 1 2 1 3 1 3 1 3 2 3 2 x 45 4 3 2 45 4 栏目索引 易混易错突破 易错一易错一 忽略二次函数忽略二次函数y=ax2+bx+c中中a0的限制条件的限制条件 易混易错突破 典例典例1 已知y=(m-2)x|m|+2x-3是y关于x的二次函数,那么m的值为 ( A ) A.-2 B.2 C.2 D.0 易错警示易错警示 本题容易出现的错误是忽略二次函数y=ax2+bx+c中a0的限制 条件,因此只看到了x的最高次数是2,而忽略了二次项系数
12、不为0,由此导致m 的值的范围扩大. 解析 由y=(m-2)x|m|+2x-3是y关于x的二次函数,得 解得m=-2. | 2, 20, m m 答案答案 A 栏目索引 易混易错突破 易错二易错二 不理解二次函数的性质不理解二次函数的性质 典例典例2 已知(-1,y1),(-2,y2),(-4,y3)是抛物线y=-2x2-8x+m上的点,则y1,y2,y3之间的 大小关系为 ( C ) A.y1y3y2 B.y3y2y1 C.y3y1y2 D.y1y2y3 栏目索引 易混易错突破 易错警示易错警示 本题容易出现的错误是混淆一次函数与二次函数的性质,不理解 对称轴在比较二次函数值的大小中的作用,
13、误认为二次函数的值总随自变量 的增大而增大(或减小),由此出现选B或选D的错误. 解析 因为抛物线y=-2x2-8x+m的对称轴为直线x=-2,且开口向下,所以当x=-2 时,函数y取得最大值,即y2最大,由此可排除B,D;因为(-1,y1)关于对称轴x=-2的 对称点为(-3,y1),且当x-2时,函数值随x的增大而增大,-4-3,所以y3y1. 综上所述,y1,y2,y3之间的大小关系为y3y1y2. 答案答案 C 栏目索引 易混易错突破 典例典例3 (2017广西贵港中考)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再 向上平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式是 ( C ) A.y=(x
14、-1)2+1 B.y=(x+1)2+1 C.y=2(x-1)2+1 D.y=2(x+1)2+1 易错三易错三 不理解抛物线的平移规律不理解抛物线的平移规律 栏目索引 易混易错突破 易错警示易错警示 本题的易错点是不理解抛物线的平移规律,把抛物线沿x轴方向 的平移规律与点沿x轴方向的平移规律相混淆,因此解题时一定要认真、仔 细. 解析解析 由题图可设抛物线的解析式为y=ax2+h(a0).因为其顶点坐标为(0,-2) 且过点(1,0),所以其解析式为y=2x2-2.由平移规律,得平移后的抛物线的解析 式为y=2(x-1)2+1. 答案答案 C 栏目索引 随堂巩固检测 1.对于任意实数m,下列函数
15、一定是二次函数的是 ( C ) A.y=(m-1)2x2 B.y=(m+1)2x2 C.y=(m2+1)x2 D.y=(m2-1)x2 随堂巩固检测 2.若抛物线y=x2-mx+m2-1过原点,则m的值为 ( D ) A.0 B.1 C.-1 D.1 栏目索引 随堂巩固检测 3.二次函数y=-3x2+12x-7的图象的顶点坐标为 ( A ) A.(2,5) B.(2,-19) C.(-2,5) D.(-2,-43) 4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一次函数y=bx+c在坐标系中的大 致图象是 ( D ) 栏目索引 随堂巩固检测 5.(2017上海徐汇一模)已知二次函数y=-2
16、x2+4x-3,如果y随x的增大而减小,那 么x的取值范围是 ( A ) A.x1 B.x0 C.x-1 D.x-2 栏目索引 随堂巩固检测 6.小明从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c图象中,观察得出了下面的五条信 息:a0;c=0;函数的最小值为-3;当0x1x2y2;对称轴是直线 x=2.你认为其中正确的个数为 ( C ) A.2 B.3 C.4 D.5 栏目索引 随堂巩固检测 7.已知二次函数y=-3(x-1)2+2,当x=-1时,y的值是 -10 ;当y=-1时,x的值 是 0或2 . 8.(2017云南罗平一模)把函数y=x2的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单 位,所得图
17、象的函数表达式为 y=(x-3)2-2 . 9.小王利用计算机设计了一个计算程序,输入和输出的数据如下表: 若输入的数是x时,输出的数是y,y是x的二次函数,则y与x的关系为 y=x2+1 . 输入 1 2 3 4 5 输出 2 5 10 17 26 栏目索引 随堂巩固检测 10.如图所示,已知二次函数y=- x2+bx-6的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B, 且OA= OB. (1)求这个二次函数的表达式; (2)设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C,连接AB,AC,BC,求ABC的面 积. 1 2 1 3 栏目索引 随堂巩固检测 答案答案 (1)二次函数y=- x2+bx-6, 点B(0,-6),即OB=6. OA= OB,OA=2, 点A(2,0). 把点A的坐标代入二次函数y=- x2+bx-6,得 0=- 22+2b-6,解得b=4. 这个二次函数的表达式为y=- x2+4x-6. 1 2 1 3 1 2 1 2 1 2 栏目索引 随堂巩固检测 (2)由(1)得y=- x2+4x-6=- (x-4)2+2, 点C(4,0), AC=4-2=2. SABC= AC OB= 26=6. 1 2 1 2 1 2 1 2
