1、课题课题 2626 正方形正方形 A 组 基础题组 一、选择题 1.(2018 保定莲池模拟)菱形、矩形、正方形都具有的性质是( ) A.四条边相等,四个角相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 2.(2018 石家庄模拟)若正方形的对角线长为 2 cm,则这个正方形的面积为( ) A.4 cm 2 B.2 cm2 C.2cm2 D.22 cm2 3.(2018 邢台模拟)如图,正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 22,若直线 l 满足下列条件:点 D 到直线 l 的距离为3;A,C 两点到直线 l 的距离相等.那么符合题意的直线 l 的条数为 ( ) A.1 B.2
2、 C.3 D.4 二、填空题 4.(2017 秦皇岛模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E 是对角线 AC 上的一点,若CED=70,则 ABE 的度数是 . 5.(2018 唐山路南模拟)如图,四边形 ABCD 是正方形,AEBE 于点 E,且 AE=3,BE=4,则阴影部 分的面积是 . 6.(2016 张家口一模)如图,点 E 在正方形 ABCD 的边 CD 上,若ABE 的面积为 18,CE=4,则线 段 BE 的长为 . 7.(2018 秦皇岛海港模拟)过正方形 ABCD 的顶点 A 作直线 l,过点 B,D 作 l 的垂线,垂足分别 为点 F,E,若 DE=1,BF=2,则 AB
3、的长度为 . 三、解答题 8.(2018 吉林中考)如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别在 BC,CD 上,且 BE=CF,求 证:ABEBCF. 9.(2017 吉林长春模拟)如图,在正方形 ABCD 中,E 为直线 AB 上的动点(不与 A,B 重合),作射 线 DE,并绕点 D 逆时针方向旋转 45,交直线 BC 于点 F,连接 EF. 探究:当点 E 在边 AB 上时,求证:EF=AE+CF. 应用:(1)当点 E 在边 AB 上,且 AD=2 时,则BEF 的周长是 . (2)当点 E 不在边 AB 上时,EF,AE,CF 三者的数量关系是 . B 组 提升题组 一、选择题
4、 1.(2018 唐山丰南二模)如图,在正方形 ABCD 外侧作等边三角形 ADE,AC,BE 相交于点 F,则 BFC 为( ) A.75 B.60 C.55 D.45 2.(2018 天津中考)如图,在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 AD,BC 的中点,P 为对角线 BD 上的一 个动点,则下列线段的长等于 AP+EP 最小值的是( ) A.AB B.DE C.BD D.AF 二、填空题 3.如图,正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1,点 F,G 分别在边 BC,CD 上,P 为 AE 的中点,连接 PG,则 PG 的长为 . 4.(2018湖北咸宁中考)如
5、图,将正方形OEFG放在平面直角坐标系中,O是坐标原点,点E的坐 标为(2,3),则点 F 的坐标为 . 三、解答题 5.(2018 廊坊安次二模) (1)【阅读发现】如图,在正方形 ABCD 的外侧,作两个等边三角形 ABE 和 ADF,连接 ED、FC, 且 ED、FC 交于点 M,则图中ADEDFC,可知 ED=FC,求DMC 的度数; (2) 【拓展应用】 如图,在矩形 ABCD(ABBC)的外侧,作两个等边三角形 ABE 和 ADF,连接ED、 FC 且 ED、FC 交于点 M. (i)求证:ED=FC; (ii)若ADE=20,求DMC 的度数. 答案精解精析答案精解精析 A 组
6、基础题组 一、选择题 1.D 2.B 3.B 如图,连接 AC,与 BD 相交于 O,正方形 ABCD 的对角线 BD 长为 22,OD=2.直线 lAC 并且到 D 的距离为3. 同理,在点 D 的另一侧还有一条直线满足条件,故共有 2 条直线 l.故选 B. 二、填空题 4.25 5.19 6. 答案 213 解析 设正方形的边长为 a(a0),SABE=18,S正方形 ABCD=2SABE=36,a 2=36,a0,a=6, 在 RtBCE 中,BC=6,CE=4,BE=B2+ C2=62+ 42=213. 7. 答案 5 解析 四边形ABCD是正方形,BAE+DAF=90,ABF+BA
7、E=90,ABF=DAE. 可得ABFDAE(AAS), AF=DE=1. 在 RtABF 中,根据勾股定理得:AB=5. 三、解答题 8. 证明 四边形 ABCD 是正方形, AB=BC,ABE=BCF=90. 在ABE 和BCF 中, AB = BC, ABE = BCF, BE = CF, ABEBCF. 9. 解析 探究:证明:如图 1,延长 BA 到 G,使 AG=CF,连接 DG, 图 1 四边形 ABCD 是正方形, DA=DC,DAG=DCF=90, 又 AG=CF, DAGDCF, 1=3,DG=DF, ADC=90,EDF=45, EDG=1+2=3+2=45=EDF, D
8、E=DE, GDEFDE, EF=EG=AE+AG=AE+CF. 应用: (1)BEF 的周长=BE+BF+EF, 由探究得:EF=AE+CF, BEF 的周长=BE+BF+AE+CF=AB+BC=2+2=4, 故答案为 4. (2)当点 E 不在边 AB 上时,分两种情况: 当点 E 在 BA 的延长线上时,如图 2, 图 2 EF=CF-AE,理由如下: 在 CB 上取 CG=AE,连接 DG, AE=CG,DAE=DCG=90,AD=DC, DAEDCG, DE=DG,EDA=GDC, ADC=90, EDG=90, EDF+FDG=90, EDF=45, FDG=90-45=45, E
9、DF=FDG=45, 在EDF 和GDF 中, DE = DG, EDF = GDF, DF = DF, EDFGDF, EF=FG, EF=FG=CF-CG=CF-AE. 当点 E 在 AB 的延长线上时,如图 3, 图 3 EF=AE-CF,理由如下: 把DAE 绕点 D 逆时针方向旋转 90至DCG,可使 AD 与 DC 重合, 由旋转得 DE=DG,EDG=90,AE=CG, EDF=45, GDF=90-45=45, EDF=GDF, DF=DF, EDFGDF, EF=GF, EF=GF=CG-CF=AE-CF. 综上所述,当点 E 不在边 AB 上时,EF,AE,CF 三者的数量
10、关系为 EF=CF-AE 或 EF=AE-CF. 故答案为 EF=CF-AE 或 EF=AE-CF. B 组 提升题组 一、选择题 1.B 四边形 ABCD 是正方形,BAD=90,AB=AD,BAF=45,ADE 是等边三角 形,DAE=60,AD=AE,BAE=90+60=150,AB=AE,ABE=AEB=1 2(180-150 )=15,BFC=BAF+ABE=45+15=60.故选 B. 2.D 在正方形 ABCD 中,连接 CE、PC. 点 A 与点 C 关于直线 BD 对称, AP=CP, AP+EP 的最小值为 EC. E,F 分别为 AD,BC 的中点, DE=BF=1 2A
11、D. AB=CD,ABF=ADC=90, ABFCDE. AF=CE. 故选 D. 二、填空题 3. 答案 5 解析 延长 GE 交 AB 于点 O,作 PHOE 于点 H,则 PHAB.P 是 AE 的中点,PH 是AOE 的中位线,PH=1 2OA= 1 2(3-1)=1.在 RtAOE 中,OAE=45,AOE 是等腰直角三角形,即 OA=OE=2,同理,在PHE中,HE=PH=1.HG=HE+EG=1+1=2.在RtPHG 中,PG=PH2+ HG2=5. 4. 答案 (-1,5) 解析 如图,过点E作x轴的垂线EH,垂足为H.过点G作x轴的垂线GM,垂足为M,连接GE,FO 且 GE
12、、FO 交于点 O. 四边形 OEFG 是正方形,OG=EO,GOM=OEH,OGM=EOH, OGMEOH(ASA). GM=OH=2,OM=EH=3,G(-3,2).O(- 1 2, 5 2). 点 F 与点 O 关于点 O对称, 点 F 的坐标为 (-1,5). 三、解答题 5. 解析 (1)如图中,四边形 ABCD 是正方形, AD=AB=CD,ADC=90. ADEDFC, DF=CD=AE=AD. FDC=60+90=150, DFC=DCF=ADE=AED=15. FDE=60+15=75. MFD+FDM=90. FMD=90,DMC=90. (2)(i)ABE 为等边三角形,EAB=60,EA=AB. ADF 为等边三角形,FDA=60,AD=FD. 四边形 ABCD 为矩形,BAD=ADC=90,DC=AB. EA=DC. EAD=EAB+BAD=150,CDF=FDA+ADC=150, EAD=CDF. 在EAD 和CDF 中, AE = DC, DAE = FDC, AD = DF, EADCDF. ED=FC. (ii)EADCDF, ADE=DFC=20 DMC=FDM+DFC=FDA+ADE+DFC=60+20+20=100.
