1、山东省 2020 年 4 月高考适应性考试猜想卷 数 学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 姓名_ 班级_ 考号_ 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂 其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4测试范围：高中全部内容. 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在
2、每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求一项是符合题目要求. 1已知集合| 31Axx ，集合 2 |2Bx yx，则AB （ ） A 2,1 B2,1 C3, 2 D3, 2 2若1 2i 是关于x的实系数方程 2 0xbxc的一个复数根，则（ ） A2, 3bc B2,1bc C2,1bc D2,3bc 3我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆 径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式 3 16 9 dV ,人们还用过一些类 似的近似公式,根据3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ）
3、A 3 16 9 dV B 3 21 11 dV C 3 300 157 dV D 3 2dV 4函数 1 ln1yx x 的图象大致为( ) A B C D 5 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问 各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同， 且甲、 乙、 丙、 丁、 戊所得依次成等差数列 问五人各得多少钱？” （“钱”是古代的一种重量单位） 这 个问题中，甲所得为（ ） A 5 4 钱 B 4 3 钱 C 3 2 钱 D 5 3 钱 6设过定点 (0,2)M 的直线l与椭圆C： 2
4、 2 1 2 x y交于不同的两点P，Q，若原点O在以PQ为直径的 圆的外部，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A 6 5, 2 B 66 5, 5 33 C 6 , 5 2 D 66 5, 5 22 7 易 系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构 是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数. 若从这 10 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为（ ） A 1 5 B 1 20 C 1 12 D 3 40 8对于函数 f x，若存在区间 ,Am n，使得
5、|,y yf xxAA，则称函数 f x为“可等域 函数”，区间A为函数 f x的一个“可等域区间”给出下列 4 个函数： sin 2 fxx ； 2 21f xx； 12xf x ； 2 log22f xx 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ） A B C D 二、二、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9在某次高中学科竞赛中
6、，4000 名考生的参赛成绩统计如图所示，60 分以下视为不及格，若同一组中的 数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ） A成绩在70,80分的考生人数最多 B不及格的考生人数为 1000 C考生竞赛成绩的平均分约为 70.5 分 D考生竞赛成绩的中位数为 75 分 10设函数( ) cos 6 f xx ,.给出下列结论其中正确有（ ） Af(x)的一个周期为2 Bf(x)的图象关于直线 5 6 x 对称 C ()f x 的一个零点为 3 x Df(x)在, 2 单调递减 11已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a，点,E F G分别棱楼 111 ,AB AA C
7、D的中点，下列结论中正 确的是（ ） A四面体 11 ACB D的体积等于 3 1 2 a B 1 BD 平面 1 ACB C 11/ / B D平面EFG D异面直线EF与 1 BD所成角的正切值为 2 2 12已知函数 32 f xxaxbxc，下列结论中正确的是（ ） A 0 xR， 0 0f x B若 f x有极大值 M，极小值 m，则必有M m C若 0 x是 f x极小值点，则 f x在区间 0 ,x上单调递减 D若 0 0fx，则 0 x是 f x的极值点 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知 4 ,sin 2
8、5 ,则tan 4 _. 14已知点D为ABC的外心，4BC ，则BD BC_. 15已知双曲线 2 2 1: 1 3 y Cx ，若抛物线 2 2: 20Cxpy p的焦点到双曲线 1 C的渐近线的距离为2， 则抛物线 2 C的方程为_. 16在四面体ABCD中， 41,34,5, ,ABCDACBDADBCE F分别是 ,AD BC的中 点则下述结论： 四面体ABCD的体积为20； 异面直线,AC BD所成角的正弦值为 24 25 ； 四面体ABCD外接球的表面积为50； 若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边 形截面，则该多边形截面面积最大值
9、为6 其中正确的有_.（填写所有正确结论的编号） 四、四、解答题：本小题共解答题：本小题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤明、证明过程或演算步骤. 17已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 10 120S， 21 aa， 42 aa， 12 aa成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n T为数列 1 n s 的前n项和，求满足 15 22 n T 的最小的n值. 18在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，若sin,sin,sinABC成等差数列，且 1 cos 3 C . 1求 b
10、a 的值； 2若11c，求ABC的面积. 19 如图， 在边长为 4 的正方形ABCD中， 点E,F分别是AB,BC的中点， 点M在AD上， 且 1 4 AMAD， 将AED, DCF分别沿DE,DF折叠，使A,C点重合于点P，如图所示2. 1试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明； 2求二面角MEFD的余弦值. 20某学校为了解高一新生的体能情况，在入学后不久，组织了一次体能测试，按成绩分为优秀、良好、 一般、较差四个档次.现随机抽取 120 名学生的成绩，其条形图如下： （1）将优秀、良好、一般归为合格，较差归为不合格，试根据条形图完成下面的 2 2 列联表，并判断 能否在犯错误的概
11、率不超过 0.01 的前提下认为学生的成绩与性别有关. 合格 不合格 合计 男生 女生 合计 （2）学校为了解学生以前参加课外活动的情况，利用分层抽样的方法从 120 名学生中抽取 24 名学生 参加一个座谈会. 座谈会上抽取 2 名学生汇报以前参加课外活动的情况，求恰好抽到测试成绩一个优秀与一个较差的 学生的概率； 为全面提高学生的体能，学校专门安排专职教师对全校测试成绩较差的学生在课外活动时进行专项 训练，通过一段时间的训陈后，测试合格率达到了 5 6 .若某班有 4 名学生参加这个专项训陈，求训练后 测试合格人数 的分布列与数学期望. 附：K2 2 ()n adbc abcdacbd ，
12、其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 21已知抛物线 C： 2 2ypx经过点 2,2P （），A，B 是抛物线 C 上异于点 O 的不同的两点，其中 O 为原 点 （1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）若OAOB，求AOB面积的最小值 22已知函数 2 1 ,ln 2 f xxg xax （1）若曲线 yf xg x在1x 处的切线的方程为6250xy，求实数a的值； （2）设 h xf xg x，若对任意两个不等的正
13、数 12 x x，都有 12 12 2 h xh x xx 恒成立，求实 数a的取值范围； （3） 若在1 e，上存在一点 0 x， 使得 000 0 1 fxg xgx fx 成立， 求实数a的取值范围 答案答案+ +全解全析全解全析 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求一项是符合题目要求. 1已知集合| 31Axx ，集合 2 |2Bx yx，则AB （ ） A 2,1 B2,1 C3, 2 D3, 2 【答案】D 【解析】由题意 22 |2|
14、20|22Bx yxxxxx， 所以 | 31| 3|2223, 2xxABxxxx 故选：D. 2若1 2i 是关于x的实系数方程 2 0xbxc的一个复数根，则（ ） A2, 3bc B2,1bc C2,1bc D2,3bc 【答案】D 【解析】由题意 1 2 i 是关于 x 的实系数方程 x2+bx+c0 1+2 2i2+b2 bi+c0，即1 2 220bcb i 10 2 220 bc b ，解得 b2，c3 故选：D 3我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆 径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式
15、 3 16 9 dV ,人们还用过一些类 似的近似公式,根据3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ） A 3 16 9 dV B 3 21 11 dV C 3 300 157 dV D 3 2dV 【答案】B 【解析】由球体的体积公式得 3 3 3 44 3326 dd VR ， 3 6V d ， 6 1.9099 ， 16 1.7778 9 ， 21 1.9091 11 ， 300 1.9082 157 ， 21 11 与 6 最为接近，故选 C. 4函数 1 ln1yx x 的图象大致为( ) A B C D 【答案】A 【解析】0x 时，函数为减函数，排除 B，10x 时，
16、函数也是减函数，排除 D，又1x 时， 1 ln20y ，排除 C，只有 A 可满足故选：A. 5 九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等问 各得几何”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分 5 钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相 同， 且甲、 乙、 丙、 丁、 戊所得依次成等差数列 问五人各得多少钱？” （“钱”是古代的一种重量单位） 这 个问题中，甲所得为（ ） A 5 4 钱 B 4 3 钱 C 3 2 钱 D 5 3 钱 【答案】B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2 , ,2ad ad a ad ad,则 22adadaa
17、dad ,解得6ad,又 225,adadaadad 1a=, 则 44 22 633 a adaa ,故选 B. 6设过定点 (0,2)M 的直线l与椭圆C： 2 2 1 2 x y交于不同的两点P，Q，若原点O在以PQ为直径的 圆的外部，则直线l的斜率k的取值范围为（ ） A 6 5, 2 B 66 5, 5 33 C 6 , 5 2 D 66 5, 5 22 【答案】D 【解析】显然直线0x不满足条件，故可设直线l：2ykx， 11 ,P x y， 22 ,Q x y，由 2 2 1 2 2 x y ykx ，得 22 12860kxkx， 22 6424 120kk ，解得 6 2 k
18、 或 6 2 k ， 12 2 8 12 k xx k ， 12 2 6 12 x x k ， 0 2 POQ ，0OP OQ， 12121212 22OP OQx xy yx xkxkx 2 1212 124kx xk xx 2 22 222 6 1 16102 40 1 21 21 2 k kk kkk ， 解得 55k ，直线l的斜率k的取值范围为 66 5, 5 22 k . 故选：D. 7 易 系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构 是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数. 若从这 1
19、0 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为（ ） A 1 5 B 1 20 C 1 12 D 3 40 【答案】C 【解析】所有的情况数有： 3 10 120C种， 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列的情况有： 1,2,3 , 3,4,5 , 5,6,7 , 7,8,9 , 1,4,7 , 3,6,9 , 1,3,5 , 3,5,7 , 5,7,9 , 1,5,9，共10种， 所以目标事件的概率 101 12012 P . 故选：C. 8对于函数 f x，若存在区间 ,Am n，使得 |,y yf xxAA，则称函数 f x为“可等域 函数”
20、，区间A为函数 f x的一个“可等域区间”给出下列 4 个函数： sin 2 fxx ； 2 21f xx； 12xf x ； 2 log22f xx 其中存在唯一“可等域区间”的“可等域函数”为（ ） A B C D 【答案】B 【解析】函数的周期是 4,正弦函数的性质我们易得,为函数的一个“可等 域区间”,同时当时也是函数的一个“可等域区间”,不满足唯一性. 当时,满足条件,且由二次函数的性质可知,满足条件的集合只有 一个. 为函数的“可等域区间”, 当时,函数单调递增,满足条件, ,n 取值唯一.故满足条件. 单调递增,且函数的定义域为, 若存在“可等域区间”,则满足,即, ,n 是方程
21、的两个根,设 , 当时,此时函数单调递增, 不可能存在两个解,故不存在“可等域区间”. 所以 B 选项是正确的. 三、三、多项选择题：本题共多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项符在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9在某次高中学科竞赛中，4000 名考生的参赛成绩统计如图所示，60 分以下视为不及格，若同一组中的 数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（ ） A成绩在70,80分的考生人
22、数最多 B不及格的考生人数为 1000 C考生竞赛成绩的平均分约为 70.5 分 D考生竞赛成绩的中位数为 75 分 【答案】ABC 【解析】由频率分布直方图可得，成绩在70,80内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频 率分布直方图可得，成绩在40,60的频率为 0.25，因此，不及格的人数为4000 0.25 1000，故B正 确；由频率分布直方图可得，平均分为 45 0.1 55 0.15 65 0.2 75 0.3 85 0.15 95 0.170.5， 故C正确； 因为成绩在40,70内 的频率为 0.45，70,80的频率为 0.3，所以中位数为 0.05 70 1071.6
23、7 0.3 ，故D错误， 故选：ABC. 10设函数( ) cos 6 f xx ,.给出下列结论其中正确有（ ） Af(x)的一个周期为2 Bf(x)的图象关于直线 5 6 x 对称 C ()f x 的一个零点为 3 x Df(x)在, 2 单调递减 【答案】ABC 【解析】对于选项A，函数 ( )f x的周期为 2,0kkZ k， 当1k 时，周期为2，故选项A 正确；对于选项B，当 5 6 x 时， 55 ()coscos1 666 f ，此时函数 ( )f x的图象关于 直线 5 6 x 对称，故选项B正确；对于选项C，当 3 x 时， 3 ()coscos0 3362 f ，()f
24、x的一个零点为 3 x ，故选项C正确； 对于选项D，当 2 x 时， 27 366 x .所以当 2 36 x ，即 5 26 x时，函数 ( )f x单调递减；当 7 66 x ，即 5 6 x时，函数( )f x单调递增，故选项D错误. 故选：ABC. 11已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a，点,E F G分别棱楼 111 ,AB AA C D的中点，下列结论中正 确的是（ ） A四面体 11 ACB D的体积等于 3 1 2 a B 1 BD 平面 1 ACB C 11/ / B D平面EFG D异面直线EF与 1 BD所成角的正切值为 2 2 【答案】BD 【解析】延
25、长EF分别与 11 B A， 1 B B的延长线交于N，Q，连接GN交 11 AD于H，设HG与 11 BC的 延长线交于P，连接PQ交 1 CC于I，交BC于M，连FH，HG，GI，IM，ME， 11 B D与HG 相交，故 11 B D与平面EFG相交，所以C不正确； 1 BDAC， 11 BDBC，且AC与 1 BC相交，所以 1 BD 平面 1 ACB，故B正确； 以D为原点，DA，DC， 1 DD分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角可得 异面直线EF与 1 BD的夹角的正切值为 2 2 ，故D正确； 四面体 11 ACB D的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的
26、体积，即为 333 111 4 323 aaa，故 A不正确 故选：BD 12已知函数 32 f xxaxbxc，下列结论中正确的是（ ） A 0 xR， 0 0f x B若 f x有极大值 M，极小值 m，则必有M m C若 0 x是 f x极小值点，则 f x在区间 0 ,x上单调递减 D若 0 0fx，则 0 x是 f x的极值点 【答案】ABC 【解析】 因为当x 时， f x ， 当x 时， f x ， 由零点存在性定理知 0 xR， 0 0f x，故 A 正确； 因为 2 ( )32fxxaxb ， 若 f x有极大值 M， 极小值 m， 则 ( ) 0fx 有两根 1 x， 2
27、x， 不妨设 1 x 2 x，易得( )f x在 1 (x 2 ,)x上单调递增，在 1 (,)x， 2 (,)x 单调递减，所以 2 ()f xM 1 ()f xm， 故 B、C 正确；导数为 0 的点不一定是极值点，故 D 错误. 故选 ABC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知 4 ,sin 25 ,则tan 4 _. 【答案】 1 7 【解析】 4 ,sin 25 ，则 3 cos 5 ，所以 4 tan 3 ， 则： 4 1tantan 1 34 tan 4 47 1 tantan1 43 ， 故答案为 1 7
28、14已知点D为ABC的外心，4BC ，则BD BC_. 【答案】8 【解析】设BD BC ， 的夹角，则 2 1 | | cos|8 2 BD BCBCBDBC. 15已知双曲线 2 2 1: 1 3 y Cx ，若抛物线 2 2: 20Cxpy p的焦点到双曲线 1 C的渐近线的距离为2， 则抛物线 2 C的方程为_. 【答案】 2 16xy 【解析】双曲线 2 2 1: 1 3 y Cx ，双曲线 1 C的渐近线方程为 3yx ，即30xy 抛物线 2 2: 20Cxpy p的焦点0 2 p F ，到双曲线 1 C的渐近线的距离为2， 2 2 2 p ，解得8p ,抛物线 2 C的方程为
29、2 16xy,故答案为 2 16xy. 16在四面体ABCD中， 41,34, 5,ABCDACBDADBCE F分别是 ,AD BC的中 点则下述结论： 四面体ABCD的体积为20； 异面直线,AC BD所成角的正弦值为 24 25 ； 四面体ABCD外接球的表面积为50； 若用一个与直线EF垂直，且与四面体的每个面都相交的平面去截该四面体，由此得到一个多边 形截面，则该多边形截面面积最大值为6 其中正确的有_.（填写所有正确结论的编号） 【答案】 【解析】根据四面体特征，可以补图成长方体设其边长为, ,a b c， 22 22 22 41 34 25 cb ca ba ，解得3,4,5ab
30、c 补成长，宽，高分别为3,4,5的长方体，在长方体中： 四面体ABCD的体积为 1 3 4 543 4 520 3 V ，故正确 异面直线,AC BD所成角的正弦值等价于边长为5,3的矩形的对角线夹角正弦值， 可得正弦值为 15 17 ， 故错； 四面体ABCD外接球就是长方体的外接球，半径 222 34550 22 R ，其表面积为50，故 正确； 由于EF，故截面为平行四边形MNKL，可得5KLKN， 设异面直线BC与AD所成的角为，则sinsin HFB sin LKN，算得 24 25 sin， 2 24 6 225 MNKL KLKN SNK KL sin NKL 故正确 故答案为
31、： 五、五、解答题：本小题共解答题：本小题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知等差数列 n a的前n项和为 n S，且 10 120S， 21 aa， 42 aa， 12 aa成等比数列. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 n T为数列 1 n s 的前n项和，求满足 15 22 n T 的最小的n值. 【答案】 （1）21 n an； （2）14. 【解析】 （1）设等差数列 n a的公差为d， 由 10 120S得 1 1045120ad， 1 2924ad， 由 21 aa， 42 aa
32、， 12 aa成等比数列 得 2 1 24dadd且0d ， 1 23ad， 1 3a ，2d ， 等差数列 n a的通项公式为 1 131 221 n aandnn . （2） 1 1 2 2 n n nd Snan n ， 111 11 222 n Sn nnn ， 11111111 1 2324352 n T nn 1111 1 2212nn ， 由 15 22 n T 得 113 1222nn ， 33560nn， n的最小值为 14. 18在ABC中，角 , ,A B C的对边分别为, ,a b c，若sin,sin,sinABC成等差数列，且 1 cos 3 C . 1求 b a
33、的值； 2若11c，求ABC的面积. 【答案】 （1） 10 9 b a ； （2） 30 2.S 【解析】 1因为sin ,sin ,sinABC成等差数列，所以2sinsinsin ,BAC 由正弦定理得2,bac即2.cb a 又因为 1 cos, 3 C 根据余弦定理有： 2 22 222 231 cos2, 2223 abbaabcb C ababa 所以 10 . 9 b a 2因为 1 11,cos, 3 cC根据余弦定理有： 22 1 2?121, 3 abab 由 1知 10 9 ba，所以 22 100101 2 ?121, 8193 aaaa 解得 2 81a . 由 1
34、 cos 3 C 得 2 2 sin 3 C ， 所以ABC的面积 2 1552 2 sinsin8130 2. 2993 SabCaC 19 如图， 在边长为 4 的正方形ABCD中， 点E,F分别是AB,BC的中点， 点M在AD上， 且 1 4 AMAD， 将AED, DCF分别沿DE,DF折叠，使A,C点重合于点P，如图所示2. 1试判断PB与平面MEF的位置关系，并给出证明； 2求二面角MEFD的余弦值. 【答案】 （1）见解析； （2） 6 . 3 【解析】 （1）PB平面MEF证明如下：在图 1 中，连接BD，交EF于N，交AC于O， 则 11 24 BNBOBD， 在图 2 中，
35、连接BD交EF于N，连接MN，在DPB中，有 1 4 BNBD， 1 4 PMPD， MNPB PB平面MEF，MN 平面MEF，故PB平面MEF； （2）连接BD交EF与点N，图 2 中的三角形PDE与三角形 PDF 分别是图 1 中的RtADE与 Rt CDF，PDPEPDPF，又PEPEP，PD平面PEF，则PDEF，又 EFBD，EF平面PBD， 则MND为二面角MEF D的平面角 可知PMPN，则在Rt MND中， 12PMPN， ，则 22 PMPN3MN 在MND中， 33 2MDDN ， ，由余弦定理，得 222 6 23 MNDNMD cos MND MN DN 二面角M E
36、F D的余弦值为 6 3 20某学校为了解高一新生的体能情况，在入学后不久，组织了一次体能测试，按成绩分为优秀、良好、 一般、较差四个档次.现随机抽取 120 名学生的成绩，其条形图如下： （1）将优秀、良好、一般归为合格，较差归为不合格，试根据条形图完成下面的 2 2 列联表，并判断 能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学生的成绩与性别有关. 合格 不合格 合计 男生 女生 合计 （2）学校为了解学生以前参加课外活动的情况，利用分层抽样的方法从 120 名学生中抽取 24 名学生 参加一个座谈会. 座谈会上抽取 2 名学生汇报以前参加课外活动的情况，求恰好抽到测试成绩一个优秀与一
37、个较差的 学生的概率； 为全面提高学生的体能，学校专门安排专职教师对全校测试成绩较差的学生在课外活动时进行专项 训练，通过一段时间的训陈后，测试合格率达到了 5 6 .若某班有 4 名学生参加这个专项训陈，求训练后 测试合格人数 的分布列与数学期望. 附：K2 2 ()n adbc abcdacbd ，其中 na+b+c+d P（K2k0） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 【答案】 （1） 列联表见解析， 能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学生的成绩与性别有关； （
38、2） 5 69 ，分布列见解析， 705 224 E 【解析】(1)列联表如下： 合格 不合格 合计 男生 70 5 75 女生 30 15 45 合计 100 20 120 k2 2 120(70 1530 5)72 100 20 75 455 14.4， 14.46.635， 能在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为学生的成绩与性别有关 (2)由条形图可知：优秀：良好：一般：较差25：60：15：205：12：3：4， 所以从 120 名学生中抽取 24 人，其中优秀抽取 5 人，良好抽取 12 人，一般抽取 3 人，较差抽取 4 人. 所以恰好抽到测试成绩一个优秀与一个较差的学生的
39、概率 11 54 2 24 5 69 C C P C . 依题意测试合格人数 服从二项分布，即 B(4， 5 6 )， P(0) 0 4 5 6 C 0( 1 5) 6 4 1 1296 ， P(1) 1 4 55 1 66 C 3 20 1296 ， P(2) 2 4 5 6 C 2 5 1 6 2 150 1296 ， P(3) 3 4 5 6 C 3 5500 1 61296 ， P(4) 4 4 5 6 C 4 625 1296 ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 P 1 1296 20 1296 150 1296 500 1296 625 1296 E()0 1 1296 1 20
40、 1296 2 150 1296 3 500 1296 4 6252820705 12961296324 . 21已知抛物线 C： 2 2ypx经过点 2,2P （），A，B 是抛物线 C 上异于点 O 的不同的两点，其中 O 为原 点 （1）求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； （2）若OAOB，求AOB面积的最小值 【答案】 （1）抛物线 C 的方程为 2 2yx焦点坐标为 1 ,0 2 （），准线方程为 1 2 x （2）面积的最小 值为 4 【解析】 （1）由抛物线 C： 2 2ypx经过点2,2P知4 4p ，解得1p 则抛物线 C 的方程为 2 2yx 抛物线 C 的焦
41、点坐标为 1 ,0 2 ，准线方程为 1 2 x ； （2）由题知，直线 AB 不与 y 轴垂直，设直线 AB：x tya ， 由 2 2 xtya yx 消去 x，得 2 220ytya 设 11 ,A x y， 22 ,B x y，则 12 2yyt， 12 2y ya 因为OAOB，所以 1212 0x xy y，即 22 12 12 0 4 y y y y， 解得 12 0y y （舍去）或 12 4y y 所以24.a解得2a 所以直线 AB：2xty 所以直线 AB 过定点2,0（） 2222 1212121212 1 228284 2 AOB Syyyyy yyyy y 当且仅当 1 2y ， 2 2y 或 1 2y ， 2 2y 时，等号成立 所以AOB面积的最小值为 4 22已知函数 2 1 ,ln 2 f xxg xax （1）若曲线 yf xg x在1x 处的切线的方程为6250xy，求实数a的值； （2）设 h xf xg x，若对任意两个不等的正数 12 x x，都有 12 12 2 h xh x xx 恒成立，求实 数a的取值范围； （3） 若在1 e，上存在一点 0 x， 使得 000 0 1 fxg x
