1、栏目索引 课题课题2727 图形的相似图形的相似 栏目索引 总纲目录 基础基础知识梳理知识梳理 考点一 比例线段 考点二 相似三角形的性质及判定 考点三 相似多边形 考点四 位似图形 考点五 相似三角形的应用 栏目索引 总纲目录 中考题型突破中考题型突破 题型一 考查比例线段 题型二 考查相似三角形的性质与判定 题型三 考查相似多边形的性质 题型四 考查位似图形的性质 题型五 考查相似三角形的应用 栏目索引 总纲目录 易错一 利用比例的性质时出现错误 易错二 计算面积时用错相似三角形与面积有关的性质 易错三 判断三角形相似时出现丢解的错误 易混易错突破易混易错突破 栏目索引 河北考情探究 考点
2、 年份 题号 分值 考查方式 相似三角形的性质与判 定 2018 25 10 以解答题的形式,在圆的综合性 题目中 以锐角三角函数为载体,考查线 段的比 的知识 2017 7 3 以选择题的形式考查相似三角 形的性 质 2016 15 2 以选择题的形式,以裁剪三角形 为问题 情境,考查相似三角形的判定 备考策略:相似三角形的性质与判定是平面几何中的重点内容,因此一直是我省中考的必考内容,但单独考查的题目较少,常与 图形变换、平行四边形等知识相结合进行综合考查,考查的内容以基础知识 为主,预计今后我省中考对本部分内容的考查不会有太大的变化. 河北考情探究 栏目索引 基础知识梳理 考点一考点一
3、比例线段比例线段 基础知识梳理 1.线段的比 线段的比是两条线段的长度之比. 2.成比例线段 四条线段a,b,c,d中,如果a与b的比等于c与d的比,即ab=cd,那么这四条线 段a,b,c,d叫做成比例线段. 栏目索引 基础知识梳理 3.比例的性质 (1)基本性质: = ad =bc(abcd0). (2)等比性质:如果 = = (b d n0,且b+d+n0),那么 = . (3)合比性质:如果 = ,那么 = . a b c d a b c d m n acm bdn a b a b c d ab b cd d 栏目索引 基础知识梳理 4.黄金分割 若线段AB上一点C把线段AB分成两条线
4、段AC和BC(ACBC),如果 = , 那么称线段 AB 被点C黄金分割.点C叫做线段AB的 黄金分割 点,AC与AB的比叫做黄金比,其中 = 0.618 . AC AB BC AC AC AB 51 2 栏目索引 基础知识梳理 考点二考点二 相似三角形的性质及判定相似三角形的性质及判定 1.相似三角形的概念 对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边 的比叫做相似比或相似系数. 栏目索引 基础知识梳理 2.相似三角形的性质及判定 性质 (1)相似三角形的 对应角 相等; (2)相似三角形中的对应线段(边、高、中线、角平分线)成比 例; (3)相似三角形的周长比等于
5、相似比 ,面积比等于 相似比的平方 判定 (1) 两角 对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且 夹角 相等,两三角形相似; (3)三边 对应成比例 ,两三角形相似; (4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角 形相似 栏目索引 基础知识梳理 3.判定两个三角形相似的思路 , , , , 有平行截线用平行线的性质找等角 另一对等角 有一对等角找 夹角的两条边对应成比例 夹角相等 有两边对应成比例 找 第三边也对应成比例 一对直角 一对锐角相等 直角三角形 找 斜边、直角边对应成比例 顶角相等 等腰三角形 找 一对底角相等 底和腰对应成比例 栏目索引 基础知识梳理 考点三
6、考点三 相似多边形相似多边形 1.相似多边形的定义 各角对应相等,各边对应 成比例 的两个多边形叫做相似多边形.相似多 边形 对应边 的比叫做相似比. 2.相似多边形的性质 (1)相似多边形的对应角 相等 ,对应边 成比例 . (2)相似多边形的周长比等于 相似比 ,面积比等于 相似比的平方 . 栏目索引 基础知识梳理 考点四考点四 位似图形位似图形 1.位似图形的定义 如果两个图形不仅 相似 ,而且每组对应点所在直线都 经过同一点 ,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,此时相似比又 称位似比. 2.位似图形的性质:因为位似图形是特殊的相似图形,所有位似图形具有相似 图形的所有
7、性质,并且:位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于 位似比 ;位似图形周长的比等于 位似比 ;面积比等于 位似 比的平方 . 栏目索引 基础知识梳理 3.利用位似图形的性质将一个图形放大或缩小,其步骤如下: (1)以位似中心为射线的端点画射线,并使各条射线分别经过原图形上的关键 点; (2)根据位似比确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点; (3)顺次连接各对应点,则得到原图形的位似图形,由此即可把一个图形放大 或缩小. 栏目索引 基础知识梳理 考点五考点五 相似三角形的应用相似三角形的应用 相似三角形的性质在实际生活中有着广泛的应用,例如利用相似三角形对应 边成比例的性质可以测量某
8、些不容易直接测量的物体的长度或高度. 栏目索引 中考题型突破 题型一题型一 考查比例线段考查比例线段 该题型主要考查比例线段的内容,包括平行线分线段成比例定理,线段的比, 利用线段的比进行计算等. 中考题型突破 栏目索引 中考题型突破 典例典例1 (2018河北石家庄模拟)对于平行线,我们有这样的结论:如图1,AB CD,AD,BC交于点O,则 = . 请利用该结论解答下面的问题:如图2,在ABC中,点D在线段BC上,BAD= 75,CAD=30,AD=2,BD=2DC,求AC的长. AO DO BO CO 栏目索引 中考题型突破 答案答案 过点C作CEAB交AD的延长线于E,如图所示. 则
9、= . 又BD=2CD,AD=2, = ,解得DE=1. BD CD AD DE 2CD CD 2 DE 栏目索引 中考题型突破 CEAB, E=BAD=75. 又CAD=30, ACE= (180-CAD)=75. AC=AE=3. 1 2 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 本题的求解关键有两点:根据题意添加辅助线.由于题目中没有 平行线而无法运用平行线分线段成比例定理,因此通过作平行线构造满足该 定理的基本图形,这也是添加辅助线的常用方法;注意线段的代换.分析求 证结果发现,难以找到AC与其他已知线段的联系,为此需要考虑线段的代换 或比的代换,为此需要证明ACE为等腰三角形. 栏目
10、索引 中考题型突破 变式训练变式训练1 如图,在ABC中,点D为AC上一点,且 = ,过点D作DEBC 交AB于点E,连接CE,过点D作DFCE交AB于点F.若AB=15,则EF= . CD AD 1 2 10 3 栏目索引 中考题型突破 解析解析 DEBC, = . = , = , = , 即 = ,解得AE=10. DFCE, = , AD AC AE AB CD AD 1 2 AD AC 2 3 AE AB 2 3 AE 15 2 3 AF AE AD AC 栏目索引 中考题型突破 即 = = ,解得AF= . EF=AE-AF=10- = . AF 10 AD AC 2 3 20 3
11、20 3 10 3 答案答案 10 3 栏目索引 中考题型突破 题型二题型二 考查相似三角形的性质与判定考查相似三角形的性质与判定 该题型主要考查相似三角形的性质与判定,主要内容有:相似三角形的判定定 理,相似三角形对应角相等、对应边成比例的性质,相似三角形对应边上的 高、中线、对应角的平分线对应成比例,相似三角形的面积之比等于相似比 的平方等. 栏目索引 中考题型突破 典例典例2 (2018湖南株洲中考)如图,RtABM和RtADN的斜边分别为正方 形的边AB和AD,其中AM=AN. (1)求证:RtABMRtADN; (2)线段MN与线段AD相交于T,若AT= AD,求tanABM的值.
12、1 4 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)证明:AB和AD均为正方形ABCD的边, AD=AB, AM=AN, RtABMRtADN(HL). (2)由(1)得DAN=BAM,DN=BM. BAM+DAM=90,DAN+ADN=90, DAM=ADN. NDAM. AMTDNT. 栏目索引 中考题型突破 = . AT= AD, = . 在RtABM中, tanABM= = = . AM DN AT DT 1 4 AM DN 1 3 AM BM AM DN 1 3 名师点拨名师点拨 本题考查相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性 质、正方形的性质、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活
13、运用所学知识 解决问题,属于中考常考题型. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练2 (2017秦皇岛模拟)如图,在ABC中,B=90,AB=6 cm,BC=12 cm,点P从点A开始,沿AB边以1 cm/s的速度向点B运动;点Q从点B开始,沿BC 边以2 cm/s的速度向点C运动,当点P运动到点B时,运动停止,如果P、Q分别从 A、B两点同时出发. (1)问几秒后,PBQ的面积等于8 cm2? (2)问几秒后,以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似? 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)设t秒后,PBQ的面积等于8 cm2, 此时,AP=t cm,BP=(6-t)cm,BQ=2t cm
14、. SPBQ= BP BQ,即 (6-t) 2t=8,解得t1=2,t2=4. 2秒或4秒后,PBQ的面积等于8 cm2. (2)设x秒后,以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似, 此时,AP=x cm,BP=(6-x)cm,BQ=2x cm. 当BPQBAC时, = ,即 = ,解得x=3; 当BPQBCA时, = ,即 = ,解得x=1.2. 1 2 1 2 BP AB BQ BC 6x 6 2x 12 BQ AB BP BC 2x 6 6x 12 综上所述,1.2秒或3秒后,以P、B、Q为顶点的三角形与ABC相似. 栏目索引 中考题型突破 题型三题型三 考查相似多边形的性质考查相似多边形
15、的性质 该题型主要考查相似多边形的性质,主要内容有:相似多边形的周长之比等于 相似比,相似多边形的面积之比等于相似比的平方,主要考查基础知识,题型 以选择题和填空题为主. 栏目索引 中考题型突破 典例典例3 (2018沧州模拟)在AB=30 m,AD=20 m的矩形花坛四周修筑小路. (1)如果四周的小路的宽均相等,都是x m,如图1,那么小路四周所围成的矩形 ABCD和矩形ABCD相似吗?请说明理由; (2)如果相对着的两条小路的宽均相等,宽度分别为x m、y m,如图2,试问小路 的宽x与y的比值为多少时,能使得小路四周所围成的矩形ABCD和矩形 ABCD相似?请说明理由. 图1 图2 栏
16、目索引 中考题型突破 答案答案 (1)小路四周所围成的矩形ABCD和矩形ABCD不相似. 理由如下: = = , = = ,且 , . 小路四周所围成的矩形ABCD和矩形ABCD不相似. (2)在矩形ABCD和矩形ABCD中, 要使A=A=B=B=C=C=D=D=90, AB=CD,AD=BC,AB=CD,AD=BC, AB AB 302x 30 15x 15 AD AD 202x 20 10x 10 15x 15 10x 10 AB AB AD AD 栏目索引 中考题型突破 要使矩形ABCD矩形ABCD,只需 = . = ,解得 = . 路的宽x与y的比值为23时,能使小路四周所围成的矩形A
17、BCD和矩形 ABCD相似. AB AB AD AD 302y 30 202x 20 x y 2 3 名师点拨名师点拨 在证明两个多边形不相似时,只需证明两个多边形的对应边不成 比例或对应角不相等;但在证明两个多边形相似时,必须证明两个多边形的对 应角相等且对应边成比例. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练3 (2017河北沧州东光模拟)如图所示,在矩形ABCD中剪去一个以 AB为边长的正方形后,所剩下的矩形CDEF与原矩形ABCD相似,则原矩形的 长与宽的比是 ( D ) A. B. C. D. 51 2 3 2 35 2 51 2 栏目索引 中考题型突破 答案答案 D 设矩形的长AD
18、=a,宽AB=b,则DE=CF=AD-AB=a-b. 矩形ABCD与矩形CDEF相似, = ,即 = , 整理,得a2-ab-b2=0, 解得a1= b,a2= b(不符合题意,舍去). = . BC EF CD CF a b b ab 15 2 15 2 a b 51 2 栏目索引 中考题型突破 题型四题型四 考查位似图形的性质考查位似图形的性质 该题型主要考查位似图形的性质,这类题目中,考查直角坐标系中位似图形的 顶点坐标的题目较多,题型以选择题和填空题为主,属于基础题和中档题. 栏目索引 中考题型突破 典例典例4 (2018湖南邵阳中考)如图所示,在平面直角坐标系中,已知点A(2,4),
19、过 点A作ABx轴于点B.将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 , 得到COD,则CD的长度是 ( A ) A.2 B.1 C.4 D. 1 2 1 2 栏目索引 中考题型突破 答案答案 A 点A(2,4),ABx轴, 点B(2,0),则AB=4. 将AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的 得到COD, C(1,2),CDx轴, CD=2. 1 2 名师点拨名师点拨 此题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质,正确把握位似 图形的性质是解题关键. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练4 如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-3,6)、B(-9,-3),以原点O为 位似中心,相似
20、比为 ,把ABO缩小,则点A的对应点A的坐标是 ( D ) A.(-1,2) B.(-9,18) 1 3 C.(-9,18)或(9,-18) D.(-1,2)或(1,-2) 答案 D 相似比为 ,应将点A的坐标除以3或-3得到点A的坐标,则点A 的坐标为(-1,2)或(1,-2).故选D. 1 3 栏目索引 中考题型突破 题型五题型五 考查相似三角形的应用考查相似三角形的应用 该题型主要考查相似三角形的应用,主要内容包括:利用相似三角形的性质进 行测量,把某些不容易直接测量的物体的高度或长度转化为容易测量的物体 的高度或长度,从而达到化繁为简、化难为易的求解目的. 栏目索引 中考题型突破 典例
21、典例5 (2017秦皇岛模拟)如图1,小红家阳台上放置了一个晒衣架.图2是晒 衣架的侧面示意图,立杆AB、CD相交于点O,经测量:AB=CD=136 cm,OA= OC=51 cm,OE=OF=34 cm,现将晒衣架完全稳固张开,扣链EF成一条直线,且 EF=32 cm. (1)求证:ACBD; (2)求扣链EF与立杆AB的夹角OEF的度数(精确到0.1); (3)小红的连衣裙长度为122 cm,则垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面?请通 过计算说明理由. 栏目索引 中考题型突破 栏目索引 中考题型突破 答案答案 (1)证明:AB=CD=136 cm,OA=OC=51 cm,OB=OD=85 cm
22、. = = = . 又AOC=BOD,AOCBOD. OAC=OBD. ACBD. (2)如图,过点O作OMEF于点M,则EM= EF=16 cm. cosOEF= = 0.471,利用计算器求得OEF61.9. OA OB OC OD 51 85 3 5 1 2 EM OE 16 34 栏目索引 中考题型突破 (3)小红的连衣裙会拖落到地面.理由如下: 在RtOEM中,OM= = =30(cm). 过点A作AHBD于点H, OA=OC,OE=OF, = . 又EOF=AOC,EOFAOC. OEF=OAC. EFAC,又ACBD,EFBD. ABH=OEM. 22 OEME 22 3416
23、OE OA OF OC 栏目索引 中考题型突破 又OME=AHB=90, RtOEMRtABH, = ,即 = ,解得AH=120 (cm). 120122, OE AB OM AH 34 136 30 AH 小红的连衣裙会拖落到地面. 栏目索引 中考题型突破 名师点拨名师点拨 本题属于利用相似三角形解决实际问题的典型实例,做题时应注 意:根据平行线得到相似三角形是证明三角形相似的常用方法;利用相似 三角形解决实际问题的切入点是找到题目中的相似三角形,从而为题目的求 解搭建一个平台,当题目中难以找到所必需的相似三角形时,可通过作辅助线 构造相似三角形. 栏目索引 中考题型突破 变式训练变式训练
24、5 某市为了打造森林城市,树立城市新地标,实现绿色、共享发展 理念,在城南建起了“望月阁”及环阁公园.小亮、小芳等同学想用一些测量 工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度,来检验自己掌握知识和运用 知识的能力.他们经过观察发现,观测点与“望月阁”底部间的距离不易测 得,因此经过研究需要两次测量.于是他们首先用平面镜进行测量,方法如下: 如图,小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜,在镜面上做 了一个标记,这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动,小亮看着镜 面上的标记,他来回走动,走到点D时,看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像 与镜面上的标记重合.这时,测得小亮眼睛与地面的
25、距离ED=1.5米,CD=2米; 栏目索引 中考题型突破 然后,在阳光下,他们用测影长的方法进行了第二次测量,方法如下:如图,小亮 从D点沿DM方向走了16米,到达“望月阁”影子的末端F点处,此时,测得小 亮的影长FH=2.5米,身高FG=1.65米. 已知:ABBM,EDBM,GFBM.测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计. 请你根据题中提供的相关信息,求出“望月阁”的高AB的长度. 栏目索引 中考题型突破 答案答案 由题意得ABC=EDC=GFH=90, ACB=ECD,AFB=GHF. ABCEDC,ABFGFH. = , = , 即 = , = , 解得BC=132,AB=99. 答:“
26、望月阁”的高度为99米. AB ED BC DC AB GF BF FH AB 1.5 BC 2 AB 1.65 BC18 2.5 栏目索引 易混易错突破 易错一易错一 利用比例的性质时出现错误利用比例的性质时出现错误 易混易错突破 典例典例1 已知:ab=1 ,bc= ,那么abc等于 ( C ) A. B. C. D.1 1 2 1 3 1 5 1 2 1 3 1 5 1 2 1 6 1 15 1 3 1 6 1 10 1 6 1 5 易错警示易错警示 本题容易出现的错误是在沟通两个比时“中间量”出现错误, 因为b既是前一个比的后项,又是后一个比的前项,所以必须把b这个中间量 统一,为此可
27、利用“主元法”,即把a、b、c都用同一个字母b表示,由此则得 到答案. 栏目索引 易混易错突破 解析解析 ab=1 ,bc= , a=2b,c= b, abc=2bb b= . 故选C. 1 2 1 3 1 5 3 5 3 5 1 3 1 6 1 10 答案答案 C 栏目索引 易混易错突破 易错二易错二 计算面积时用错相似三角形与面积有关的性质计算面积时用错相似三角形与面积有关的性质 典例典例2 (2017唐山玉田二模)如图,D是ABC的边BC上一点,AB=4,AD=2, DAC=B.如果ABD的面积为15,那么ACD的面积为 ( D ) A.15 B.10 C. D.5 15 2 栏目索引
28、易混易错突破 易错警示易错警示 本题的易错之处是用错“相似三角形的面积之比等于相似比的 平方”,主要体现为两点:一是计算相似比时出现错误;二是利用相似三角形 的性质计算时丢掉“平方”. 解析 DAC=B,C=C,ACDBCA. = , AB=4,AD=2, = . = = = = ,解得SACD=5. ACD ABC S S 2 AD AB AD AB 1 2 ACD ABC S S ACD ABDACD S SS ACD ACD S 15S 2 AD AB 1 4 栏目索引 易混易错突破 易错三易错三 判断三角形相似时出现丢解的错误判断三角形相似时出现丢解的错误 典例典例3 (2017石家庄
29、模拟)如图所示,已知ACB=ADC=90,AD=2,CD= , 当AB的长为 时,ACB与ADC相似. 2 栏目索引 易混易错突破 易错警示易错警示 本题容易出现的错误是丢解,其原因是根据ACB与ADC相 似,误认为是RtABCRtACD,而丢掉了RtACBRtCDA的情况,从 而导致出现丢解的错误,由此提醒我们,当题目中出现“ACB与ADC相 似”之类的词语时,一定要认真分析有几种可能,避免出现丢解的错误. 解析解析 AD=2,CD= ,AC= = = .要使ACB与 ADC相似,有两种情况:当RtABCRtACD时,有 = ,即 = , 解得AB=3;当RtACBRtCDA时,有 = ,即
30、 = ,解得AB=3 . AB的长为3或3 时,ACB与ADC相似. 2 22 ADDC 22 2( 2)6 AB AC AC AD AB 6 6 2 AB AC AC CD AB 6 6 2 2 2 栏目索引 随堂巩固检测 1.已知线段a=4,b=9,线段x是a,b的比例中项,则x等于 ( B ) A.36 B.6 C.-6 D.6或-6 随堂巩固检测 2.如图,小正方形的边长均为1,则下列图中的三角形(阴影部分)与PMN相似 的是 ( A ) 栏目索引 随堂巩固检测 3.如图,D为ABC边BC上一点,要使ABDCBA,应该具备下列条件中 的 ( C ) A. = B. = C. = D.
31、= AC CD AB CD AB CD BC AD AB BC BD AB AC CD BC AC 栏目索引 随堂巩固检测 4.如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(3,3),D(4,1),以原点O为位似中心,在 第一象限内将线段CD放大为原来的2倍后得到线段AB,则端点B的坐标为 ( D ) A.(6,6) B.(6,8) C.(8,6) D.(8,2) 栏目索引 随堂巩固检测 5.如图,为估算某河的宽度,在河对岸边上选定一个目标点A,在近岸取点B,C, D,使得ABBC,CDBC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得 BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,则河的宽
32、度AB等于 ( B ) A.60 m B.40 m C.30 m D.20 m 栏目索引 随堂巩固检测 6.如图,四边形ABCD是平行四边形,E是BC的延长线上一点,AE与CD相交 于F,则与CEF相似的三角形有 2 个. 栏目索引 随堂巩固检测 7.(2018沧州模拟)如图,ABC与DEF位似,位似中心为点O,且ABC的面 积等于DEF面积的 ,则OAAD= 21 . 4 9 栏目索引 随堂巩固检测 8.如图,某班课外活动小组的同学用标杆测量学校旗杆的高度,已知标杆高度 CD=3 m,标杆与旗杆的水平距离BD=15 m,人的眼睛与地面的高度EF=1.6 m, 人与标杆CD的水平距离DF=2
33、m,且E、C、A三点在同一条直线上,则旗杆AB 的高度是 13.5 m. 栏目索引 随堂巩固检测 9.某高中学校为高一新生设计的学生板凳的截面图如图所示.其中AB=CD, BC=20 cm,BC、EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm、8 cm, 为使板凳两腿底端A、D之间的距离为50 cm,那么横梁EF应为多长?(材质及 其厚度等暂忽略不计) 栏目索引 随堂巩固检测 答案答案 过点C作CMAB,交EF、AD于N、M,作CPAD,交EF、AD于Q、P. 则四边形ABCM和四边形AENM是平行四边形,如图所示. EN=AM=BC=20 cm,MD=AD-AM=50-20=30(cm). 根据题意,得CP=40 cm,PQ=8 cm, 栏目索引 随堂巩固检测 CQ=32 cm. EFAD, CNFCMD,则 = ,即 = . NF=24 cm. EF=EN+NF=20+24=44(cm). 答:横梁EF应为44 cm. NF MD CQ CP NF 30 32 40
