1、江西省五市八校江西省五市八校 2020 届高三第二次联考届高三第二次联考 文科数学试卷文科数学试卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 记全集1,2,3,4,5,6,7,8U ， 集合1,2,3,5,2,4,6AB， 则图中阴影部分所表示的集合是 （ ） A4,6,7,8 B2 C7,8 D1,2,3,4,5,6 2设i是虚数单位，若复数z满足49z ii ，则其共轭复数z （ ） A94i B94i C94i D94i 3点( 3,4)在直线:10l axy 上，则直线l的倾斜角为（ ） A30 B45 C60 D120 4
2、为了更好地支持“中小型企业”的发展，某市决定对部分企业的税收进行适当的减免，某机构调查了当 地的中小型企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，下面三个结论： 样本数据落在区间300,500)的频率为 0.45； 如果规定年收入在 500 万元以内的企业才能享受减免税政策，估计有 55%的当地中小型企业能享受到减 免税政策； 样本的中位数为 480 万元 其中正确结论的个数为（ ） A0 B1 C2 D3 5若 n a为等差数列， n S是其前n项和，且 11 22 3 s 则 6 tan a的值为（ ） A3 B3 C 3 3 D 3 3 6定义运算： 12 142 3 3
3、4 aa a aa a aa ，将函数 3cos 2 ( ) 1sin 2 x f x x 的图像向右平移(0)m m 个单位，所得 图像对应的函数为偶函数，则m的最小值是（ ） A 3 B 2 3 C 4 3 D 7 3 7已知 (10 770 0,0 xy xy xy ，表示的平面区域为D，若“( , ),2x yxya R”为假命题，则实数a的 取值范围是（ ） A5,) B2,) C1,) D0,) 8若直线 5 2 yx与曲线ln(21)ymxx相切于点(0,0)O，则m（ ） A0 B 5 2 C 7 2 D 9 2 92019 年 4 月，习近平总书记专程前往重庆石柱考察了“精准
4、脱贫”工作，为了进一步解决“两不愁，三 保障”的突出问题，当地安排包括甲、乙在内的 4 名专家对石柱具的A、B、C、D，4 乡镇进行调研， 要求每个乡镇安排一名专家，则甲安排在A乡镇，乙不在B乡镇的概率为（ ） A 1 8 B 1 12 C 1 4 D 1 6 10已知球O表面上的四点A，B，C满足2ACBC，2AB ，若四面体PABC体积的最大值为 2 3 ，则球O的表面积为（ ） A 25 4 B 25 9 C 25 16 D8 11已知点 1 F， 2 F分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左，右焦点，过原点O且倾斜角为 60的直线 l与椭圆C的一个交点为M，且 1
5、212 | |MFMFMFMF，则椭圆C的离心率为（ ） A31 B23 C 1 2 D 2 2 12已知函数 2 1 ,0 ( )1 21,0 x x f xx xxx ，函数 1 ( )(1) 2 f xfxkxk恰有三个不同的零点，则k的 取值范围是（ ） A 9 ( 22,0 2 B 9 ( 22,0 2 C 1 ( 22,0 2 D 1 ( 22,0 2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上 13生活中，我们还常用“水滴石穿” 、 “有志者，事竟成” 、 “坚持就是胜利”等
6、熟语来勉励自己和他人保 持信心、 坚持不懈地努力 在这些熟语里，“石穿” 、“事成” 、“胜利” 分别 “水滴” 、“有志” 、“坚持” 的_ 条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步， （填“充分不必要、 必要不充分、充要或者既不充分也不必要” 14已知圆C的圆心坐标为(1,0)，且y轴被C截得的弦长为4 2，则圆C的方程为_ 15如图，一栋建筑物AB的高为(3010 3)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD，在它们之间 的地面点M（,B M D三点共线）处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别是 15和 60，在楼顶A处测得塔 顶C的仰角为 30，则通信塔CD的
7、高为_ 16如图所示，在直角梯形ABCD中，ABCD，90DAB，4ADAB，1CD，动点P在 边BC上，且满足APmABnAD（,m n均为正实数 ，则 11 mn 的最小值为_ 三、解答题：本题共三、解答题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 12 分分 17 某公司为了增加某产品的销售利润， 调查了该产品年宣传费用投入x（万元） 与该产品年销售利润y（万 元）的近 5 年具体数据，如下表： 年宣传费用投入x（万元） 1 3 5 7 9 年销售利润y（万元） 2 4 8 11 15 （1）求线性回归方程 ybxa； （2）如果该产品明年宣传费用投入 11 万元，顸测该产品明年销售利润为多
8、少？ 参考公式：回归直线方程 ybxa中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 11 2 22 11 , nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy baybx xxxnx ，x、y为样本平均 18, ,a b c分别为ABC的内角, ,A B C的对边，已知(sin4sin)8sinaABA （1）若1, 6 bA ，求sinB； （2）已知 3 C ，当ABC的面积取得最大值时，求ABC的周长 19 在三棱柱 111 ABCABC中，侧面 11 AACC 底面ABC， 11 2AAACACABBC，且点O为 AC中点 （1）证明： 1 AO 平而ABC； （2）求三棱锥 1
9、 CABC的体积 20已知抛物线 2 :2C ypx过点(1,1)A （1）求抛物线C的方程； （2）过点(3, 1)P的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点（均与点A不重合） ，设直线AM，AN 的斜率分别为 1 k， 2 k，求证： 12 kk为定值 21已知函数 2 ( )lnf xaxx，其中aR （）讨论( )f x的单调性； （）当1a 时，证明： 2 ( )1f xxx； （） 求证： 对任意正整数n， 都有 2 111 111 222n e ，（其中2.7183e为自然对数的底数） 选考题：请考生在第选考题：请考生在第 22、23 题中任选一题解答如果多选，则按所做的第一题计分
10、题中任选一题解答如果多选，则按所做的第一题计分 22选修 4-4：坐标系与参数方程 据说，年过半百的笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国 王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最 后一封信只有一个公式：(1sin )(0)aa，国王不懂，将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的 坐标知识，画出了这个图形“心形线” ，明白了笛卡尔的心意，登上国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久 矣（仅是一个传说）心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周 上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心
11、形而得名在极坐标系Ox中，方程(1sin )(0)aa表 示的曲线 1 C就是一条心形线， 如图 以极轴Ox所在直线为x轴， 极点O为坐标原点的直角坐标系xOy中， 已知曲线 2 C的参数方程为 13 , 3 3 xt yt （t为参数） （1）求曲线 2 C的极坐标方程； （2）若曲线 1 C与 2 C相交于A、O、B三点，求线段AB的长 23、选修 4-5：不等式选讲 已知函数( ) |31|33|f xxx （1）求不等式( )10f x 的解集； （2）正数, a b满足2ab，证明：( )f xab 参考答案参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B C
12、D B B A D D A A D 11 A 【 解 析 】 将 1212 | |MFMFMFMF两 边 平 方 ， 易 得 12 0MF MF， 即 1212 1 | 2 MFMF OMFFc又60MOF， 2 MFc， 1 3MFc，23acc， 31 c e a 故选 A 12 【详解】 1 ( )(1) 2 g xfxkxk恰有 3 个不同零点，方程 1 (1)(1) 2 fxk x恰有 3 个不同实根，令 1xt，则方程 1 ( ) 2 f tkt 恰有三个不同实根，即函数 yf x与 1 2 ykx 的图象恰有 3 个不 同交点，画出函数图象如下图： 当0k 即0k 时有三个交点，
13、 当 1 2 ykx 与 2 ( )21(0)f xxxx相切时可求得22k ， 当 1 2 ykx 与 1 ( ) 1 x f x x ，0x 相切时可求得 1 2 k ，故由图可得220k 或 1 2 k 时函数 ( )yf x与 1 2 ykx 的图象恰有 3 个不同交点，即函数 1 ( )(1) 2 g xfxkxk恰有 3 个不同 零点，故选 D 13必要不充分 14 22 (1)9xy 1560m 16 7 3 4 15 【详解】作AECD，垂足为E，则： 在AMC中，20 6 sin15 AB AM ，105AMC，30ACM， 20 6 sin105sin30 AC ， 602
14、0 3AC ， 30 10 3sin3060CDACm 16 【解析】依题意得DCAB， 1 4 ADACDCACAB， 1 44 n APmABnADmABn ACABmABnAC , ,C P B三点共线， 1 4 n mn ，即 3 1 4 mn， 又m，n均是正实数， 1111373737 23 444444 mnmn mn mnmnnmnm ， 当且仅当 3 4 mn nm ，即 42 3 8 3 4 3 m n 时取最小值 17解： （1）因为 13579 5 5 x ， 24811 15 8 5 y ， 所以 5 1 5 2 1 66 1.65 40 ii i i i xxyy
15、b xx ， 又因为 8 1.65 50.25aybx ，故线性回归方程为1.650.25yx （2）当1x 时，1.65 110.2517.9y ， 故可预测该产品明年销售利润为 17.9 万元 18 （1） 1 sin 8 B （2）513 【详解】 （1）由(sin4sin)8sinaABA，得(4 )8a aba， 即48ab 因为1b ，所以4a 由 41 sin sin 6 B ，得 1 sin 8 B （2）因为482 44ababab， 所以4ab，当且仅当44ab时，等号成立 因为ABC的面积 11 sin4sin3 223 SabC 所以当44ab时，ABC的面积取得最大值
16、， 此时 222 4124 1 cos13 3 c ，则13c ， 所以ABC的周长为513 19 【解析】试题解析： （1） 11 AAAC，且O为AC的中点 1 AOAC， 又平面 1A AA CC 平面ABC，平面 11 AACC 平面ABCAC， 且 1 AO 平面 11 AACC， 1 AO 平面ABC BC 平面ABC， 1 AOBC （2） 11 ACAC， 11 AC 平面ABC，AC 平面ABC， 11 AC平面ABC 即 1 C到平面ABC的距离等于 1 A到平面ABC的距离 由（1）知 1 AO 平面ABC且 22 11 3AOAAAO 三棱锥 1 CABC的体积： 11
17、 1 111 2331 332 CABCAABCABC VVSAO 20 【详解】 （1）由题意得21p ，所以抛物线方程为 2 yx （2）设 11 ,M x y， 22 ,N xy，直线MN的方程为(1)3xt y， 代入抛物线方程得 2 30ytyt 所以 2 1212 (2)80,3tyyt y yt 所以 1212 12 22 1212121212 11111111 1111111312 yyyy kk xxyyyyy yyytt ， 所以 12 ,k k是定值 21 【详解】 （1）函数( )f x的定义域为(0,)， 2 2 ( )2 aax fxx xx 当0a 时，( )0f
18、x，所以( )f x在(0,)上单调递增， 当0a 时，令( )0fx，解得： 2 a x 当0 2 a x时，( )0fx，所以( )f x在0, 2 a 上单调递减； 当 2 a x 时，( )0fx，所以( )f x在, 2 a 上单调递增， 综上，当0a 时，函数( )f x在(0,)上单调递增； 当0a 时，函数( )f x 0, 2 a 上单调递减，在, 2 a 上单调递增； （2）当1a 时， 2 ( )lnf xxx 要证明 2 ( )1f xxx，即证ln1xx，即ln10xx ， 设( )ln1g xxx则 1 ( ) x g x x ，令( )0g x得， 1x ， 当(
19、0,1)x时，( )0g x，当(1,)x时，( )0g x 所以1x 为极大值点，也为最大值点 所以( )(1)0g xg，即ln10xx 故当1a 时， 2 ( )1f xxx； （3）由（2）ln1xx（当且仅当1x 时等号成立） ， 令 * 1 1 2n xnN ，则 111 ln 111 222 nnn ， 所以 22 11 1 22 1111111 ln 1ln 1ln 111ln 1 2222222 1 2 n n nn e ， 即 2 111 ln 1ln 1ln 1ln 222n e 所以 2 111 111 222n e 22解： （1）由 13 , 3 3 xt yt 有
20、 3 1 3 13 y x ， 3 3 yx，即 2 C是过原点且倾斜角为 6 的直线， 2 C的极坐标方程为() 6 R （2）由 , 6 (1 sin )a 有 , 2 , 6 a , 2 6 a A 由 7 , 6 (1sin )a 有 3 , 2 7 , 6 a 37 , 26 Ba | 2ABa 23 【详解】 （1）当1x时，( )13336210f xxxx ， 解得2x，所以2x； 当 1 1 3 x 时，( )1333410,f xxxx ； 当 1 3 x 时，( )31336210f xxxx , 解得 4 3 x ，所以 4 3 x 综上，不等式( )10f x 的解集为 4 (, 2, 3 （2）证明：因为, a b为正数，则( )f xab 等价于( )2f xabab对任意的xR恒成立 又因为( ) |31|33| 4f xxx，且2ab，所以只需证1ab ， 因为1 2 ab ab ，当且仅当1ab时等号成立 所以( )f xab成立
