1、1.3.3 1.3.3 导数的实际应用导数的实际应用 1 导数的实际应用：1、费用最省问题 2、容积最大问题 3、利润最大问题 4、距离最短问题 5、物理问题2利用导数求实际问题的最大（小）值的方法：1、细致分析实际问题中各量之间的关系，正确设定所求最大值或最小值的变量y与自变量x，把实际问题转化为数学问题，即列出函数关系式 y=f(x),在根据实际问题确定函数的定义域。2、求f(x),解方程f(x)=0，求出定义域内所有的实数根。3、比较函数在各个根和端点处的函数值的大小，根据实际意义确定函数的最大值或最小值。3 在经济生活中，人们经常遇到最优化在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使
2、经营利润最大、生产效率问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最最省等等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题。导数是解佳策略，这些都是最优化问题。导数是解决这类问题的基本方法之一。现在，我们决这类问题的基本方法之一。现在，我们研究几个典型的实际问题。研究几个典型的实际问题。4 解决优化问题的方法：解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭
3、区间内求函数取的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具中，导数是一个有力的工具5解决数学模型解决数学模型作答作答用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题优化问题优化问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题优化问题的答案优化问题的答案利用导数解决优化问题的利用导数解决优化问题的基本思路基本思路：6例例1.1.在边长为在边长为a a的正方形铁片的四角切去的正方形铁片
4、的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图如图)，做成一个无盖的长方体容器，为，做成一个无盖的长方体容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长应是使其容积最大，截下的小正方形边长应是多少？多少？解：设小正方形边长解：设小正方形边长为为xcmxcm，则箱子容积，则箱子容积2()(2),02aV xaxxx7所以所以322()44V xxaxa x(0)2ax22()128V xxaxa令令 22()1280V xxaxa解得解得x x1 1=a a，x x2 2=a a（舍去），（舍去），6121在区间在区间(0(0，a a)内，且当内，且当00 x x
5、0)0，当，当 a a x x a a时，时，V V(x x)0)0)0)，所以所以f f(x x)=)=kxkx(d d2 2x x2 2)，00 x x d d，10在开区间在开区间(0(0，d d)内，内，令令f f(x x)=)=k k(d d2 23 3x x2 2)=0)=0，解得解得x x=d d，33其中负根没有意义，舍去其中负根没有意义，舍去.当当00 x x 0)0，当，当 d d x x d d时，时，f f(x x)0)0，3333 因此在区间因此在区间(0(0，d d)内只有一个极大值点内只有一个极大值点x x=d d，所以，所以f f(x x)在在x x=d d取得
6、最大值，取得最大值，333311么么么么方面 Sds绝对是假的这就是横梁强度的最大值，这就是横梁强度的最大值，这时这时 2263hdxd 即当宽为即当宽为 d d，高为，高为 时，横梁的时，横梁的强度最大。强度最大。3363d13例例3 3如图，一海岛驻扎一支部队，海岛如图，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点离岸边最近点B B的距离是的距离是150km150km，在岸边，在岸边距点距点B B300km300km的点的点A A处有一军需品仓库，处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，有一批军需品要尽快送达海岛，A A与与B B之间之间有一铁路，现有海陆联运方式运送。火车有一铁路，现有海陆
7、联运方式运送。火车时速为时速为50km50km，船时速为，船时速为30km30km，试在岸边，试在岸边选一点选一点C C，先将军需品用火车，先将军需品用火车送到点送到点C C，再用轮船从点，再用轮船从点C C运到海岛，问点运到海岛，问点C C选在何处选在何处可使运输时间最短？可使运输时间最短？14解解:设点设点C C与点与点B B的距离是的距离是x xkmkm，则运输时间，则运输时间22150300()3050 xxT x(0(0 x x300)300)因为因为 2222(150)150 xxx所以所以 221()5030 150 xT xx令令T T(x x)=0)=0，则有，则有 2253
8、 1500 xx2253 150 xx15即即2525x x2 2=9(150=9(1502 2+x x2 2)，解此方程，得解此方程，得 x x=29 1503 150112.544 舍去负值，取舍去负值，取x x0 0=112.5.=112.5.因为因为T T(0)=11(0)=11，T T(300)=11.2(300)=11.2，T T(112.5)=(112.5)=22150112.5187.5103050则则1010是三数中最小者，是三数中最小者，所以选点所以选点C C在与点在与点B B距离为距离为112.5km112.5km处处,运输时间最小。运输时间最小。16例例4 4如图，已知
9、电源的电动势为如图，已知电源的电动势为，内，内电阻为电阻为r r，问当外电阻取什么值时，输出，问当外电阻取什么值时，输出的功率最大？的功率最大？电源 R r解：由欧姆定律得电流强度解：由欧姆定律得电流强度 IRr在负载电路上的输出功率是在负载电路上的输出功率是P P=P P(R R)=)=I I2 2R R=22()RRr17实验表明，当实验表明，当，r r一定时，输出功率由负一定时，输出功率由负载电阻载电阻R R的大小决定，的大小决定，当当R R很小时，电源的功率大都消耗在内很小时，电源的功率大都消耗在内阻阻r r上，输出的功率可以变的很小；上，输出的功率可以变的很小；R R很大很大时，电路
10、中的电流强度很小，输出的功率时，电路中的电流强度很小，输出的功率也会变的很小，因此也会变的很小，因此R R一定有一个适当的一定有一个适当的数值，使输出的功率最大。数值，使输出的功率最大。18令令 22224()2()()()()RRrR RrP RRrRr220()rRRr即即 ，解得，解得R R=r r，2()0Rr因此，当因此，当R R=r r时，输出的功率最大。时，输出的功率最大。19例例5 5圆柱形金属饮料罐的容积一定时，圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？所用的材料最省？解：设圆柱的高为解：设圆柱的高为h
11、h，底半径为，底半径为R R，则表面积，则表面积 S S=2=2RhRh+2+2R R2 2 由由V V=R R2 2h h，得，得 2VhR则则 S(R)=2R +2R2 =+2R22VR2VR20令令 22()40Vs RRR 解得解得 R R=32V从而从而h=2VR23()2VV32V 即即h h=2=2R R，因为因为S S(R R)只有一个极值，所只有一个极值，所以它是最小值以它是最小值 答：当罐的高与底直径相等时，所用答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省材料最省21例例6 6已知某商品生产成本已知某商品生产成本C C与产量与产量q q的函的函数关系式为数关系式为C C=100+4=100+4q q，价格，价格p p与产量与产量q q的的函数关系式为求产量函数关系式为求产量q q为何值时，利润为何值时，利润L L最大？最大？解：收入解：收入 211252588Rq pqqqq利润利润 2125(1004)8LRCqqq21211008qq(0(0q q100)100)221214Lq 令令L L=0,=0,即即 12104q求得唯一的极值点求得唯一的极值点 q q=84.=84.答：产量为答：产量为q q=84=84时，利润时，利润L L最大最大23
