1、 二次函数二次函数 是初中函数的主要内是初中函数的主要内容容.也是高中学习的重要基础也是高中学习的重要基础.在初中，大家已经知道在初中，大家已经知道 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况二次函数在自变量取任意实数时的最值情况.本讲我们将在这个基础上继续学习本讲我们将在这个基础上继续学习当自变量当自变量 在某在某个范围内取值时，函数的最值问题个范围内取值时，函数的最值问题.2(0)yaxbxc a x点评：点评：定义定义要点要点 (1)a0.(2)最高次数最高次数为为2.(3)代数式一定是代数式一定是整式整式2023-1-9二次函数二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是的图象顶点坐标是_对称
2、轴是对称轴是_。（，-）125 24x=12一般式一般式y=ax+bx+c顶点式顶点式y=a(x-h)+k二次函数的解析式二次函数的解析式:abacabxa44)2(22(a0)对称轴对称轴:直线直线x=h 顶点顶点:(h,k)二次函数的图象二次函数的图象:是一条抛物线是一条抛物线二次函数的图象的性质二次函数的图象的性质:开口方向开口方向;对称轴对称轴;顶点坐标顶点坐标;增减性增减性;最值最值一、二次函数一、二次函数 的图像和性质的图像和性质 2(0)yaxbxc a 一、二次函数一、二次函数 的图像和性质的图像和性质 2(0)yaxbxc a 今后解决二次函数问题时，今后解决二次函数问题时，
3、要善于借助函数图像，利用数要善于借助函数图像，利用数形结合的思想方法解决问题形结合的思想方法解决问题抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0当当 时时,y=0当当 时时,y0 x3x=-2或或x=3-2x3一、二次函数一、二次函数 的图像和性质的图像和性质 2(0)yaxbxc a 一、二次函数一、二次函数 的图像和性质的图像和性质 2(0)yaxbxc a 二、二次函数的三种表示方式二、二次函数的三种表示方式2(0)yaxbxc a)0()(2akhx
4、ay),(kh顶点坐标是顶点坐标是 12()()(0)ya xxxxa,1x2x其中其中是二次函数图象与是二次函数图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标 二、二次函数的三种表示方式二、二次函数的三种表示方式解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(x1)2-3由条件得：由条件得：例例2.已知抛物线的顶点为已知抛物线的顶点为(1,3),与轴交点为与轴交点为(0,5),求抛物线的解求抛物线的解析式？析式？点点(0,-5)在抛物线上在抛物线上把点把点(0,-5)代入代入y=a(x1)2-3得得a-3=-5 即即a=-2故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=2(x1)2-3 即：即
5、：y=2x2-4x5解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=a(x1)(x1）由条件得：由条件得：例例3.已知抛物线与已知抛物线与X轴交于轴交于A(1,0),B(1,0)并经过点并经过点M(0,1),求抛物求抛物线的解析式？线的解析式？点点M(0,1)在抛物线上在抛物线上所以所以：a(0+1)(0-1)=1得：得：a=-1故所求的抛物线解析式为故所求的抛物线解析式为 y=-(x1)(x-1)即：即：y=x2+1课堂练习课堂练习因此：所求二次函数是：因此：所求二次函数是：y=2x2-3x+51.已知一个二次函数的图象过点已知一个二次函数的图象过点(1,10),(1,4),(2,7)三点，
6、求这个函三点，求这个函数的解析式？数的解析式？解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解得解得a=2,b=-3,c=52.已知二次函数已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是的最大值是2,图象顶点在直线图象顶点在直线y=x+1上上,并且图象经过点并且图象经过点(3,-6).求求a、b、c解：解：二次函数的最大值是二次函数的最大值是2 抛物线的顶点纵坐标为抛物线的顶点纵坐标为2又又抛物线的顶点在直线抛物线的顶点在直线y=x+1上上 当当y=2时，时，x=1 顶点坐标为（顶点坐标为（1，2）设二次函数的解
7、析式为设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又又图象经过点（图象经过点（3，-6）-6=a(3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2 即：即：y=-2x2+4x.4.已知抛物线已知抛物线 yx-mx+m-1.(1)若抛物线经过坐标系原点，则若抛物线经过坐标系原点，则m_；=1(2)若抛物线与若抛物线与y轴交于正半轴，则轴交于正半轴，则m_；(3)若抛物线的对称轴为若抛物线的对称轴为y轴，则轴，则m_。(4)若抛物线与若抛物线与x轴只有一个交点，则轴只有一个交点，则m_.1=2=02023-1-9将将 向左平移向左平移3个单位个单位,再向下平移再向
8、下平移2个单位个单位后后,所得的抛物线的关系式是所得的抛物线的关系式是y=ax2y=ax2+k y=a(x h)2y=a(x h)2 +k上下平移上下平移左右平移左右平移上下平移上下平移左右平移左右平移各种顶点式的二次函数的关系各种顶点式的二次函数的关系左加右减左加右减上加下减上加下减221xy 2)3(212xy(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)三、二次函数的平移变换和对称变换三、二次函数的平移变换和对称变换三、二次函数的平移变换和对称变换三、二次函数的平移变换和对称变换平移变换平移变换练习练习1.1.求把二次函数求把二次函数y yx x2 24 4x x3 3的图象经过下列平移变换后
9、得的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：到的图象所对应的函数解析式：（1 1）向右平移）向右平移2 2个单位，向下平移个单位，向下平移1 1个单位；个单位；（2 2）向上平移）向上平移3 3个单位，向左平移个单位，向左平移2 2个单位个单位 1.由由y=2x2的图象向左平移两个单位的图象向左平移两个单位,再向下平再向下平 移三个单位移三个单位,得到的图象的函数解析式为得到的图象的函数解析式为 _2.由函数由函数y=-3(x-1)2+2的图象向右平移的图象向右平移4个单位个单位,再向上平移再向上平移3个单位个单位,得到的图象的函数解析式得到的图象的函数解析式为为_y=2(x+2)
10、2-3=2x2+8x+5y=-3(x-1-4)2+2+3=-3x=-3x2 2+30 x-70+30 x-703.抛物线抛物线y=ax2向左平移一个单位向左平移一个单位,再向下再向下平移平移8个单位且个单位且y=ax2过点过点(1,2).则平移后则平移后的解析式为的解析式为_;y=2(x+1)2-84.将抛物线将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到如何移动才能得到y=x2.逆向思考逆向思考,由由y=x2-6x+4=(x-3)2-5知知:先向左平移先向左平移3个个单位单位,再向上平移再向上平移5个单位个单位.课堂练习课堂练习 例例1.1.二次函数二次函数y=2xy=2x2 2-8x+1-8x
11、+1，求它的最值。，求它的最值。Oxy2-7解解:y=2(x-2):y=2(x-2)2 2-7-7由图象知由图象知,当当x=2x=2时，时，y y有最小值，有最小值，y yminmin=f(2)=-7=f(2)=-7，没有最大值。没有最大值。四、二次函数的最值问题四、二次函数的最值问题 kmxaycbxaxy22)(顶点式一般式当当x=-m时时y最小（大）最小（大）=kabacyabx4422)(大最小时，当 例例2.2.当当 时时,求函数求函数y=2xy=2x2 2-8x+1-8x+1的最值。的最值。Oxy-7分析：此题和上题有何不同分析：此题和上题有何不同 因因y=2(xy=2(x2)2)
12、2 27 7，是否当，是否当x=2x=2时，时，y y取得最小值？为什么？取得最小值？为什么？练习：求下列函数的最大值（或最小值）和对应练习：求下列函数的最大值（或最小值）和对应的自变量的值：的自变量的值：y=2xy=2x2 28x8x1 1；y=y=3x3x2 25x5x1 1(3)y=-2(x+1)(3)y=-2(x+1)2 2-3-3(4)y=2x(4)y=2x2 2+3+3四、二次函数的最值问题四、二次函数的最值问题 42 x四、二次函数的最值问题四、二次函数的最值问题 4-1变变1 1：时，求函数时，求函数y=2xy=2x2 2-8x+1-8x+1的最小值、的最小值、最大值。最大值。2Oxy-7分析分析:由图象知由图象知,当当x=2x=2时，时，y y有最小值，有最小值，y yminmin=f=f（2 2）=-7=-7，当当x=-1x=-1时，时，y y有最大值，有最大值，y =fy =f（-1-1）=11=11，max42 x四、二次函数的最值问题四、二次函数的最值问题 四、小结四、小结1.二次函数的性质二次函数的性质2.三种表示方式三种表示方式3.平移变换，对称变换平移变换，对称变换
