1、平行线的定义、性质和判定平行线的定义、性质和判定(1)定义定义 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线(2)性质性质a.若两直线平行,则同位角相等、内错角相等、同旁内角 互补b.平行线间的距离相等,夹在两平行线间的平行线段相等c.平行公理:过直线外有且只有一条直线和这条直线平行(3)判定判定a.若同位角相等或内错角相等或同旁内角互补,则两直线平行b.若ac,bc,则abc.在同一平面内,若ac,bc,则aba ab bc ca ab bc c 初学者容易混淆平行线的初学者容易混淆平行线的判定定理判定定理和和性质定理性质定理两个方面加深理解：一是从意义上看是从意义上看平行的判定是“判定”平行就是
2、说，在已知两角相等或互补或其它的题设下，得到两直线平行的结果；平行线的性质是“平行”以后才有的“性质”就是说，在已知两直线平行的题设下，得出的平行线的某些性质二是从作用上看是从作用上看平行线的判定是证明两直线平行的依据平行的性质是作为证明两角相等或互补的依据表达时要特别注意因果关系例例1 如图，已知如图，已知ADBC，BAD=BCD，求证：，求证：ABCD错证错证 因为ADBC(已知)，所以3=4(内错角相等，两直线平行)又BAD=BCD(已知)，所以1=2(等量减等量，差相等)，所以ABCD(两直线平行，内错角相等)诊断诊断 如果不考虑后面括号内所注明的理由，那么上述全部推导过程是合理的但是
3、从论证整个过程来看，这是错误的原因在于对平行线的判定定理和性质定理混淆不清，因而造成逻辑推理上的错误事实上，由两直线平行推出两角相等，是根据平行线的性质定理；由两角相等推出两直线平行，则是根据平行线的判定定理例例27 如图如图219，已知，已知OE，OF 是两条射线，是两条射线，AC 经过点经过点O，且，且ABOE 于点B，CDOF 于点D，AOB=COD，求证：ABCD错证错证 因为因为ABOE，CDOF(已知已知)，所以ABCD(如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行)诊断诊断 这里的问题在于：一是一是“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”在义务教材中没有作为定
4、理，就不能作为证题的论据；二是二是没有证明E，O，F 在一条直线上，就默认它们在一条直线上这就犯了虚假论据的错误正确证法正确证法 因为因为AOB=DOC(已知已知)，AODDOC=180(平角定义)，所以AODAOB=180又E，F 分别在边OB，OD 上，所以E，O，F 三点在同一直线上又因为ABOE，CDOF(已知)，所以ABO=CDO=90所以ABCD(内错角相等，两直线平行)例例1.1.如图是某市部分街道图，比例尺是如图是某市部分街道图，比例尺是1:100001:10000，请你估计三，请你估计三条道路围成的三角形地块条道路围成的三角形地块ABCABC的实际周长和面积的实际周长和面积.
5、解：地图上的比例尺为解：地图上的比例尺为1 1：1000010000，就是地图上的，就是地图上的ABC与实际三角形地与实际三角形地块的相似比为块的相似比为1：10000，量得地图上，量得地图上AB=3.4cm,BC=3.8cm,AC=2.5cm。三角形地块的实际周长为三角形地块的实际周长为9.7104cm，即，即970m。三角形地块的实际面积为三角形地块的实际面积为4.18108cm2,即即41800m2答：估计三角形地块的实际周长为答：估计三角形地块的实际周长为970米，实际面积为米，实际面积为41800平方米。平方米。210000118.4三角形地块的实际面积A ABCD1000017.9
6、三角形地块的实际周长213.82.2=4.18cm2地图上地图上ABCABC的面积为的面积为则地图上则地图上ABCABC的周长为的周长为3.4+3.8+2.5=9.7(cm)3.4+3.8+2.5=9.7(cm)量得量得BCBC这上的高为这上的高为2.2cm2.2cm判断四条线段是否成比例的方法有两种：判断四条线段是否成比例的方法有两种：(1)(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等。和后两条线段的比是否相等。若第若第1 1，4 4两个数的积等于第两个数的积等于第2 2，3 3两个数的积，则四条两个数的积，则四条线段成比
7、例，否则不成比例。线段成比例，否则不成比例。(2)(2)查看是否有查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的两条线段的积等于其余两条线段的积积 。四条线的单位要一致四条线的单位要一致例例2 如图，在直角三角形中，是斜边如图，在直角三角形中，是斜边上的高线，请找出一组比例线段，并说明理由上的高线，请找出一组比例线段，并说明理由.分析：分析：(1)(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法成比例，只要采取什么方法?(看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积)比例基本性质比例基本性质.,ddcb
8、badcba那么如果比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰比例的灵活变形可助你达到希望的颠峰:横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘横竖、上下都可比，惟有交叉只能乘.,nmfedcba如果 等比性质等比性质:.bcaddcba那么如果.,dcbabcad那么如果.0nfdbbanfdbmeca那么 合比性质合比性质:(b=0,d=0)线段 a、d 叫做比例外项，线段 b、c 叫做比例内项，线段 d 叫做 a、b、c的第四比例项.学习学习“转化转化”的思想方法的思想方法通过比例式通过比例式的变形的变形中间比中间比例例.已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,DEBC,EFAB.DEBC,EFAB.试问试
9、问:成立吗成立吗?为什么为什么?FCBFDBADA AB BC CD DE EF FA AB BC CE EF FA AB BC CD DE EECAEDBADFCBFECAEFCBFDBAD等比代换等比代换例例.已知已知:如图如图,在在ABCABC中中,DEBC,EFAB.DEBC,EFAB.试问试问:成立吗成立吗?DEBCAEACADABA AB BC CD DE EF FA AB BC CE EF FA AB BC CD DE EAEACADABBFBCAEACDEBCAEACADAB等线代换等线代换三条平行线截两条直线三条平行线截两条直线,所得的所得的对应线段对应线段成比例成比例.平行
10、线等分线段定理两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等与比例有关定理与比例有关定理E ED DC CB BA AE ED DC CB BA AEADBCX 字母字母 型型ADEBCA字母字母 型型如果一条直线截三角形的两边如果一条直线截三角形的两边,截得截得的对应线段成比例，那么这条直线的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边平行于三角形的第三边.A AE ED DC CB B1.1.三角形一边的平行线的判定定理三角形一边的平行线的判定定理ADAEDBECDEBCADAEABACDBECABACDEBCDEBC如果一条直线截三角形的
11、两边的延如果一条直线截三角形的两边的延长线长线(这两边的延长线在第三边这两边的延长线在第三边 的的同侧同侧),),所得的对应线段成比例，那所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边么这条直线平行于三角形的第三边.2.2.三角形一边的平行线的判定定理的推论三角形一边的平行线的判定定理的推论ADAEABCDEBCADAEDBECABACDBECDEBCDEBC2023-1-8小结二、要熟悉该定理的几种基本图形二、要熟悉该定理的几种基本图形2023-1-8 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的线段对应成比例.推论平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段
12、相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。AB.E.F.GCDP推论1推论2平行线等分线段定理平行线等分线段定理的应用的应用把线段n等分证明同一直线上的线段相等ab平行线等分线段定理平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等。L1L2L3ABCDEFDE=EF,AB=BC因为：因为：平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何联系？ABCDEFABCDEF!注意注意:应用平行线分线段成比例定理得到的比例式应用平行线分线段成比例定理得到的比例式中中,四条线段与两直线的交点位置无关四条线段与两直线的交点位置无关!平行线分线段成比
13、例定理平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条三条平行线截两条 直线直线,所得的对应线段成比例所得的对应线段成比例.平移平移BACABFECDM(D)EF平移平移ABC平移平移ABCEDNFDF(E)2023-1-8作平行线是构造比例线段的主要手段，在比例式变形过程中要注意灵活运用合比、等比的性质对于中点，常过中点作平行线以等分线段或利用中位线定理1.形状相同的图形表象：大小不等，形状相同.实质：各对应角相等、各对应边成比例.l三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形,叫做相似三角形.lABC与DEF相似,就记作:ABCDEF.l 注意:要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上！l性质：相
14、似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.l如果 ABC DEF,那么A=D,B=E,C=F.小结 拓展EFBCDFACDEAB.两个三角形相似，一定有角相等两个三角形相似，一定有角相等。当特殊位置时才有平行，而一旦有了平行就一定有相似三角形对应边以外的成比例的线段。.对应边成比例提供了等量关系，我们可以借助方程的思对应边成比例提供了等量关系，我们可以借助方程的思想来解决问题。想来解决问题。.1.相似图形三角形的判定方法：相似图形三角形的判定方法：通过定义通过定义 平行于三角形一边的直线（预备定理）平行于三角形一边的直线（预备定理）三边对应成比例三边对应成比例 两边对应成比例且夹角相等两边对
15、应成比例且夹角相等 两角对应相等两角对应相等 两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例（三边对应成比例，三角相等）（三边对应成比例，三角相等）（SSS）（AA）（SAS）（HL）相似三角形相似三角形 对应对应角角相等。相等。对应对应边边成比例。成比例。对应对应高高的比等于相似比。的比等于相似比。对应对应中线中线的比等于相似比。的比等于相似比。对应对应角平分线角平分线的比等于相似比。的比等于相似比。相似三角形的性质：相似三角形的性质：周长周长比等于相似比。比等于相似比。面积面积比等于相似比的比等于相似比的平方平方。ABCDE相似具有传递性相似具有传递性AD
16、EABCMN 如果再作如果再作 MNDE，共有多少对相似三角形？，共有多少对相似三角形？AMNADEAMNABC共有三对相似三角形。共有三对相似三角形。相似三角形的相似三角形的8类基本模型类基本模型相似三角形的相似三角形的8类基本模型类基本模型常用的成比例的线段：常用的成比例的线段：常用的相等的角：常用的相等的角：A=DCB；B=ACDBDAC模型模型“双垂直双垂直”三角形三角形l直角三角形斜边上的高直角三角形斜边上的高 分直角三角形所成的两个分直角三角形所成的两个 直角三角形与原三角形相似直角三角形与原三角形相似.lACDACDCBDCBDABC.ABC.直角三角形中的射影定理直角三角形中的
17、射影定理公边共角 已知：如图，ABC中，D是AC上一点，ABD=C。求证：（1）ABDACB（2）AB=ADAC ACBD由公边共角的两个相似三角形中，公边是两个三角形中落在一条直线上的两边的比例中项，即若ABDACB，则AB=ADAC。判定两个三角形相似的基本思路判定两个三角形相似的基本思路 已知条件中有平行线截线时，先考虑用预备定理 已知两个三角形中有一个角对应相等时证明另一个角对应相等证明夹这一对角的两组边对应成比例 已知两个三角形中有两边对应成比例时证明这两边的夹角对应相等证明第三对边与其余两边中的一对边对应成比例证明有一对角是直角 证明两个直角三角形相似的方法有两个证明有一个锐角相等
18、证明有两条边对应成比例条件中若有等腰关系，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例。证明比例式或等积的常用方法证明比例式或等积的常用方法先看这些线段确定哪两个可能是相似三角形 再找这两个三角形相似所需条件 如果这两个三角形不相似，则采用其它办法（如找中间比代换中间比代换等）注意：当无法用三角形相似来证明线段成比例时，可试着用注意：当无法用三角形相似来证明线段成比例时，可试着用引引平行线平行线的方法，实质是构造的方法，实质是构造“A”型或型或“X”型基本图形。型基本图形。一般是选过已知点（或求证）中比在同一直线的点作为一般是选过已知点（或求证）中比在同一直线的点作为引平引平行线行线的
19、出发点。的出发点。还可以直接运用射影定理学习学习“转化转化”的思想方法的思想方法通过比例式的通过比例式的变形变形中间比中间比基本图形：“A”字形基本图形：“x”字形已知角相等；已知角相等；已知角度计算得出相等的对应角；已知角度计算得出相等的对应角；公共角；公共角；对顶角；对顶角；同（等）角的余（补）角相等；同（等）角的余（补）角相等；两直线平行，同位角（内错角）相等；两直线平行，同位角（内错角）相等；1、通过证明三角形全等，从而证明角相等。、通过证明三角形全等，从而证明角相等。2、直角三角形余角、直角三角形余角。3、分别通过求证对应角的、分别通过求证对应角的tan相等相等相似三角形证明中相似三
20、角形证明中常用找对应角的常用找对应角的方法方法OABCDEF例例1。如图：如图：ABDE，BCEF 求证：求证：ABCDEFABCDEFABDEBCEFDEABOEOBODOAEFBCOEOBOFOC（条件）（条件）（结论）（结论）引申：引申：证明一个结论，可以从条件出发，围绕条件找条件，直证明一个结论，可以从条件出发，围绕条件找条件，直到找到所需的条件。也可以从结论开始分析，证此结论需要什么到找到所需的条件。也可以从结论开始分析，证此结论需要什么条件，从题中证出所需条件，从而找到解题思路。条件，从题中证出所需条件，从而找到解题思路。DFACEFBCDEABABCEFD练习练习1：如图：如图:
21、ACB=90,CDAB于于D,以以AC、BC为边向外作等为边向外作等边三角形边三角形ACE和和BCF，求证：，求证：ADECDF，DEDF分析分析:DEDFCDAB需证需证ADE=CDF需证需证ADECDFRtABC,ACB=90CDABRtACDRtCBDCDADBCAC等边等边ACE和和BCFAC=AEBC=CFCDADCFAE需证需证DAE=DCF已知已知结论结论2结论结论1小结：小结：本节课我们学习了三角形相似的判定定理的综合运用。本节课我们学习了三角形相似的判定定理的综合运用。证明有关问题可以从两个方面（即条件和结论）寻找证明有关问题可以从两个方面（即条件和结论）寻找解题途径。解题途
22、径。条条件件结论结论1在结合条件在结合条件结论结论2要求证要求证的结论的结论已有条件已有条件还需的条件还需的条件解题时，如果我们能将上述两种途径有机结合，双管齐下解题时，如果我们能将上述两种途径有机结合，双管齐下，“围绕条件找条件围绕条件找条件”，“围绕结论找条件围绕结论找条件”，必可很快找到解题的思路，收到事半功倍的效果。必可很快找到解题的思路，收到事半功倍的效果。2.ADBC于点于点D，CEAB于点于点 E，且，且交交AD于于F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF1.相似三角形的应用主要有两个方面：相似三角形的应用主要有两个方面：（1）测高测高 测量不能
23、到达两点间的距离测量不能到达两点间的距离,常构造相似三常构造相似三角形求解。角形求解。（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）（不能直接测量的两点间的距离）（不能直接测量的两点间的距离）测量不能到达顶部的物体的高度，通常用测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。的原理解决。（2）测距测距 相似三角形应用举例相似三角形应用举例讲解新课校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？校园里有一棵大铁树，要测量树的高度，你有什么方法？把一小镜子放在离树（AB）8米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在
24、镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.8m，观察者目高CD=1.6m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？ABEDC 把长为2.40m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80m，标杆的影长为1.47m。这时树高多少？你能解决这个问题吗？ABCD 现在有一棵很高的古树，欲测出现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？接测量，你有什么好的方法吗？例例4ABCABC 比如，量得树比如，量得树AB的影长的影长BC=20m，木杆，木杆长长AB=1.5m，影长，影长BC=2.5m,求求:树树AB的高的高.解解:在相同时
25、刻的物高与影长成比例在相同时刻的物高与影长成比例ABBC=ABBC 即 AB20=1.52.5 AB=3520=12(m)答答:树树AB的高为的高为12米米.相似的应用：相似的应用：在一次数学活动课上，为了测量河宽在一次数学活动课上，为了测量河宽AB，张杰采用了，张杰采用了如下的方法（如图）从如下的方法（如图）从A处沿与处沿与AB垂直的直线方向走垂直的直线方向走40米到达米到达C处，插一根标竿，然后沿同方向继续走处，插一根标竿，然后沿同方向继续走15米到达米到达D处，再向右转处，再向右转90度走到度走到E处，使处，使B、C、E三点三点恰好在一条直线上，量得恰好在一条直线上，量得DE20米，这样
26、就可以求出米，这样就可以求出河宽河宽AB，请你算出结果（要求写出解题过程）。，请你算出结果（要求写出解题过程）。ABDCEABDEO方法二方法二方法三方法三方法一方法一CDFBACDE解解:如图，已知如图，已知DE/BC,AB=30m,BD=18m,DE/BC,AB=30m,BD=18m,ABCABC的周长为的周长为80m80m，面积为，面积为100m100m2 2,求求ADEADE的周长和面积的周长和面积30m18mADE1.过过E作作EF/AB交交BC于于F,其他条件不变，则其他条件不变，则EFC的面积等于多少？的面积等于多少？BDEF面积为多少？面积为多少？2.若设若设sABC=S,SADE=S1,SEFC=S2.请猜想：请猜想：S与与S1、S2之间存在怎样的关系？之间存在怎样的关系？你能加以验证吗？你能加以验证吗？S =S =S1+S2BCF48m236m2证明：证明：DE/BCADEABCABCS1S=(A CA E)2EF/ABEFCABCABCS2S=A CC E()2SSSS1 1=A CA ESSSS2 2A CC E=SSSSSS2 2SS1 1+=1SS1 1SS2 2+SS=163630m18m
