1、Part 2 路面的力和变形经典路面力学分析1Part2.力和变形经典路面力学分析 1.路面力学分析的发展路基路路基路面力学面力学分析需分析需求求刚性路面柔性柔性路面路面1929洛夫圆形均布荷载下解（均匀体）洛夫圆形均布荷载下解（均匀体）1884赫兹的液体支承板理论1924奥尔德的板角悬臂梁理论1925威斯特卡德的理论解1885布辛布辛尼斯克尼斯克半空间半空间体理论体理论1938霍格、舍赫捷尔无限大板理论解1945波密波密斯特层状斯特层状体系理论体系理论1954福斯脱圆形均布荷载计算诺模图（均匀体）福斯脱圆形均布荷载计算诺模图（均匀体）19481959科岗等科岗等人使层状解析理人使层状解析理论
2、不断完善论不断完善19571962希夫希夫曼等人发展了曼等人发展了数值解法数值解法一系列弹性体系一系列弹性体系计算程序计算程序1960s后粘弹体系后粘弹体系理论和数值解法理论和数值解法很多有限尺寸板修正理论解弹性层状体系数值解2 2.轴对称空间问题的一般解轴对称空间问题的一般解 路面分析便于简化为轴对称空间问题路面分析便于简化为轴对称空间问题 荷载荷载 结构结构 还可进一步简化为平面对称问题还可进一步简化为平面对称问题 分析目的：分析目的：解算荷载作用下的应力分量和位移分量解算荷载作用下的应力分量和位移分量 解决方法解决方法 弹性空间体结构分析弹性空间体结构分析 引入轴对称简化为柱坐标引入轴对
3、称简化为柱坐标 解算空间问题方程解算空间问题方程 得到应力分量和位移分量表达式得到应力分量和位移分量表达式31.轴对称空间问题的方程轴对称空间问题的方程xyzyzzyzxxzxyyx、xyzyzzxxy、uvw、空间问题共有15个未知函数：6个应变分量：3个位移分量：6个应力分量：15个函数应该满足15个基本方程（用15个方程求解）：3个平衡微分方程（应力之间的关系）：个平衡微分方程（应力之间的关系）：000000yzxzxxyzyxyyyzxzZzFXxyzFYyzxFZzxy6个几何方程（应变和变形之间的关系）：个几何方程（应变和变形之间的关系）：,xyzyzzxxyuvwxyzwvuwv
4、uyzzxxy6个物理方程（应力与应变的关系）：个物理方程（应力与应变的关系）：()11 2()11 2()11 2,2(1)2(1)2(1)()1 2 ()xxyyzzyzyzzxzxxyxyxyzxyzEeEeEeEEEeE1()1()1()2(1)2(1)2(1)xxyzyyzxzzxyyzyzzxzxxyxyEEEEEE 或 直角坐标情况，转换柱坐标直角坐标情况，转换柱坐标：x=r cos，y=r sin ，z=z4空间轴对称问题 弹性层状体系空间轴对称，在柱坐标中，微分单元体上，应力分量有三个法向应力（）和三对剪应力 当层状体系表面作用轴对称荷载时，各应力、形变和位移分量也对称于对称
5、轴，即它们仅是r 和的函数。因而 ,，三对剪应力只剩下一对。由此可将柱坐标下的方程组化简0rr0zz1.轴对称空间问题的方程轴对称空间问题的方程5rzrrzzrzzr、rzrzrz、ruuuw=、6个应变分量：3个位移分量：6个应力分量：15个函数应该满足15个基本方程，空间轴对称问题化简为10个2个平衡微分方程：4个几何方程：4个物理方程：或 柱坐标空间轴对称情况柱坐标空间轴对称情况 00rrzrzrrzrzzrzrrrzrzururzurzzrzrrzzrzzrrEEEE1211111 211 211 22 1rrzzzzEEEE6011011011120112222222222222zr
6、rzrrrrrzrzrzrrr平衡微分方程中平衡微分方程中3个未知量，却只有两个方程，是一个超静定问题为进一步求个未知量，却只有两个方程，是一个超静定问题为进一步求解，引入变形协调方程解，引入变形协调方程/相容方程，表征变形连续性相容方程，表征变形连续性:222221zrrrzr拉普拉斯算子拉普拉斯算子P40，3-2由几何方程消去由几何方程消去u和和w，得变形协调方程：得变形协调方程：222222222212011110rzzrzzrrrrrrrzrrrzrzr zr zrzrz 再将物理方程再将物理方程代入上式，得代入上式，得变形协调方程变形协调方程的应力表示式：的应力表示式：第一应力不变量
7、第一应力不变量7引入洛夫应力函数 ，洛夫应力函数表达为洛夫应力函数表达为:),(zr2222222222121zrzzrrzrzrzzrzr根据前述方程已经可以解得各种分量，但这种解法相当困难，采用洛夫根据前述方程已经可以解得各种分量，但这种解法相当困难，采用洛夫（1925）提出的应力函数可以简化计算）提出的应力函数可以简化计算将洛夫应力函数表达式代入平衡微分方程和变形协调方程，除了平衡微分方将洛夫应力函数表达式代入平衡微分方程和变形协调方程，除了平衡微分方程的第一个公式恒等于程的第一个公式恒等于0外，其他的方程都转化为重调和方程：外，其他的方程都转化为重调和方程：022如果应力函数是重调和方
8、程的解，则能满足平衡微分方程和变形协调方程。因此，只要根据重调和方程求得应力函数，就能计算各应力分量。只要根据重调和方程求得应力函数，就能计算各应力分量。解重调和方程可以采用分离变量法或汉克尔积分变换法，习惯上采用较为简单的后者路面力学计算路面力学计算P40，式，式3-3式式3-382.应用汉克尔积分变换求解重调和方程应用汉克尔积分变换求解重调和方程（1）形如下式的微分方程称为贝塞尔方程，其解含有贝塞尔函数（）形如下式的微分方程称为贝塞尔方程，其解含有贝塞尔函数（Jn，n=0,1,2）：）：（含有拉普拉斯算子的方程常能展开成贝塞尔方程，（含有拉普拉斯算子的方程常能展开成贝塞尔方程，重调和方程变
9、化成贝塞尔方程之后重调和方程变化成贝塞尔方程之后求解，应将应力函数表达成贝塞尔函数）求解，应将应力函数表达成贝塞尔函数）22222()0d ydyxxxnydxdx（2）按照傅里叶定理，在任意区间满足收敛的函数可以展开成傅里叶级数）按照傅里叶定理，在任意区间满足收敛的函数可以展开成傅里叶级数,在无限区间时在无限区间时可写成无穷积分的形式：可写成无穷积分的形式：()1()()2ixf xdfed0000()()()()f rJrdfJd （3）若函数）若函数f(r)能按照贝塞尔函数的积分形式展开如下（适合于二维傅里叶积分在一定条能按照贝塞尔函数的积分形式展开如下（适合于二维傅里叶积分在一定条件下
10、按极坐标展开）：件下按极坐标展开）：0000()()()()()()ff r Jr rdrf rfJrd 则变换式成立：则变换式成立：两式互为反演，互称为对两式互为反演，互称为对方的汉克尔积分变换式。方的汉克尔积分变换式。且且0阶可以推广到阶可以推广到n阶阶傅里叶级数的指数表傅里叶级数的指数表达式。达式。P30，式，式2-111,P32，式，式2-11492.应用汉克尔积分变换求解重调和方程应用汉克尔积分变换求解重调和方程（5）推广到带有拉普拉斯算子的形式：）推广到带有拉普拉斯算子的形式：0022120220220()()()ddJrddrdrJrdrrJrdzz 22222220202222
11、2220201(,)(,)()1(,)(,)()r zr zrrrzJrdzr zr zrrrzJr rdrz （4）推广到洛夫应力函数的汉克尔积分变换式为：）推广到洛夫应力函数的汉克尔积分变换式为：0000(,)(,)()(,)(,)()zr z Jr rdrr zz Jrd 其中其中为引入积分参变量为引入积分参变量P35，式，式2-136,2-13710积分变换法求解问题的步骤：1）.对方程的两边做积分变换将偏微分方程变为常微分方程2）.对定解条件做相应的积分变换，导出新方程变为定解条件3）.对常微分方程，求原定解条件解的变换式4）.对解的变换式取相应的逆变换，得到原定解问题的解2.应用汉
12、克尔积分变换求解重调和方程应用汉克尔积分变换求解重调和方程经过上述的准备工作，已经可以将偏微分方程偏微分方程变为常微分方程常微分方程244222200020002222220220(,)(,)()()()(,)()(,)()(,)()()(,)0dr zrr z Jr drrJr drrr z Jr drr zdzddrr z Jr drzdzdz 按一般方法解这个常微分方程常微分方程(四阶齐次线性贝塞尔方程四阶齐次线性贝塞尔方程)，其通解形式为：(,)()()zzzAB z eCD z e 根据汉克尔积分变换反演：00(,)()()()zzr zJr dAB z eCD z e式中式中是引入
13、的参变量，是引入的参变量，A 、B 、C 、D 都是都是的函数，值由边界和层间结合条件来确定的函数，值由边界和层间结合条件来确定P433-11a113.轴对称空间问题的精确解轴对称空间问题的精确解当然也可以按照应力函数的微分关系求得应力、应变、位移的一般表达式（将应力函数微分关系式代入前述洛夫应力函数的定义式，位移分量通过几何方程积分得到）：323013002220120032030222120201()()(1)1()()(1)(2)()(1)()1rzzrdddJr dJr drdzdzdzdddJr dJr ddzdzrdzddJr ddzdzdJr ddzuE 122020()1(12
14、)2(1)()Jr dzJr dEz 223223(1)(1)(2)(2)(3)(3)zzzzzzdAz BCz DeedzdAz BCz DeedzdAz BCz Deedz (,)()()zzzAB z eCD z e 又又代入应力、应变一般表达式代入应力、应变一般表达式P45，3-17123.轴对称空间问题的精确解轴对称空间问题的精确解000000101()(12)(12)12()()()(1 2)(1 2)()(2)(2)11(24zzrzzzzzzzzreeJr dUAz BCz DrBeDeJr dUreeJr dAz BCz DeeJr dAz BCz DuUEAE 00()(2
15、4)zzeeJr dz BCz D式中：式中：323210,()(1)(1)zzAA BB CCDDUeeJr dAz BCz D上述上述6式为应力与位移分量的一般表达式，它适用于任何类型的轴对称空间问题。式为应力与位移分量的一般表达式，它适用于任何类型的轴对称空间问题。今后对解决某一轴对称的具体问题，只要根据其边界条件和层间结合条件求得今后对解决某一轴对称的具体问题，只要根据其边界条件和层间结合条件求得A、B、C、D，就能获得该课题的全部，就能获得该课题的全部精确解精确解。P46,3-18134.应力和位移分量的数值解应力和位移分量的数值解贝塞尔函数是数学上的一类特殊函数的总称，整数阶的贝塞
16、尔函数可以展开成级数级数（其具有波动衰减特性（其具有波动衰减特性收敛，则可近似计算）或用无穷积分表示。收敛，则可近似计算）或用无穷积分表示。2246022222()(1)!()!(1)!2!(2)!3!(3)!nknnnnknkxxxxxJxk nknnnn当宗量（当宗量（x）的大小确定，函数的阶数确定时，可采用一系列的近似公式计算。如）的大小确定，函数的阶数确定时，可采用一系列的近似公式计算。如路路面力学计算面力学计算P16-24：143.3.轴对称空间问题解在弹性半无限空间体的推广轴对称空间问题解在弹性半无限空间体的推广 1.弹性半空间体问题及推广xyxyyzzxzuvw轴对称空间弹性体问
17、题，假定在点轴对称空间弹性体问题，假定在点o附近有组附近有组很小的面力，它的分布不明确，但等效于集很小的面力，它的分布不明确，但等效于集中力中力P，在，在o点处力的平衡方程为：点处力的平衡方程为：022222220/zrdrPRrzxyzr ztg152.集中荷载作用下Boussinesq 解22225222533(1 2)()23P2(1(1 2(1)2()(1 2)22)23132zrrzPzRRRRzrzRPrzuERRRzPzwEPRPRr zRRRzRzR 蓝色蓝色、绿色绿色和和红红色色是最关心的三是最关心的三个解个解P53，4-4P50，ab两个边界条件，引入力的平衡条件两个边界条
18、件，引入力的平衡条件c，引入洛夫位移函数，引入洛夫位移函数d。代入。代入3-18，求得，求得ABCD四个待定系数，得到式四个待定系数，得到式4-4：162.集中荷载作用下Boussinesq 解352 5/22233122 1(/)zP zPPKRr zzzK-集中力作用下的应力分布系数22(1)2(1)2PzwERR20,0(1)zrPwEr集中荷载下任意位置处的竖向应力：集中荷载下任意位置处的竖向应力：集中荷载下水平边界（表面）的变形：集中荷载下水平边界（表面）的变形：173.任意斜向轴对称荷载作用下的解P55，abcd四个边界条件代入式3-18，消去待定系数ABCD得到式4-8(P56)
19、:公式公式4-8可以推广到圆形均布、半球形、碗形等其他与实际轮载作用更接近的轴对称可以推广到圆形均布、半球形、碗形等其他与实际轮载作用更接近的轴对称荷载，见路面力学分析教材第四章荷载，见路面力学分析教材第四章P57-58184.圆形均布荷载下的力和变形弹性半空间体上为圆形均布荷载时，可按集中荷载的解，由积分法求出应力与位移分量，也可直接由任意斜向轴对称荷载公式推出194圆形均布荷载下的力和变形 1柔性板轴对称解3z22 1.53220.522 1.5220.5220.51()2(1)122()()(1)1 2()()rzqazqzzazazqaawazzEaza2max(0,0)2(1)zrq
20、awE204圆形均布荷载下的力和变形 2刚性板轴对称解220.52220.52(),2()2()(1)2zqaPq rqaraqaarqawE 2max(0)2(1)4zqawE215.半空间问题解的实际应用 如果路面与土基的模量比接近1，例如很薄的沥青面层和很薄的粒料基层，应用该理论可以确定土基的应力、应变和挠度 如果路面与土基的模量比相差较大，则可以采用平平均模量法均模量法或路面当量厚度路面当量厚度法将其换算为一层，从而可以求算变形。但求得应力（尤其是我们关心的层底幅向应力）不准确 当为双轮荷载时，可按柔性板分别计算后叠加得到应力、应变和挠度。（注意：课件中给出公式都为ra的情况，叠加计算
21、需要采用ra的解，具体可参考朱照宏-路面力学计算）224.4.轴对称空间问题解在层状体系的推广轴对称空间问题解在层状体系的推广1.基本假定基本假定 各层材料均质，连续、各向同性、完全弹性 路基路面体系的位移微小 路面各层有确定的厚度，在水平方向假定是无限大的。土基在水平和深度方向都是无限大的。不考虑路面自重对应力的影响 路面和土基水平方向无限远处，应力、应变和位移等于零。土基无限深处，应力、应变和位移等于零。层间接触情况，或者完全连续或者完全滑动232.任意斜向荷载作用下双层体系的解为建立边界条件引入脱离体结构（为建立边界条件引入脱离体结构（1代表上层，代表上层，0代表下代表下层）层）24 边
22、界条件2.任意斜向荷载作用下双层体系的解上层表面上层表面()()zzhzrzhq rs r 0001000100()()zzzrzzzzzp rg ruuww 层间结合处层间结合处由边界条件，按由边界条件，按P126介绍的方法求出待定系数介绍的方法求出待定系数ABCD，再将待定系数代入，再将待定系数代入3-18可得到可得到上层上层应力与位移分量表达式。应力与位移分量表达式。P127给出了两个位移分量表达式（式给出了两个位移分量表达式（式7-1和和7-2）。）。由层间边界条件和已经求得的由层间边界条件和已经求得的ABCD，取得，取得p（r）和）和g（r）的表达式，将）的表达式，将 其代入其代入4
23、-8，得到得到下层下层内任一点的解析表达式内任一点的解析表达式。P128给出垂直应力给出垂直应力z z表达式（式表达式（式7-3）。）。252.圆形垂直荷载作用下双层连续体系圆形垂直荷载的汉克尔圆形垂直荷载的汉克尔积分变换式（积分变换式（P57-58，式式4-10）：）：代入代入任意斜向荷载作用下ABCD表达式（P127），得到式7-4：262.圆形垂直荷载作用下双层连续体系再将再将7-4代入代入3-18，令，令h=x得得上层上层应力与位应力与位移分量表达式（移分量表达式（7-5）：）：27将将荷载的汉克尔积分变换式代入荷载的汉克尔积分变换式代入未知反力积分变换式，得未知反力积分变换式，得7-
24、6：2.圆形垂直荷载作用下双层连续体系将将7-6代入代入4-8，得到圆形垂直荷载，得到圆形垂直荷载下层下层应力和位移分量表达式应力和位移分量表达式7-7：282.圆形垂直荷载作用下双层连续体系按按P58，4-11，若荷载为圆形垂直均布。则，若荷载为圆形垂直均布。则m=1贝塞尔函数为贝塞尔函数为1阶：阶：得到双层连续体系圆形均布荷载下的解。其中垂直位移分量列于本科教材（程）得到双层连续体系圆形均布荷载下的解。其中垂直位移分量列于本科教材（程）P382的式的式14-152211122201010101102(1)()2414(34)(34)34(34)11(1)(1)xxxxpaJ xexMewD
25、xExMLMeLexmLmmMmEmE本科教材本科教材（程）（程）P382的式的式14-15双层滑动体系的解在P134-136，7-8和7-9，此处不再赘述。在此我们还可以看出，双层均布荷载下的解与荷载作用半径与层厚之比（贝塞尔函数中的a/h），以及相邻层间模量比（m变量）相关。这和我们在本科生阶段反复强调的结构组合原则相关。293.圆形垂直荷载作用下双层体系的数值解圆形垂直荷载作用下双层体系的数值解取各种应力分量和位移取各种应力分量和位移分量的系数表达式：分量的系数表达式：7-11c(连连续结构上续结构上层竖向应层竖向应力力)7-12c（连（连续结构下层续结构下层竖向应力）竖向应力）计算双层
26、体系在圆形轴对称垂直荷载作用下的应力和位移值。可采用辛普森（simpson）公式或高斯积分公式等数值积分方法。但是计算工作量很大，用人工计算十分困难，故一般可以用电子计算机来完成这些计算工作。同时通常也进行一定程度的简化。贝塞尔函数可以按上节所述展开303.圆形垂直荷载作用下双层体系的数值解圆形垂直荷载作用下双层体系的数值解上述的计算工作仍然难以完成，可将计算结果绘制成诺模图求解（如本科上述的计算工作仍然难以完成，可将计算结果绘制成诺模图求解（如本科教材教材p383,14-16）：）：更多情况下可直接使用应用程序求解。典型壳牌更多情况下可直接使用应用程序求解。典型壳牌BISAR3.0 黄仰贤黄
27、仰贤KENLAYER，我国，我国APDS/HPDS等等31 BISAR 对应壳牌沥青路面设计法,用于分析力和变形 BISAR1.0发布于1978 年 1995 年发布DOS 版本的 BISAR2.0 1998年发布windows 版本的 BISAR3.0 BISAR3.0只能用于windows NT4.0以前版本（98、2000、me等）5.5.路面力学分析应用软件路面力学分析应用软件32主菜单33子菜单34输出35KENPAVE美黄仰贤教授开发80年代末发布DOS版本基于FORTRAN,开放式版本，代码可修改KENPAVE包含KENLAYER和KENSLABS，分别用于解决沥青路面和水泥路面
28、可解决弹性分析、粘弹分析、损伤分析、非线性问题等不同情况。5.5.路面力学分析应用软件路面力学分析应用软件主菜单36子菜单37输出38 mePADS based on the South Africa Mechanistic Pavement Design Method developed by CSIR(Council for Scientific and Industrial Research)Elastic graphical interfaces5.5.路面力学分析应用软件路面力学分析应用软件39结构输入40荷载输入Load and Evaluation Points 41输出（具有十
29、几种的输出）Pavement and Layer Bearing Capacities 42Contour plot of Vertical(ZZ)Stresses 输出（具有十几种的输出）43Profile Plot of XX Stress 输出（具有十几种的输出）44理论分析结果准确吗？45作业写出双层体系弹性结构层底拉应力、下层顶面压应力和竖向变形的解析解和一种数值解。基于分析软件，分析典型结构不同位置的应力和变形。柔性基层沥青路面 4cmAC-13C+8cmAC-20C+18cmATB+33cm级配碎石+Subgrade(Soil)半刚性基层沥青路面 4cmAC-13C+6cmAC-20C+8cmAC-25F+38cm水泥稳定碎石+Subgrade(Soil）条件：BZZ-100，双圆，层间连续，AC-13弹性模量3.5GPa，AC-20弹性模量3.0GPa，AC-20弹性模量2.5GPa，ATB弹性模量2.5GPa，级配碎石弹性模量300MPa，水泥稳定碎石弹性模量4.0GP，土基弹性模量40MPa。求解：路面各层最大拉应力及最大拉应力点 路面各层平均压应变 表面弯沉 路基顶面压应力、压应变与弯沉 作业形式：荷载、结构图示、材料条件、计算点、条件输入方法介绍 输出结果 二种结构的输出结果46
