1、第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) ( (每年每年13题涉及，题涉及，36分分) ) 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 【对接教材对接教材】北师：九上第四章北师：九上第四章P75P123. 考点精讲考点精讲 返回目录返回目录 思维导图思维导图 有平行截线-用 平行线的性质，找 位似 相似多边 形的性质 比例线段 及其性质 比例的基本性质 平分线分 线段成比例 定理 推论 1.相似多边形对 应角相等，对应边 的比等于相似比 2.相似多边形的周 长比等于相似比，面 积比等于相似比的平方 判定思路 2.相似三角形 对应线段成比例 3
2、.相似三角形的周长比 等于相似比，面积 比等于相似比的平方 一般三角形 直角三角形 有一对等角，找 有两边对应成比例，找 直角三角形，找 等腰三角形，找 1.相似三角形对应角 相等，对应边成比例 相似 三角形 （含位似） 相似三角形 的性质 相似三角 形的判定 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 比例线段比例线段 及其性质及其性质 比例的比例的 基本性质基本性质 性质性质1： ad （abcd0） ac bd 性质性质2（合比性质）：如果（合比性质）：如果 ，那么，那么 . ac bd ab b 性质性质3（等比性质）：（等比性质）： (0) acm
3、bdn bdn acma bdnb bc c d d 返回思维导图返回思维导图 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 黄金分割：一般地，点黄金分割：一般地，点C把线段把线段AB分成两条线段分成两条线段AC和和BC （ACBC）（如图），如果）（如图），如果 ，那么，那么 点点C叫做线段叫做线段AB的黄金分割点，的黄金分割点，AC与与AB的比的比 叫黄金比，即叫黄金比，即 0.618 平行线分线段成比例平行线分线段成比例 比例线段比例线段 及其性质及其性质 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应 线段线段 .
4、推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或 两边的延长线）所得的对应线段两边的延长线）所得的对应线段 ) ACBC ABAC 51 2 AC AB 成比例成比例 成比例成比例 返回思维导图返回思维导图 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 相似三角形的性质相似三角形的性质 1.相似三角形对应角相似三角形对应角 ，对应边，对应边 . 2.相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线）相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线） . 3.相似三角形的周长比等于相似三角形的周长比等于 ，面积比等于，面积比等于 ) 相似三角相
5、似三角 形的判定形的判定 一般三角形一般三角形 1.平行于三角形的一边的直线和其他两边相交，所构成的三平行于三角形的一边的直线和其他两边相交，所构成的三 角形与原三角形相似角形与原三角形相似 2.两角对应相等两角对应相等 3.两边对应成比例，且两边对应成比例，且 相等相等 4.三边对应成比例，且比例相同三边对应成比例，且比例相同 相等相等 成比例成比例 成比例成比例 相似比相似比 相似比的平方相似比的平方 夹角夹角 返回思维导图返回思维导图 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 相似三角相似三角 形的判定形的判定 直角三角形直角三角形 1.一组锐角对应相
6、等一组锐角对应相等 2.两条边对应成比例两条边对应成比例 两直角边对应成比例两直角边对应成比例 斜边和一直角边对应成比例斜边和一直角边对应成比例 判定思路判定思路 有平行截线有平行截线用平行线的性质，找等角用平行线的性质，找等角 有一对等角，找有一对等角，找 另一对等角另一对等角 该角的两边对应成比例该角的两边对应成比例 有两边对应成比例，找有两边对应成比例，找 夹角相等夹角相等 第三边也对应成比例第三边也对应成比例 返回思维导图返回思维导图 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 相似多边形的性质相似多边形的性质 1.相似多边形的对应角相似多边形的对应角
7、 ，对应边的比等于，对应边的比等于 . 2.相似多边形的周长比等于相似多边形的周长比等于 ，面积比等于，面积比等于 ) 位似位似 定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经 过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心过同一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心 相等相等 相似比相似比 相似比相似比 相似比的平方相似比的平方 返回思维导图返回思维导图 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 位似位似 性质性质 1.位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离
8、之比等于位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ， 面积比等于位似比的平方面积比等于位似比的平方 2.位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点 3.位似图形对应边平行（或共线）且成比例位似图形对应边平行（或共线）且成比例 4.位似图形对应角相等位似图形对应角相等 5.在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，位似比为在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，位似比为k， 那么位似图形对应点的坐标比为那么位似图形对应点的坐标比为 . 位似比位似比 k 返回思维导图返回思维导图 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形(
9、(含位似含位似) ) 成都成都10年真题年真题+2019诊断检测诊断检测 平行线分线段成比例平行线分线段成比例（仅仅2015年考查年考查） 命题点命题点 1 1. (2015成都成都5题题3分分)如图，在如图，在ABC中，中，DEBC，AD6，DB3，AE4，则，则 EC的长为的长为( ) 第1题图 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 拓展训练拓展训练 2. (2019成华区一诊成华区一诊)如图，已知直线如图，已知直线abc，直线，直线m、n与与a、b、c分别交于点分别交于点A、 C、E、B、D、F，AC4，
10、CE6，BD3，则，则BF( ) A. 7 B. 7.5 C. 8 D. 8.5 第2题图 B 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 相似三角形的性质及判定相似三角形的性质及判定（均是在证明过程中涉及均是在证明过程中涉及） 命题点命题点 2 基础训练基础训练 3. (2019重庆重庆A卷卷)如图，如图，ABOCDO，若，若BO6，DO3， CD2，则，则AB的长是的长是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第3题图 第4题图 4. 如图，在如图，在ABC中，点中，点D，E分别在边分别在边AB、AC上，下列条上，下列条 件中不能判断件中不能判断A
11、EDABC的是的是( ) A. AEDB B. ADEC C. D. ADED ACBC ADAE ACAB C C 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 5. (2019成华区一诊成华区一诊)如图，在如图，在ABC中，点中，点D是边是边AB上的上的 一点，一点，ADCACB，AD2，BD6，则边，则边AC的长的长 为为( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 第5题图 6. (2019襄阳襄阳)如图，两个大小不同的三角板放在同一平面如图，两个大小不同的三角板放在同一平面 内，直角顶点重合于点内，直角顶点重合于点C，点，点D在在AB上，上，BACD
12、EC 30，AC与与DE交于点交于点F，连接，连接AE，若，若BD1，AD5， 则则 _ 第6题图 CF EF B 21 3 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 【思维教练】【思维教练】(1)要证要证ABDDCE，由等腰直角三角形的性质可得一组角相，由等腰直角三角形的性质可得一组角相 等且均为等且均为45，由，由ADE45，结合一线三等角模型可得另一组角相等，即，结合一线三等角模型可得另一组角相等，即 可得证；可得证；(2)要求要求AE的长，可通过求的长，可通过求CE的长求解由的长求解由AB、AC的长可得的长可得BC的长，的长， 进而得到进而得到DC的
13、长，已知的长，已知AB、BD的长，进而利用相似三角形的性质即可求解的长，进而利用相似三角形的性质即可求解 第7题图 7 . 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，BAC90，点，点D、E分别在边分别在边BC，AC上上 (不与端点重合不与端点重合)，连接，连接AD，DE，若，若ADE45. (1)求证：求证：ABDDCE； (2)若若AB4 ，BD1，求，求AE的长的长 2 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) (1)证明：证明：ABAC，BAC90， BC45. ADE45， ADEB， ADEBDAEDC180，BBDABAD180， BADEDC，
14、 又又BC， ABDDCE； 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) ， (2)解：解：ABAC，BAC90且且AB ， BC8， BD1， DCBCBD7， 由由(1)可知：可知：ABDDCE， ， 4 2 ABBD DCCE 4 21 7CE 7 2 8 AEACCE . CE ， 7 225 2 4 2 88 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 位似图形位似图形（仅仅2017年考查年考查） 命题点命题点 3 8. (2017成都成都8题题3分分)如图，四边形如图，四边形ABCD和和ABCD是以点是以点O为位似
15、中心的位似为位似中心的位似 图形，若图形，若OAOA23，则四边形，则四边形ABCD与四边形与四边形ABCD的面积比为的面积比为( ) 第8题图 A. 49 B. 25 C. 23 D. 2 :3 A 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 教材改编题教材改编题 教材母题教材母题 (北师九上北师九上P122复习题复习题22题题)如图，如图，AB和和CD表示两根直立于地面的柱子，表示两根直立于地面的柱子，AD 和和BC表示起固定作用的两根钢筋，表示起固定作用的两根钢筋，AD与与BC的交点为的交点为M.已知已知AB10 m，CD 15 m，求点，求点M离地面的
16、高度离地面的高度MH. 教材母题图 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 解：由题意得，解：由题意得，ABBD，CDBD， ABCD， ， ， MHCD， ， MHBD， MH6. 答：点答：点M离地面的高度离地面的高度MH为为6 m. 2 3 ABBM CDMC 2 5 BM BC 2 5 MHBM CDBC 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 对接中考对接中考 1. (2019凉山州凉山州)如图，如图，ABDBCD90，DB平分平分ADC，过点，过点B作作 BMCD交交AD于于M.连接连接CM交交DB于于N.
17、 (1)求证：求证：BD2AD CD； (2)若若CD6，AD8，求，求MN的长的长 第1题图 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) (1)证明：证明：BD平分平分ADC， ADBBDC， ABDBCD90， DABDBC， ， BD2AD CD； BDAD CDBD 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) (2)解：由解：由(1)可知可知BD2AD CD. CD6，AD8， BD ， 在在RtBCD中，由勾股定理得中，由勾股定理得BC . BMCD， MNBCND， MBDCDBADB， DMBM. ADBAMBDMBA90， AMBA， 4 3 22 48362 3BDCD 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) AMBMDM AD4. BMCD， MBCBCD90. 在在RtMBC中，由勾股定理得中，由勾股定理得CM ， MNBCND， ，即，即 ， 1 2 22 16122 7BMBC MNBM CNDC 4 62 7 MN MN 解得解得MN . 4 7 5 返回目录返回目录 第五节第五节 相似三角形相似三角形( (含位似含位似) ) 点击链接至练习册点击链接至练习册 W
