1、 第 - 1 - 页 共 23 页 - 1 - 理科数学试题 注意事项： 1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。 2.考试时间为 120 分钟，满分 150 分。 3.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置。 4.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题：本题共 12 小题，每题 5 分，共计 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项正确。 1.i 为虚数单位，复数 1 i z i 的共轭复数z在复平面内对应的点到点( 1 2 ， 1 2 )的距离为 A. 1 2 B.1 C. 2 2
2、 D.2 2.已知函数 f(x)log2(x22x)的定义域为 A，Bx|2x2，则 AB A.R B.x|x2 C.x|x2 D.x|2x2 3.已知角 的终边经过点(4，3)，则 cos(2) A. 7 25 B. 7 25 C. 3 5 D. 4 5 4.随着经济的发展，城市空气质量也越来越引起了人民的关注，下图是我国某大城市 2018 年 1 月至 8 月份的空气质量检测结果，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最 好，一级和二级都是空气质量合格，下面说法错误的是： A.6 月的空气质量最差 B.8 月是空气质量最好的一个月 C.第二季度与第一季度相比，空气质量合格天数的比
3、重下降了 第 - 2 - 页 共 23 页 - 2 - D.1 月至 8 月空气质量合格天数超过 20 天的月份有 5 个 5.2022 年北京冬季奥运会将在北京和张家口举行，现预备安排甲、乙、丙、丁四人参加 3 个 志愿服务项目，每人只参加一个志愿服项目，每个项目都有人参加，则不同的安排方案有 A.24 B.36 C.48 D.72 6.右图是某几何体的三视图，则它的表面积可能的值为 A.1729 B.172211 C.1728 D.2172211 7.七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，顾名思义，是由七块板组成的。而这七块板可拼成 许多图形。如右图中的正方形七巧板就是由五块等腰直角三角形、
4、一块正方形和一块平行四 边形组成的。若向正方形内随机的拋 10000 颗小米粒(大小忽略不计)，则落在阴影部分的小米 粒大约为 A.3750 B.2500 C.1875 D.1250 8.已知数列an满足 a1 3 2 ， 1 3 3 n n n a a a ，则 a2019 A. 3 2020 B. 2020 3 C. 2019 3 D. 2021 3 9.已知直三棱柱 ABCA1B1C1的 6 个顶点都在球 O 的球面上，若 AB3，AC3，BAC 120 ，AA18，则球 O 的表面积为 A.25 B. 625 3 C.100 D. 2500 3 10.设 F 为抛物线 C：x23y 的
5、焦点，过 F 且倾斜角为 60 的直线交于 C 于 A，B 两点，O 为 第 - 3 - 页 共 23 页 - 3 - 坐标原点，则OAB 的面积为 A. 9 4 B. 3 3 4 C. 9 3 8 D. 63 32 11.已知 f(x)(exa)(eax1)，若 f(x)0(xR)恒成立，则满足条件的 a 的个数有 A.1 B.2 C.3 D.4 12.已知双曲线 E： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线与 E 交 于 A，B 两点(B 在 x 轴的上方)，且满足 11 1 7 AFFB。若直线的倾斜角为 120 ，则双曲线的 离心率为
6、 A.2 B. 7 2 C. 5 2 D. 3 2 第 II 卷(非选择题 90 分) 二、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共计 20 分。请把正确答案填写在答题纸相应的位置 上。 13.已知 1 e， 2 e是相互垂直的两个单位向量，且 12 32aee， 12 bee，若(ab)a， 则 。 14. 5 23 x x 的展开式中 x2的系数是 。(数字作答) 15.实数满足|x3|y2|1，z y x ，则 z 的最小值为 。 16.定义 R 在上的函数 f(x)满足 f(x1)f(x1)，并且图像关于 x1 对称；当 x(0，1时， f(x)9x3。若数列an满足 anf(log
7、2(64n)(nN )；若 n50 时，当 S na1a2an 取的最大值时，n 。 三、解答题：本题共 6 小题，共计 70 分。 17.(本小题满分 12 分) 在ABC 中，点 D 是边 BC 上的一点且满足 BDsinBCDsinC，DC2BD22。 (1)求 AB AC 的值； (2)若 AD2，求ABC 的面积。 18.(本小题满分 12 分) 第 - 4 - 页 共 23 页 - 4 - 在 2019 年 3 月份的一次高三数学模拟考试共有 12 道选择题，每道选择题都有 4 个选项， 其中有且只有一个是正确的。评分标准规定：“每题只选一个选项，答对得 5 分，不答或答错 得零分
8、”。考生小明已确定有 8 道题的答案是正确的，其余题中：有两道题都可判断两个选项 是错误的，有一道题可以判断一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只好乱猜，请求 出小明： (1)得 60 分的概率； (2)所得分数 X 的分布列和均值。 19.(本小题满分 12 分) 如图，半球内有一内接正四棱锥 SABCD，该四棱锥的体积为 4 2 3 。 (1)求半球的半径； (2)求平面 SAD 与平面 SBC 所成的二面角的余弦值。 20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，O 是坐标原点，点 A，B 分别为椭圆 C 的左右顶点，|
9、AB|42。 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若 P 是椭圆 C 上异于 A，B 的一点，直线 l 交椭圆 C 于 M，N 两点，AP/OM，BP/ON， 则OMN 的面积是否为定值?若是，求出定值，若不是，请说明理由。 21.已知函数 f(x)aln(1x)(a0)，g(x)x21。 (1)求 f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)若 h(x)f(x)g(x)有两个极值点 x1，x2(x1x2f(x2)。 请考生在第 22、23 二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。解答时请 写清题号。 22.选修 44：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 第 - 5 -
10、 页 共 23 页 - 5 - 在直角坐标系 xOy 中，曲线 l 的参数方程为 1cos sin xt yt (t 为参数，0)。以坐标原 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立及坐标系，曲线 C：sin24cos。 (1)求 l 和 C 的直角坐标方程； (2)若 l 与 C 相交于 A，B 两点，且|AB|16 3 ，求 的值。 23.选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分) 设函数 f(x)|2x2|2x|的最大值 m。 (1)求 m 的值； (2)若正实数 a，b 满足 abm，求 22 11 ab ba 的最小值。 第 - 6 - 页 共 23 页 - 6 - 第 - 7 - 页
11、共 23 页 - 7 - 第 - 8 - 页 共 23 页 - 8 - 第 - 9 - 页 共 23 页 - 9 - 第 - 10 - 页 共 23 页 - 10 - 第 - 11 - 页 共 23 页 - 11 - 第 - 12 - 页 共 23 页 - 12 - 第 - 13 - 页 共 23 页 - 13 - 第 - 14 - 页 共 23 页 - 14 - 第 - 15 - 页 共 23 页 - 15 - 第 - 16 - 页 共 23 页 - 16 - 第 - 17 - 页 共 23 页 - 17 - 第 - 18 - 页 共 23 页 - 18 - 第 - 19 - 页 共 23 页 - 19 - 第 - 20 - 页 共 23 页 - 20 - 第 - 21 - 页 共 23 页 - 21 - 第 - 22 - 页 共 23 页 - 22 - 第 - 23 - 页 共 23 页 - 23 -
