1、向量的基本向量的基本概念与运算概念与运算2023-1-91平平 面面 向向 量量 复复 习习运算运算 向量加法与减法向量加法与减法 平行四边形法则平行四边形法则平行的充要条件平行的充要条件平面向量的基本定理平面向量的基本定理三三 角角 形形 法法 则则向量及相关概念向量及相关概念 向量的数量积向量的数量积垂直的充要条件垂直的充要条件 实数与向量的积实数与向量的积 平平面面向向量量 共线向量定理共线向量定理2023-1-92向量定义：向量定义：既有既有大小大小又有又有方向方向的量叫向量。的量叫向量。(2)(2)零向量：零向量：(3)(3)单位向量：单位向量：长度等于长度等于1 1个单位长度个单位
2、长度的向量的向量.(4)(4)平行向量：平行向量：方向方向相同相同或或相反相反的的非零向量非零向量.(5)(5)相等向量：相等向量：长度长度相等相等且方向且方向相同相同的向量的向量.(6)(6)相反向量：相反向量：长度长度相等相等且方向且方向相反相反的向量的向量.1.1.向量及相关概念向量及相关概念(1)(1)向量的模向量的模：向量的向量的大小大小也就是向量的也就是向量的长度长度称称为向量的模为向量的模.长度为长度为0 0的向量，记作的向量，记作 .02023-1-93例例1.1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理判断下列命题是否正确，不正确的说明理由由(1)(1)若若 与与 同向，同向，b
3、a且且,ab则则ab(2)(2)对于任意向量对于任意向量则则abba,ab且且 与与 方向相同，方向相同，(3)(3)所有的单位向量都相等所有的单位向量都相等.()()()()例题分析例题分析2023-1-94(5)(5)向量向量 与与 是共线向量是共线向量,则则A A、B B、C C、D D 四点共线四点共线.CD AB(6)(6)如果如果 ，则，则 .bacbca()()(4)(4)零向量与任意向量都平行零向量与任意向量都平行.()()2023-1-95（1 1）向量的加法）向量的加法几何运算：几何运算：三角形法则三角形法则2.2.向量的基本运算向量的基本运算AB平行四边形法则平行四边形法
4、则COABAB+BCAC OA OBOC 1122(,),(,)ax ybxy设C代数运算：代数运算：ab则1212(,)xxyy2023-1-96（2 2）向量的减法）向量的减法2.2.向量的基本运算向量的基本运算OAB几何运算：几何运算：代数运算：代数运算：三角形法则三角形法则BAOAOB 1122(,),(,)ax ybxy设ab则1212(,)xxyy2023-1-972.2.向量的基本运算向量的基本运算(3)a实 数与 的 乘 积几何意义：几何意义：坐标表示：坐标表示：a是 一 个 向 量,0;a,a与 同向时,00a时实质就是向量的伸长与缩短实质就是向量的伸长与缩短(,),ax y
5、a若则(,)xyaa且0;a,a与 反向时2023-1-982.2.向量的基本运算向量的基本运算（4 4）两个非零向量的数量积）两个非零向量的数量积a b 几何意义：几何意义：坐标表示：坐标表示：a与与ab在在的方向上的投影的方向上的投影cosb的乘积的乘积1122(,),(,)ax ybxy设a b 1 21 2x xy ycosa b 2023-1-993.3.平面向量之间的关系平面向量之间的关系（1 1）两个向量相等的两种形式）两个向量相等的两种形式ab 则abab且 与 方向相同1122(,),(,)ax ybxy若ab 1212,xxyy且2023-1-9103.3.平面向量之间的关
6、系平面向量之间的关系(2)(2)向量平行向量平行(共线共线)充要条充要条件件a(0)b b ab1122(,),(,)ax ybxy若若则则ab12210 x yx y有且只有一个实数有且只有一个实数 使得使得2023-1-9113.3.平面向量之间的关系平面向量之间的关系(3)(3)两个两个非零向量非零向量垂直的充要条件垂直的充要条件ab0a b1122(,),(,)ax ybxy若若则则ab12120 x xy y2023-1-912例例2.2.已知已知 (1(1，2)2)，(3 3，2)2)，当当k k为何值时，为何值时，与与 垂直？垂直？当当k k为何值时，为何值时，与与 平行？平行？
7、平行时它们是同向还是反向平行时它们是同向还是反向?abkab3abkab3ab例题分析例题分析2023-1-91312e e 、例例3.已知向量已知向量不共线，不共线，求实数求实数 的值的值.12ee 12ee 若向量若向量 与与 共线，共线，求证：求证：A A、B B、D D三点共线；三点共线；12ABee 1228BCee 1233CDee 若若 ，;提示提示:BDBC CD 125()ee 5AB AB BD AB BD 又又 与与 有公共点有公共点B BA A、B B、D D三点共线三点共线2023-1-914提示提示:12e e 、例例3.已知向量已知向量不共线，不共线，求实数求实数
8、 的值的值.12ee 12ee 若向量若向量 与与 共线，共线，求证：求证：A A、B B、D D三点共线；三点共线；12ABee 1228BCee 1233CDee 若若 ，;若向量若向量 与与 共线共线12ee 12ee 存在实数存在实数 使使k12eek 12（e-e）1kk 根据向量相等的条件根据向量相等的条件2023-1-91512e e 、例例3.已知向量已知向量分别是直角坐标系内与分别是直角坐标系内与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个单位向量，轴方向相同的两个单位向量，提示提示:(1,1)AB 求实数求实数 的值的值.12ee 12ee 若向量若向量 与与 共线，共线，求证：求
9、证：A A、B B、D D三点共线；三点共线；12ABee 1228BCee 1233CDee 若若 ，;(2,8)BC(3,3)CD 2023-1-9164.4.平面向量基本定理平面向量基本定理平面向量的基本定理平面向量的基本定理1 12 2aee 如果如果 是同一平面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有有且只有一对实数一对实数 使使12,ee,21a12,ee不共线的向量不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组叫做表示这一平面内所有向量的一组基底基底2023-1-917例例4.4.在在ABCABC中，点中
10、，点D D是是BCBC的中点，点的中点，点N N在在边边ACAC上且上且ANAN2NC2NC，ADAD与与BNBN相交于点相交于点P P，CAa CBb abCP 若若 ，试用，试用 、表表示示 .例题分析例题分析2023-1-918OA OBOB OC ()0OB OAOC 0OB CA OB CA 2.分析：分析：BCAO同理可证：同理可证：OCAB OA BC 2023-1-919ACABADab 11()44CNACab MNMCCN 11()24bab分析：分析：5.5.1()4ba2023-1-920总结总结*正确理解概念的基础上，掌握两个向量正确理解概念的基础上，掌握两个向量的相
11、等、平行、垂直的充要条件，并能熟的相等、平行、垂直的充要条件，并能熟练运用向量的几何形式与代数形式进行运练运用向量的几何形式与代数形式进行运算，算，*理解共线向量定理、平面向量的基本理解共线向量定理、平面向量的基本定理，并能简单应用，解题时注意数与定理，并能简单应用，解题时注意数与形的结合形的结合.2023-1-921教学目标教学目标：(1)(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示；理解向量的概念，掌握向量的几何表示；(2)(2)掌握向量的加法、减法、数乘的几何运算掌握向量的加法、减法、数乘的几何运算 及代数运算；及代数运算；(3)(3)了解共线向量的概念，理解两个向量了解共线向量的概念，理解两个向量 共线的充要条件；共线的充要条件；(4)(4)掌握平面向量的数量积定义和两个向量掌握平面向量的数量积定义和两个向量 垂直的充要条件；垂直的充要条件；(5)(5)理解平面向量的基本定理，并能简单运用理解平面向量的基本定理，并能简单运用.2023-1-922
