1、题型题型6 二次函数综合题二次函数综合题 考查类型考查类型 年份年份 考查形式考查形式 题型题型 分值分值 二次函数中 的最值问题 2016 已知一元二次方程的根和二次函数的图象，求抛 物线的解析式，判断BCD的形状，并附加动点 条件，求三角形面积与动点横坐标之间的函数关 系式 解答 12分 2013 已知二次函数的图象和直角三角形，求抛物线的 解析式，根据三角形相似求动点坐标，并探究三 角形面积的最大值 解答 12分 二次函数中 的存在性问 题 2018 利用待定系数法求出二次函数的解析式，结合等 腰直角三角形的性质，利用点的坐标求三角形面 积最大时动点的坐标，并讨论求出三角形相似情 形下的
2、已知线段上的点的坐标 解答 14分 已知二次函数的图象及其与x轴的交点，求抛物 线的解析式，探究是否存在x轴上的点使四边形 的周长最小，并根据四边形是平行四边形时，求 有关点的坐标 解答 2015 12分 已知二次函数图象及图象上的动点，求抛物线的 解析式，探究是否存在直角三角形，并根据线段 长度最短求动点坐标 2014 解答 12分 类型类型二次函数中的最值问题二次函数中的最值问题 例例1 2015 德州，T24，12分已知抛物线ymx24x2m与x 轴交于点A(，0)，B(，0)，且 2. (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线的对称轴为l，与y轴的交点为C，顶点为D，点C关于l 的对称点
3、为E，是否存在x轴上的点M，y轴上的点N，使四边形 DNME的周长最小？若存在，请画出图形(保留作图痕迹)，并 求出周长的最小值；若不存在，请说明理由； (3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，E，P，Q为顶 点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标 1 1 规范解答：规范解答：(1)由题意，可得，是方程mx2 4x2m0的两根， 由根与系数的关系，可得 ，2. 2，(1分 ) 2，即 2， 解得m1. .(2分 ) 故抛物线的解析式为yx24x2(3分 ) m 4 1 1 2 m (2)存在x轴上的点M，y轴上的点N，使得四边形DNME的周长 最小 理由：yx24x2(x2)26， 抛
4、物线的对称轴l为x2，顶点D的坐标为(2，6)(4分) 又抛物线与y轴交点C的坐标为(0，2)，点E与点C关于l对称， 点E的坐标为(4，2) 作点D关于y轴的对称点D，点E关于x轴的对称点E，(5分) 则点D的坐标为(2，6)，点E的坐标为(4，2)，连接DE， 交x轴于点M，交y轴于点N， 此时，四边形DNME的周长最小为DEDE，如图1所示 (6分 ) 延长EE，DD交于一点F， 在RtDEF中，DF6，EF8， 则DE 10.(7分 ) 连接CE，交对称轴l于点G. 在RtDGE中，DG4，EG2， DE 2. 四边形DNME的周长最小值为10 .(8分 ) 22 FEFD 22 86
5、 22 EGDG 22 24 52 (3)如图2，P为抛物线上的点，过点P作PHx轴， 垂足为H. 若以点D，E，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 则PHQDGE， PHDG4.(9分) |y|4. 当y4时，x24x24， 解得x12 ，x22 ；(10分) 当y4时，x24x24， 解得x32 ，x42 . 无法得出以DE为对角线的平行四边形， 故点P的坐标为(2 ，4)或(2 ，4)或 (2 ，4)或(2 ，4)(12分) 22 1010 22 1010 满分技法以二次函数图象为背景探究动点形式的最值问题， 要注意以下几点：1.要确定所求三角形或四边形面积最值， 可设动点运动的时间t或
6、动点的坐标；2.(1)求三角形面积 最值时要用含t的代数式表示出三角形的底和高的代数式或 函数表达式；(2)求四边形面积最值时，常用到的方法是利 用割补法将四边形分成两个三角形，从而利用三角形的方 法求得用含t的代数式表示的线段，然后用含t的代数式表示 出图形面积；3.用二次函数的性质来求最大值或最小值 【满分必练】【满分必练】 12018 淄博如图，抛物线 yax2bx 经过OAB的三个 顶点，其中A(1， )，B(3， )，O为坐标原点 (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； 33 解：解：把点A(1， )，点B(3， )分别代入 yax2bx，得 解得 这条抛物线所对应的函数表达式为 y
7、 . (2)若点P(4，m)，Q(t，n)为该抛物线上的两点，且nm，求t的 取值范围； (3)若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离 之和最大时，求BOC的大小及点C的坐标 解：解：由(1)得，抛物线开口向下，对称轴为直线x ， 当x 时，y随x的增大而减小， 当t4时，nm. 由抛物线的对称性可知，当t 时，nm. 综上所述，t的取值范围为t4或t . 解：解：如图，设抛物线交x轴于点F，分别过点A， B作ADOC于点D，BEOC于点E. ACAD，BCBE ADBEACBCAB. 当OCAB时，点A，点B到直线OC的距离之 和最大 点A(1， )，点B(3， )， AO
8、F60，BOF30，易求直线AB的函数表达 式为y x2 . 设直线AB与x轴交于点G，则点G(2，0) OG2. OA2，AOG是等边三角形 OAB60，ABO30. 当OCAB时，BOC60. FOC30. 设C(c， c2 )， 则tanFOC ， 解得c . 点C的坐标为( ， ) 22018 常德如图，已知二次函数的图象过点O(0，0)A(8， 4)，与x轴交于另一点B，且对称轴是直线x3. (1)求该二次函数的解析式； (2)若M是OB上的一点，作MNAB交OA于点N，当ANM面 积最大时，求点M的坐标； 解：解：抛物线过原点，对称轴是直线x3， B点坐标为(6，0) 设二次函数解
9、析式为yax(x6)， 把A(8，4)代入，得a824， 解得a ， 二次函数的解析式为y x(x6)， 即y x2 x. 解：解：设点M的坐标为(t，0)， 易得直线OA的解析式为y x， 设直线AB的解析式为ykxb， 把B(6，0)，A(8，4)代入，得 解得 直线AB的解析式为y2x12. MNAB，设直线MN的解析式为y2xn， 把M(t，0)代入，得2tn0，解得n2t， 直线MN的解析式为y2x2t. 解方程组 得 点N的坐标为( ， ). SAMNSAOMSNOM 当t3时，SAMN有最大值3，此时点M的坐标为(3，0) (3)P是x轴上的点，过点P作PQx轴与抛物线交于点Q.
10、过点A作 ACx轴于点C，当以点O，P，Q为顶点的三角形与以点O，A， C为顶点的三角形相似时，求P点的坐标 解：解：设点Q的坐标为(m， m2 m) OPQACO， 当PQOCOA时， ，即 . PQ2PO，即| m2 m|2|m|. 解方程 m2 m2m，得m10(舍去)，m214，此时点P 的坐标为(14，0) 解方程 m2 m2m，得m10(舍去)，m22，此时 点P的坐标为(2，0) 当PQOCAO时， ，即 . PQ PO，即| m2 m| |m|. 解方程 m2 m m，得m10(舍去)，m28(舍去)， 解方程 m2 m m，得m10(舍去)，m24， 此时点P的坐标为(4，0
11、) 综上所述，点P的坐标为(14，0)或(2，0)或(4，0) 32018 定西如图，已知二次函数yax22xc 的图象经过点C(0，3)，与x轴分别交于点A，点B(3 ，0)点P是直线BC上方的抛物线上一动点 (1)求二次函数yax22xc的解析式； (2)连接PO，PC，并把POC沿y轴翻折，得到四边形POPC. 若四边形POPC为菱形，请求出此时点P的坐标； (3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出 此时点P的坐标和四边形ACPB的最大面积 类型类型二次函数中的存在性问题二次函数中的存在性问题 例例2 2014 德州，T24，T12分如图，在平面直角坐标系中，已 知点
12、A的坐标是(4，0)，并且OAOC4OB，动点P在过A，B， C三点的抛物线上 (1)求抛物线的解析式； (2)是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形？ 若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明 理由； (3)过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D 作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时， 求出点P的坐标 满分技法满分技法 (1)解答二次函数中存在性问题的一般思路：先 对结论作出肯定的假设，然后由肯定假设出发，结合已知 条件进行正确的计算、推理，若推出矛盾，则否定先前假 设，若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题 的结论；(
13、2)对于点的存在性问题，首先要根据条件，运用 画图判断存在的可能性，作出合理的猜想然后再通过方 法的选择，在演绎的过程或结论中，作出存在与否的判断； (3)对于单个图形形状的存在性判断，先假设图形形状存在， 然后根据图形的特殊性来求出存在的条件(即要求的点的坐 标)当图形的形状无法确定唯一时，还要注意分类，如等 腰三角形的腰与底，直角三角形中直角顶点的位置等 【满分必练】【满分必练】 42018 临沂 如图，在平面直角坐标系中， ACB90，OC2OB，tanABC2，点B的 坐标为(1，0)，抛物线yx2bxc经过A，B两 点 (1)求抛物线的解析式； 自主解答：自主解答：在RtABC中，由
14、点B的坐标可知OB 1. OC2OB， OC2，则BC3. 又tanABC2， AC2BC6，则点A的坐标为(2，6) (2)点P是直线AB上方抛物线上的一点过点P作PD垂直x轴于点 D，交线段AB于点E，使PE DE. 求点P的坐标； 2 1 在直线PD上是否存在点M，使ABM为直角三角形？若 存在，求出符合条件的所有点M的坐标；若不存在请说明 理由 52018 岳阳已知抛物线F：yx2 bxc经过坐标原点O，且与x轴另 一交点为( ，0) (1)求抛物线F的解析式； 3 3 (2)如图1，直线l：y xm(m0)与抛物线F相交于点A(x1， y1)和点B(x2，y2)(点A在第二象限)，求y2y1的值(用含m的式 子表示)； 3 3 (3)在(2)中，若m ，设点A是点A关于原点O的对称点，如图2. 判断AAB的形状，并说明理由； 3 4 平面内是否存在点P，使得以点A，B，A，P为顶点的四边形 是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 检测学习成果，体验成功快乐！请用高分提升训练第225227页。祝你取得好成绩！
