1、栏目索引 课题课题1717 二次函数的综合应用二次函数的综合应用 栏目索引 总纲目录 基础基础知识梳理知识梳理 考点一 利用二次函数与一元二次方程的关 系解决实际问题 考点二 利用二次函数解决其他综合性问题 栏目索引 总纲目录 中考题型突破中考题型突破 题型一 利用二次函数与一元二次方程的关 系解决实际问题 题型二 考查利用二次函数解决综合性问题 栏目索引 总纲目录 易错 不能根据实际问题的意义对解方程所得的根正确取舍 易混易错突破易混易错突破 栏目索引 河北考情探究 考点 年份 题号 分值 考查方式 二次函数的应用 2018 26 11 以解答题的形式,与反比例 函数相结合,考查二次函数 的
2、综合应用 2017 26 12 以解答题的形式,与一次函 数、反比例函数相结合,考 查二次函数的应用 2016 26 12 以解答题的形式,以求函数 图象最高点的坐标为问题 情境,考查二次函数的应 用 备考策略:二次函数的应用是我省中考的常考内容,主要内容包括利用待定系数法确定二次函数表达式,二次函数与一元二次方程的关系,二次函 数的最大(小)值等,这些知识常隐含于实际问题中,题目的 难度较大. 河北考情探究 栏目索引 基础知识梳理 考点一考点一 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 根据二次函数与一元二次方程的关系,可以解决一些实际问题,基
3、本方法为: 当已知某个 函数值 时,通过解一元二次方程,即可求得相应的 自变量 的值. 基础知识梳理 栏目索引 基础知识梳理 考点二考点二 利用二次函数解决其他综合性问题利用二次函数解决其他综合性问题 二次函数与平面几何、一次函数、反比例函数等知识相结合,可以解决一些 综合性的实际问题,基本方法是综合运用上述知识,根据有关各量之间的关 系,得到一个 二次 函数关系式,则问题可转化为解 二次函数 问 题. 栏目索引 中考题型突破 题型一题型一 利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题 该题型主要考查利用二次函数与一元二次方程的关系解决实际问题,解决
4、这 类问题时,可把二次函数、函数值、自变量的值等转化为解一元二次方程问 题,由此即可达到解题的目的. 中考题型突破 栏目索引 中考题型突破 典例典例1 (2017山东青岛)如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的 长是12 m,宽是4 m.按照图中所示的直角坐标系,抛物线可以用y=- x2+bx+c表 示,且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m,到地面OA的距离为 m. (1)求该抛物线的函数表达式,并计算出拱顶D到地面OA的距离; (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,如果隧道内设双向 行车道,那么这辆货车能否安全通过? (3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯
5、,使它们离地面的高度相等,如果灯离 地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少米? 1 6 17 2 栏目索引 中考题型突破 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)根据题意,得B(0,4),C . 把B(0,4),C 的坐标代入y=- x2+bx+c, 得 解得 抛物线的函数表达式为y=- x2+2x+4. y=- x2+2x+4=- (x-6)2+10,D(6,10). 拱顶D到地面OA的距离为10 m. 17 3, 2 17 3, 2 1 6 2 4, 171 33, 26 c bc 2, 4. b c 1 6 1 6 1 6 栏目索引 中考题型突破 (2)根据题意,货运汽车
6、最外侧与地面OA的交点坐标为(2,0)或(10,0), 当x=2或x=10时,y=- 22+22+4= 或y=- 102+210+4= . m6 m 这辆货车能安全通过. (3)令y=8,解方程- (x-6)2+10=8, 得x1=6+2 ,x2=6-2 , x1-x2=4 . 答:两排灯的水平距离最小是4 m. 1 6 22 3 1 6 22 3 22 3 1 6 33 3 3 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 本题的解题技巧是转化,如在(2)中,把集装箱的宽度为4米转化为 货运汽车最外侧与地面OA的交点为坐标(2,0)或(10,0),然后求抛物线上x=2时 的y值,则问题进一步转化
7、为比较此时的y值与6 m(集装箱的高度)的大小,至此 即可得到“能否通过”的答案. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练1 (2018石家庄模拟)小明为了检测自己实心球的训练情况,在一次 投掷的测试中,实心球经过的抛物线轨迹如图所示,其中出手点A的坐标为 ,球在最高点B的坐标为 . (1)求抛物线的函数表达式; (2)在小明练习实心球的正前方距离投掷点7米处有一个身高1.2米的小朋友 在玩耍,问该小朋友是否有危险(如果实心球在小孩头顶上方飞出为安全,否 则视为危险),请说明理由. 16 0, 9 25 3, 9 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-3)
8、2+ . 点A 在此抛物线上, =a(0-3)2+ , 解得a=- . 抛物线的函数表达式为y=- (x-3)2+ . (2)有危险.理由如下: 将x=7代入y=- (x-3)2+ ,得y=- (7-3)2+ =1. 11.2, 身高1.2米的小朋友有危险. 25 9 16 0, 9 16 9 25 9 1 9 1 9 25 9 1 9 25 9 1 9 25 9 栏目索引 中考题型突破 题型二题型二 考查利用二次函数解决综合性问题考查利用二次函数解决综合性问题 该题型主要考查利用二次函数解决综合性问题,在这类问题中,二次函数常与 方程、不等式、图形的全等、相似等知识相结合,难度较大. 栏目索
9、引 中考题型突破 典例典例2 (2016沧州模拟)如图,抛物线y=-x2+bx+c与直线AB相交于A(-1,0),B(2, 3)两点,与y轴交于点C,其顶点为D. (1)求抛物线的函数表达式; (2)作直线x=3,在直线上取一点M(3,m), 求使MC+MD的值最小时m的值; (3)若P是该抛物线上位于直线AB上方 的一动点,求APB面积的最大值. 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)将A,B点的坐标代入y=-x2+bx+c,得 解得 抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3. (2)y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, D(1,4),C(0,3). 作点C关于直线x=3的对称点C,
10、则点C的坐标为(6,3). 连接CD,CD交直线x=3于M点,连接MC,此时MC+MD的值最小,如图所示. 10, 423, bc bc 2, 3. b c 栏目索引 中考题型突破 设直线CD的表达式为y=kx+b(k0),将点C,D的坐标代入,得 解得 63, 4, kb kb 栏目索引 中考题型突破 直线CD的表达式为y=- x+ . 当x=3时,y=- 3+ = , M . 故使MC+MD的值最小时m的值为 . (3)作PEy轴交AB于点E,如图所示. 1 , 5 21. 5 k b 1 5 21 5 1 5 21 5 18 5 18 3, 5 18 5 栏目索引 中考题型突破 设直线A
11、B的表达式为y=px+q(p0),将点A,B的坐标代入,得 解得 0, 23, pq pq 1, 1. p q 栏目索引 中考题型突破 直线AB的表达式为y=x+1. 设E(n,n+1),则P(n,-n2+2n+3), PE=-n2+2n+3-(n+1)= + . SAPB= PE(xB-xA)= 2-(-1)= =- + . 当n= 时,APB的面积有最大值,最大值为 . 2 1 2 n 9 4 1 2 1 2 2 19 24 n 3 2 2 19 24 n 3 2 2 1 2 n 27 8 1 2 27 8 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 本题的解题思路为:(1)因为抛物线经过已
12、知点A,B,利用待定系数 法即可求得函数表达式;(2)根据对称性,可得到点C关于直线x=3的对称点C 的坐标,根据两点之间线段最短,可确定点M,利用待定系数法可求得直线CD 的表达式,进而求得m的值;(3)作PEy轴交AB于点E,则APB的面积=APE 的面积+BPE的面积,由此即可得出结论.其中,(3)的求解有两个小小的技巧: 一是作辅助线PE,其目的是分割APB,使之转化为SAPB= PE(xB-xA);二是用 含n的代数式表示线段PE的长,从而SAPB可用含n的式子表示,进而得出结论. 1 2 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练2 (2018唐山)如图,直线y=x+2与抛物线y=a
13、x2+bx+6(a0)相交于点 A 和B(4,m),点P是线段AB上异于A,B的动点,过点P作PCx轴于点D,交 抛物线于点C. (1)求抛物线的函数表达式; (2)是否存在这样的点P,使线段PC的长有最大值, 若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由. 1 5 , 2 2 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)点B(4,m)在直线y=x+2上, m=4+2=6,B(4,6). 点A ,B(4,6)都在抛物线y=ax2+bx+6上, 解得 抛物线的函数表达式为y=2x2-8x+6. 1 5 , 2 2 2 2 511 6, 222 6446, ab ab 2, 8. a b 栏目索引 中
14、考题型突破 (2)存在设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2-8n+6), PC=(n+2)-(2n2-8n+6)=-2n2+9n-4=-2 + . n0),若该车某次的刹车距离为5 m,则开始刹车时的速度为 ( C ) A.40 m/s B.20 m/s C.10 m/s D.5 m/s 1 20 随堂巩固检测 2.一个运动员打高尔夫球,若球的飞行高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数 表达式为y=- (x-30)2+10,则高尔夫球第一次落地时距离运动员 ( D ) A.10 m B.20 m C.30 m D.60 m 1 90 栏目索引 3.在底边长BC=20 c
15、m,高AM =12 cm的三角形铁板ABC 上,要截一块矩形铁板 EFGH,使点E、H分别在AB、AC上,且EHBC,如图所示.当矩形铁板的面积 为 cm2时,矩形的边EF的长为 ( D ) A.2 cm B.6 cm 100 3 C.10 cm D.2 cm或10 cm 栏目索引 4.(2018石家庄模拟)如图,四边形OABC是边长为1的正方形,OC与x轴正半轴 的夹角为15,点B在抛物线y=ax2(a0)的图象上,则a的值为 ( B ) A.- B.- C.-2 D.- 2 3 2 3 1 2 栏目索引 5.如图,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为8米,以隧道底部宽AB所在 直线为x轴
16、,以AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,抛物 线的表达式为y=- x2+b,则隧道底部宽AB= 8 米. 1 2 栏目索引 6.某体育公园的圆形喷水池的水柱形状如图所示.如果曲线APB表示落点B 离点O最远的一条水流(如图),其上的水珠的高度y(米)关于水平距离x(米) 的函数表达式为y=-x2+4x+ ,那么圆形喷水池的半径至少为 米,才能使 喷出的水流不落在水池外. 9 4 9 2 栏目索引 7.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚,尺寸如图,若菜农身高为1.8 m, 他在不弯腰的情况下,在棚内的横向活动范围是 3 m. 栏目索引 8.科幻小说实验室的故事中,有这样一个情节
17、,科学家把一种珍奇的植物 分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况 (如下表): 温度x/ -4 -2 0 2 4 4.5 植物每天高 度 增长量y/mm 41 49 49 41 25 19.75 栏目索引 由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,如果这个函 数是二次函数, (1)求y与x的函数关系式; (2)当温度为多少时,这种植物每天高度的增长量最大? (3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过 250 mm,那么实验室的温度x应控制在哪个范围内? 栏目索引 答案答案 (1)设y与x的函数关系式为y=ax2+bx+c(a0),把x=-2,y=49;x=0,y=49; x=2,y=41分别代入关系式,得 解得 y关于x的函数关系式是y=-x2-2x+49. (2)y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50,且-10, 当x=-1时,y有最大值. 即当温度为-1 时,这种植物每天高度增长量最大. (3)解方程-x2-2x+49= ,得x1=-6,x2=4. 答:实验室的温度x应控制在-64 之间. 4249, 49, 4241, abc c abc 1, 2, 49, a b c 250 10
