1、运用数形结合发现规律运用数形结合发现规律数学广角数与形8先计算出结果，再说先计算出结果，再说一说你发现了什么？一说你发现了什么？1 13 3()4 41 13 35 5()9 9 1 13 35 57 7()16161 13 35 57 79 921=(21=()100100 连续的连续的奇数奇数相加相加1=()1=()2 21+3=()1+3=()2 21+3+5=()1+3+5=()2 21 12 23 3每列或每行都有每列或每行都有2 2个小正方形个小正方形每列或每行都有每列或每行都有3 3个小正方形个小正方形有有1 1个小正方形个小正方形观察一下，下面的图和对应的算观察一下，下面的图和
2、对应的算式有什么关系？把算式补充完整。式有什么关系？把算式补充完整。1=()1=()2 21+3=()1+3=()2 21 12 23 3我发现，算式左边的加数是大正方形左上角的小我发现，算式左边的加数是大正方形左上角的小正方形和其他正方形和其他“L”L”形图形所包含的小正方形个形图形所包含的小正方形个数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。数之和正好是每行或每列小正方形个数的平方。1+3+5=()1+3+5=()2 2用自己的话说说，你发现的规律是什么？用自己的话说说，你发现的规律是什么？1=()1=()2 21+3=()1+3=()2 21 12 23 31+3+5=()1+3+5=()
3、2 2我发现，从我发现，从1 1开始的连续奇数的和开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。正好是这串数个数的平方。1 13 33 31 15 53 31 15 57 7+2 22 23 33 34 44 4=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=1010个连续的奇数相加个连续的奇数相加=100100=9 9=4 4=1616=3=32 2=2=22 2=4=42 210102 2从从1 1开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。开始的连续奇数的和正好是这串数个数的平方。每一个图形的个数正好等于从右上角加上其它每一个图形的个数正好
4、等于从右上角加上其它L L形图形图中所包含的个数。中所包含的个数。图形图形数数形形结结合合算式算式图形图形和和算式算式有什么关系？有什么关系？同桌交流：说一说你的发现，并用自己的语言解释规律。同桌交流：说一说你的发现，并用自己的语言解释规律。只要是只要是1 1开始开始，连续的奇数相加连续的奇数相加，就，就能排成能排成每行每行、每列每列个数是几的大正个数是几的大正方形，方形，和和也就是也就是几的平方几的平方。1 13 35 57 7（）1 13 35 57 79 9111113 13（）你能利用规律直接写一写吗？你能利用规律直接写一写吗？4 47 71 13 35 57 79 911111313
5、151517 17 9 92 22 22 21 13 35 57 74 42 29 9111113135 52 26 62 27 72 215158 82 217179 92 2下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少个蓝色小正方形？红：红：蓝：蓝：1 18 82 210103 312124 41414+1+1+2+2+1+1+2+2+1+1+2+2红色红色正方形个数形成了正方形个数形成了1 1，2 2，3 3，4 4，的数列，的数列，蓝色蓝色正方形个数形成了正方形个数形成了8 8，1010，1212，1414，的数列。的数列。中间每增加
6、中间每增加1 1个红色个红色正方形，上下都必须正方形，上下都必须增加增加2 2个蓝色个蓝色正方形。正方形。后一个图都比前一个图增加后一个图都比前一个图增加1 1个红色个红色小正方小正方形和形和2 2个蓝色个蓝色小正方形。小正方形。你能根据例你能根据例1 1的结论算一算。的结论算一算。1 13 35 57 79 91111131311119 97 75 53 31 1=851 13 35 57 75 53 31 1（）2525可以看成两部分：可以看成两部分：1 13 35 57 74 42 2 5 53 31 1 3 32 2 4 42 2 3 32 2 25257 72 2 6 62 27 7
7、2 2 6 62 2下面每个图中最外圈有多少个小正方形？下面每个图中最外圈有多少个小正方形？照这样画下去，第照这样画下去，第5 5个个图形最外圈有（图形最外圈有（）个小正方形。个小正方形。40403 3 1 1 8 82 25 5 3 3 16162 22 27 7 5 5 24242 22 211 11 9 9 40402 22 2这节课你们都学会了哪些知识？这节课你们都学会了哪些知识？1.1.把图形与算式结合起来，是发现规律的关键。把图形与算式结合起来，是发现规律的关键。2.2.从从1 1开始开始的的连续连续几个几个奇数的和奇数的和与与正方形数正方形数的的关系，即有几个连续奇数相加，关系，
8、即有几个连续奇数相加，每边小正方形每边小正方形个数就是几的平方个数就是几的平方。运用数形结合计算运用数形结合计算数学广角数与形8算一算。算一算。?你能发现什么规律？你能发现什么规律？分子都是分子都是1 1得数得数1-1-最后一个加数最后一个加数试着计算，看看刚才试着计算，看看刚才的结论对不对。的结论对不对。?一个一个加下去，我发现，等一个一个加下去，我发现，等号右边的分数越来越接近于号右边的分数越来越接近于1 1。按顺序计算结果按顺序计算结果画图探索规律画图探索规律方法一方法一用一个圆用一个圆表示表示“1 1”画图探索规律画图探索规律方法一方法一12 14 18 161 321 641 =12
9、 14 18 161 321 641=12 14 18 161=12 14 18 161 321=返回返回2141161813218743161532316463128127从图上可以看出，这些分从图上可以看出，这些分数不断加下去，总和就是数不断加下去，总和就是1 1。12 14 18 161 321 641=1+1 12 2 1 14 43 34 41 12 21 14 43 34 43 34 4 1 18 87 78 87 78 81 18 87 78 8 16161 11616151516161 132321 11616151532321 116161515 32323131323231
10、3164646363128128127127绿色圃中小学教育网绿色圃中小学教育网http:/http:/绿色圃中小学教育网绿色圃中小学教育网http:/http:/绿色圃中小学教育网绿色圃中小学教育网http:/http:/方法二方法二 用一条线段表示用一条线段表示“1 1”1 12 2 1 14 4 1 18 8 16161 1 32321 1 64641 1 =1 1你能用所学知识解决下列问题吗？你能用所学知识解决下列问题吗？1 12 23 3 2 29 98 89 98 89 9 27272 22727262681812 227272626 818180802 23 32 227272
11、29 92 28181 所以原式的结果是所以原式的结果是1 1找规律填空找规律填空2 22 22 22 22 22 24 42 2()()8 82 216166464()()2 28 81616从上到下外围数字从上到下外围数字都是都是2 2，内部数字都，内部数字都是它的左上角与右是它的左上角与右上角两个数字的积。上角两个数字的积。8 82=162=162 24=84=81 12 2-1 14 4-1 18 8-16161 1-32321 1-64641 1=1 12 2-1 14 4-1 18 8-16161 1-32321 1-64641 1-=0 01-1-64641 11-1-计算计算用
12、小棒按下面的方法摆图形用小棒按下面的方法摆图形三角形个数：三角形个数：小棒根数：小棒根数：()()()()()()()()1 12 23 34 43 35 57 79 9用小棒按下面的方法摆图形用小棒按下面的方法摆图形（1 1）拼成的三角形的个数与所用的小棒根数之间有什么关系？）拼成的三角形的个数与所用的小棒根数之间有什么关系？所用小棒根数等于三角形个数的所用小棒根数等于三角形个数的2 2倍加倍加1 1三角形个数：三角形个数：小棒根数：小棒根数：()()()()()()()()1 12 23 34 43 35 57 79 9用小棒按下面的方法摆图形用小棒按下面的方法摆图形（2 2）第）第101
13、0个图形用了多少根小棒？个图形用了多少根小棒？10102 21=211=21（根）（根）答：第答：第1010个图形用了个图形用了2121根小棒。根小棒。所用小棒根数等于三角形个数的所用小棒根数等于三角形个数的2 2倍加倍加1 1请将一根绳子沿中间对折，再沿对折的绳子中间再对请将一根绳子沿中间对折，再沿对折的绳子中间再对折，这样连续对折折，这样连续对折5 5次，最后用剪刀沿对折次，最后用剪刀沿对折5 5次后的绳次后的绳子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成多少段？子的中间将绳子剪断，此时绳子将被剪成多少段？答：对折答：对折1 1次，将绳子中间剪断，绳子被剪成次，将绳子中间剪断，绳子被剪成3 3段；
14、段；对折对折2 2次，沿绳子中间剪断，绳子被剪成次，沿绳子中间剪断，绳子被剪成5 5段段依次类推，对折依次类推，对折5 5次后，沿绳子中间剪断，绳子次后，沿绳子中间剪断，绳子被剪成了被剪成了3333段。段。这节课你们都学会了哪些知识？这节课你们都学会了哪些知识？数与形有着紧密的联系，在一定条件下可以数与形有着紧密的联系，在一定条件下可以相相互转化互转化。当用数形结合的方法解决问题时，使。当用数形结合的方法解决问题时，使许多问题的解决变得很简单。许多问题的解决变得很简单。练习二十二练习二十二数学广角-数与形8数形结合思想数形结合思想是学习数学的一种重要是学习数学的一种重要思想，运用数形结合的方法
15、，探究数思想，运用数形结合的方法，探究数学规律，可以使数学问题解决起来更学规律，可以使数学问题解决起来更简单。简单。数与形跟踪训练跟踪训练照这样画下去，第照这样画下去，第50 50 个图形有（个图形有（）个这样的小黑点。）个这样的小黑点。25002500第几个图形，小黑点的个数就是几的平方第几个图形，小黑点的个数就是几的平方，即第即第5050个图形，就有个图形，就有25002500个小黑点。个小黑点。跟踪训练跟踪训练看下列图形，把算式补充完整，再计算出后面算式的结果。看下列图形，把算式补充完整，再计算出后面算式的结果。得数得数1-1-最后一个加数最后一个加数请你根据上面图形与数的规律接着画一画
16、，填一填。请你根据上面图形与数的规律接着画一画，填一填。151521212828如果不画，这样排列下去，第如果不画，这样排列下去，第1010个数是多少？个数是多少？1 12 23 34410101010（10101 1）2 2101011112 21101102 255551 13 36 61010下面每个三角形都是由多少个小三角形组成的？如果小三角下面每个三角形都是由多少个小三角形组成的？如果小三角形的边长是形的边长是1 1，每个三角形图的周长分别是多少？，每个三，每个三角形图的周长分别是多少？，每个三角形包含小三角形的个数与这个三角形图的周长之间有什么角形包含小三角形的个数与这个三角形图的
17、周长之间有什么样样的关系？的关系？1 14 49 916163 36 69 91212小三角形的个数（周长小三角形的个数（周长3 3）三角形个数三角形个数周长周长一条马路长一条马路长200200米，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的米，小亮和他的小狗分别以均匀的速度同时从马路的起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已到达马路的终起点出发。当小亮走到这条马路一半的时候，小狗已到达马路的终点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑回终点，到点。然后小狗返回与小亮相向而行，遇到小亮以后再跑回终点，到达终点以后再与小亮相向而行达终点以后再与小亮相向而行直到小亮到达终点。小狗从出发直
18、到小亮到达终点。小狗从出发开始，一共跑了多少米？开始，一共跑了多少米？由题意可知，小狗的速度等于小亮速度的由题意可知，小狗的速度等于小亮速度的2 2倍。倍。小狗的时间等于小亮走路的时间。小狗的时间等于小亮走路的时间。所以小狗跑的路程等于小亮走的路程的所以小狗跑的路程等于小亮走的路程的2 2倍。倍。答：小狗一共跑了答：小狗一共跑了400400米。米。起点起点终点终点2002002 2400400（米）（米）小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800m800m远的公园健身中心，用时远的公园健身中心，用时2020分钟。分钟。妈妈到了健身中心直接返回家里，还是用了妈妈到了健身中
19、心直接返回家里，还是用了2020分钟。小兰和爸爸一起在分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了健身中心锻炼了1010分钟。然后，小兰跑步回到家中，用了分钟。然后，小兰跑步回到家中，用了5 5分钟，而爸爸分钟，而爸爸是走回家中，用了是走回家中，用了1515分钟。下面几个图哪个是描述妈妈离家时间和离家分钟。下面几个图哪个是描述妈妈离家时间和离家距离的关系？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？距离的关系？哪个是描述爸爸的？哪个是描述小兰的？小兰小兰妈妈妈妈爸爸爸爸（1 1）求渔政船从港口出发赶往黄岩岛的速度。）求渔政船从港口出发赶往黄岩岛的速度。答：渔政船从港口出发赶往黄岩岛答：渔政船从港口出发赶往黄岩
20、岛的速度是的速度是4545海里海里/时。时。黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富。一天，某渔黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富。一天，某渔船离开港口前往这个海域捕鱼。捕捞一段时间后，发现一外船离开港口前往这个海域捕鱼。捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从此港口出发赶往黄并立即返航，渔政船接到报告后，立即从此港口出发赶往黄岩岛。渔政船及渔船与港口的距离岩岛。渔政船及渔船与港口的距离s s和渔船离开港口的时间和渔船离开港口的时间t t之间的关系如图所示。（假设渔
21、船与渔政船沿同一航线航行）之间的关系如图所示。（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富。一天，某渔黄岩岛是我国南沙群岛的一个小岛，渔产丰富。一天，某渔船离开港口前往这个海域捕鱼。捕捞一段时间后，发现一外船离开港口前往这个海域捕鱼。捕捞一段时间后，发现一外国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，国舰艇进入我国水域向黄岩岛驶来，渔船向渔政部门报告，并立即返航，渔政船接到报告后，立即从此港口出发赶往黄并立即返航，渔政船接到报告后，立即从此港口出发赶往黄岩岛。渔政船及渔船与港口的距离岩岛。渔政船及渔船与港口的距离s s和渔船离开港口的时间和渔船离开港口的时
22、间t t之间的关系如图所示。（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）之间的关系如图所示。（假设渔船与渔政船沿同一航线航行）（2 2）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离。）求渔船和渔政船相遇时，两船与黄岩岛的距离。渔船的速度：渔船的速度：150150（13-813-8）=30=30（海里（海里/时）时）相遇时间：相遇时间：150150（45+3045+30）=2=2（小时）（小时）两船与黄岩岛的距离：两船与黄岩岛的距离：30302=602=60（海里）（海里）答：相遇时，两船与黄岩岛的距离是答：相遇时，两船与黄岩岛的距离是6060海里。海里。答：小刚一共下了答：小刚一共下了2 2盘，分别和盘，分
23、别和小林、小强。小林、小强。小刚小刚小林小林小强小强小芳小芳小兵小兵2 24 43 31 12 2小林、小强、小芳、小兵和小刚小林、小强、小芳、小兵和小刚5 5 人进行象棋人进行象棋 比赛，每比赛，每2 2 人之间都要下一盘。小林已经下了人之间都要下一盘。小林已经下了4 4盘，小强下了盘，小强下了3 3盘，小盘，小芳下了芳下了2 2 盘，小兵下了盘，小兵下了1 1 盘。请问：小刚一共下了几盘？盘。请问：小刚一共下了几盘？分别和谁下的？分别和谁下的？用 连 线 的用 连 线 的方法试试方法试试我国宋代数学家杨辉在公元我国宋代数学家杨辉在公元12611261年撰写了年撰写了详解九章算法详解九章算法
24、，他，他在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为在这本著作中画了一个由数构成的三角形图，我们把它称为“杨杨辉三角辉三角”。你能发现右面。你能发现右面“杨辉三角杨辉三角”图中各数之间的关系吗？图中各数之间的关系吗？你能按照发现的规律把这个三角形表继续写下去吗？试试看。你能按照发现的规律把这个三角形表继续写下去吗？试试看。1 16 61515202015156 61 1都是都是1 1。具有具有对称性对称性（对称美），（对称美），与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个数相等。的两个数相等。+你能利用下面的图发现（你能利用下面的图发现（a ab b）a a 2ab 2ab b b这一公式这一公式吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。吗？利用你所学的面积计算的知识，探索一下。大正方形的面积：大正方形的面积：（a ab b）（a ab b）a aababababb ba a2ab2abb baabba a ab ab ab ab b b 数形思想解决问题的方法：数形思想解决问题的方法：把图形性质问题把图形性质问题转化转化为数量关系问题或把数量关系为数量关系问题或把数量关系问题转化为图形性质问题，可使复杂问题问题转化为图形性质问题，可使复杂问题简单化简单化，抽象问题具体化。抽象问题具体化。这节课你们都学会了哪些知识？
