1、高中数学必修高中数学必修 5 知识点知识点 第一章：解三角形第一章：解三角形 一、正弦定理和余弦定理一、正弦定理和余弦定理 1、正弦定理：在C 中，a 、b 、c 分别为角 、 、C 的对边，则有 ( R 为C 的外接圆的半径) 2、正弦定理的变形公式： a 2Rsin ， b 2Rsin ， c 2R sin C ； a sin b sin c sin C 2R sin a 2R ， sin b 2R ， sin C c ； 2R a : b : c sin : sin: sin C ； 3、三角形面积公式： S C 1 bc sin 1 ab sin C
2、 1 ac sin 2 2 2 2 2 2 b2 c2 a2 4、余弦定理：在C 中，有a b c 2bc cos ，推论： cos A 2bc a2 c2 b2 b2 a2 c2 2ac cos B ，推论： cos B 2ac c2 a2 b2 2ab cos C ，推论： cos C a2 b2 c2 2ab 二、解三角形二、解三角形 处理三角形问题，必须结合三角形全等的判定定理理解斜三角形的四类基本可解型，特别要多角度（几何作 图，三角函数定义，正、余弦定理，勾股定理等角度）去理解“边边角”型问题可能有两解、一解、无解 的三种情况，根据已知条件判断解的情况，并能正确求解 1
3、 1、三角形中的边角关系、三角形中的边角关系 （1） 三角形内角和等于 180； （2） 三角形中任意两边之和大于大于第三边，任意两边之差小于小于第三边； （3） 三角形中大边对大大角，小边对小小角； （4） 正弦定理中,a=2R sinA, b=2R sinB, c=2R sinC，其中 R 是 ABC 外接圆半径. P(P a) (P b)(P c) （5） 在余弦定理中:2bccosA= b2 c 2 a 2 . （6） 三角形的面积公式有:S= 1 ah, S= 1 absinC= 1 bcsinA= 1 acsinB , S= 其 2 2 2 2 中，h 是 BC 边上高
4、，P 是半周长. 2 2、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形、利用正、余弦定理及三角形面积公式等解任意三角形 （1） 已知两角及一边，求其它边角，常选用正弦正弦定理. （2） 已知两边及其中一边的对角，求另一边的对角，常选用正弦正弦定理. （3） 已知三边，求三个角，常选用余弦余弦定理. （4） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角，常选用余弦余弦定理. （5） 已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，常选用正弦正弦定理. 3 3、利用正、余弦定理判断三角形的形状、利用正、余弦定理判断三角形的形状 常用方法是：化边为角；化角为边. 4 4、三角
5、形中的三角变换、三角形中的三角变换 （1） 角的变换 因为在 ABC 中 ， A+B+C= ， 所 以 sin(A+B)=sinC ； cos(A+B)= cosC ； tan(A+B)= tanC 。 sin A B cos C , cos A B sin C ； 2 2 2 2 （2） 三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半 （3） 在 ABC 中，熟记并会证明：A，B，C 成等差数列的充分必要条件是B=60 ； ABC 是正 三角形的充分必要条件是A，B，C 成等差数列且 a，b，c 成等比数列. 三、解三角形的应用三、解
6、三角形的应用 1.1. 坡角和坡度：坡角和坡度： 坡面与水平面的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度，用i 表示，根据定 义可知：坡度是坡角的正切，即i tan . h l 2.2. 俯角和仰角：俯角和仰角： 如图所示，在同一铅垂面内，在目标视线与水平线所成的夹角中，目标视线在水平视线的上方时叫做仰 角，目标视线在水平视线的下方时叫做俯角. 3.3. 方位角方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 . 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是
7、相对于正北方向而言的。 4.4. 方向角：方向角： 相对于某一正方向的水平角. 5.5. 视角：视角： 由物体两端射出的两条光线，在眼球内交叉而成的角叫做视角 第二章：数列第二章：数列 一、数列的概念一、数列的概念 1、数列的概念：、数列的概念： 一般地，按一定次序排列成一列数叫做数列数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项项，数列的一般形式 可以写成a1, a2 , a3, ，简记为数列an ，其中第一项a1 也成为首项首项； an 是数列的第n 项，也叫做 数列的通项通项. 数列可看作是定义域为正整数集 N （或它的子集）的函数，当
8、自变量从小到大取值时，该函数对应 的一列函数值就是这个数列. 2、数列的分类：、数列的分类： 按数列中项的多数分为： （1） 有穷数列有穷数列：数列中的项为有限个，即项数有限； （2） 无穷数列无穷数列：数列中的项为无限个，即项数无限. 3、通项公式：、通项公式： 如果数列an 的第n 项 an 与项数n 之间的函数关系可以用一个式子表示成 an f n ，那么这个式 子就叫做这个数列的通项公式通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式. 4、数列的函数特征：、数列的函数特征： 一般地，一个数列an ， 如果从第二项起，每一项都大于它前面的一项，即an1
9、an ，那么这个数列叫做递增数列递增数列; , an , 如果从第二项起，每一项都小于它前面的一项，即an1 an ，那么这个数列叫做递减数列递减数列; 如果数列an 的各项都相等，那么这个数列叫做常数列常数列. 5、递推公式：、递推公式： 某些数列相邻的两项（或几项）有关系，这个关系用一个公式来表示，叫做递推公式递推公式 二、等差数列二、等差数列 1、等差数列的概念：、等差数列的概念： 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，那么这个数列久叫做等差数列，这个常数叫 做等差数列的公差. 即an1 an d （常数） ，这也是证明或判断一个数列
10、是否为等差数列的依据这也是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据. 2、等差数列的通项公式：、等差数列的通项公式： 设等差数列an 的首项为a1 ，公差为d ，则通项公式为： an a1 n 1d am n md,n、m N . 3、等差中项：、等差中项： （1）若a、A、b 成等差数列，则 A 叫做a 与b 的等差中项，且 A= a b ; 2 （ 2 ） 若数列an 为等差数列， 则 an , an1, an2 成等差数列， 即 an1 是 an 与 an2 的等差中项， 且 a = an an2 ；反之若数列a 满足a = an an2 ，则数列a 是等差数列.
11、n1 2 n n1 2 n 4、等差数列的性质：、等差数列的性质： （1） 等差数列an 中，若 m n p q m、n、p、q N , 则 am an ap aq ，若m n 2 p，则 am an 2ap ； （2） 若数列an 和bn 均为等差数列，则数列an bn 也为等差数列； S d = n a （3） 等差数列an 的公差为d ，则 d 0 an 为递增数列， d 0 an 为递减数列， d 0 an 为常数列. 5、等差数列的前、等差数列的前 n 项和项和Sn ： （1） 数列an 的前 n 项和 Sn = a1 a2 a3 an1 an ,n N ；
12、（2） 数列a 的通项与前 n 项和 S 的关系： a S1, n 1 . n n n n Sn1 , n 2 （3） 设等差数列a 的首项为a , 公差为d ，则前 n 项和 S = n a1 an na n n 1 d. n 1 n 2 1 2 6、等差数列前、等差数列前 n 和的性质：和的性质： （1） 等差数列an 中，连续m 项的和仍组成等差数列，即a1 a2 a2m1 a2m2 a3m ,仍为等差数列（即 Sm , S2m Sm , S3m S2m , 成等差数列） ； （2） 等差数列a 的前 n 项和 S =na n n 1 d 2 d n, 当d 0 时， S 可
13、看作关于 n 的 n n 1 2 2 1 2 n 二次函数，且不含常数项； （3） 若等差数列a 共有 2n+1（奇数）项，则 S S =a 中间项且 S奇 = n 1, 若等差数列a 共 n 有 2n（偶数）项，则 S偶 S奇 奇 偶 =nd且 S偶 = an1 . S a n1 S偶 n 奇 n 7、等差数列前、等差数列前 n 项和项和Sn 的最值问题：的最值问题： 设等差数列an 的首项为a1, 公差为d ，则 （1） a1 0且d 0 （即首正递减）时， Sn 有最大值且 Sn 的最大值为所有非负数项之和； （2） a1 0且d 0 （即首负递增）时， Sn 有最小值且 S
14、n 的最小值为所有非正数项之和. n am ,am1 am2 a2m , 三、等比数列三、等比数列 1、等比数列的概念：、等比数列的概念： 如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比是同一个不为零的常数，那么这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 q 表示（ q 0 ）. 即 an1 q q为非零常数 ，这也是证明或判断一个数列是否为等比数列的依据. an 2、等比数列的通项公式：、等比数列的通项公式： 设等比数列a 的首项为a ，公比为q ，则通项公式为：a a qn1 a qnm ,n m, n、m N . n 1 n 1
15、m 3、等比中项：、等比中项： （1）若a、A、b 成等比数列，则 A 叫做a 与b 的等比中项，且 A2 =ab ; （ 2 ） 若数列an 为等比数列， 则 an , an1, an2 成等比数列， 即 an1 是 an 与 an2 的等比中项， 且 a2 =a a ；反之若数列a 满足a2 =a a ，则数列a 是等比数列. n1 n n2 n n1 n n2 n 4、等比数列的性质：、等比数列的性质： （ 1 ） ）等比数列an 中，若 m n p q m、n、p、q N , 则 am an ap aq ，若 m n 2 p，则 a a a2 ； m n p （
16、 2 ） 若数列an 和bn 均为等比数列，则数列an bn 也为等比数列； （ 3 ） 等比数列an 的首项为a1 ，公比为q ，则 a 1 0或 a1 0 a 为递增数列， a1 0 或 a 1 0 a 为递减数列， q 1 0 q 1 n 0 q 1 q 1 n q 1 an 为常数列. 5、等比数列的前、等比数列的前 n 项和：项和： （1） 数列an 的前 n 项和 Sn = a1 a2 a3 an1 an ,n N ； S 1 （2） 数列a 的通项与前 n 项和 S 的关系： a S1, n 1 . n n n n Sn1 , n 2 na1, q 1 （3） 设等比
17、数列a 的首项为a ，公比为q q 0 ，则 S a 1 qn . n 1 n 1 1 q , q 1 由等比数列的通项公式及前 n 项和公式可知，已知a1, q, n, an , Sn 中任意三个，便可建立方程组求出另外两 个. 6、等比数列的前、等比数列的前 n 项和性质：项和性质： 设等比数列an 中，首项为a1 ，公比为q q 0 ，则 （1） 连续 m 项的和仍组成等比数列，即a1 a2 a2m1 a2m2 a3m , 仍为等比数列（即 Sm , S2m Sm , S3m S2m , 成等差数列） ； （2） 当q 1时， S a 1 qn a 1 1 qn a1 a1
18、qn a1 qn a1 ， n 1 q 1 q 1 q 1 q q 1 q 1 设 a1 q 1 t ，则 S n tq n t . 四、递推数列求通项的方法总结四、递推数列求通项的方法总结 1、递推数列的概念：、递推数列的概念： 一般地，把数列的若干连续项之间的关系叫做递推关系，把表达递推关系的式子叫做递推公式，而把由 递推公式和初始条件给出的数列叫做递推数列. 2、两个恒等式：、两个恒等式： 对于任意的数列an 恒有： （1） an a1 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 （2） a a a2 a3 a4 an , a 0, n N n
19、1 a a a a n 1 2 3 n1 am ,am1 am2 a2m , n1 n n1 n n1 n a 3、递推数列的类型以及求通项方法总结：、递推数列的类型以及求通项方法总结： 类型一类型一（公式法（公式法） ：已知 S （即a a f (n) ）求a ，用作差法： a S1,(n 1) n 1 2 n n Sn Sn 1,(n 2) 类型二类型二（累加法（累加法） ：已知：数列an 的首项a1 ,且an1 an f n,n N ，求通项an . 给递推公式an1 an f n,n N 中的 n 依次取 1,2,3，n-1,可得到下面 n-1 个式子： a2
20、a1 f 1, a3 a2 f 2, a4 a3 f 3, , an an1 f n 1. 利 用公式an a1 a2 a1 a3 a2 a4 a3 an an1 可得： an a1 f 1 f 2 f 3 f n 1 . 类型三类型三（累乘法（累乘法） ：已知：数列a 的首项a ,且 an1 f n, n N ，求通项a . n 1 n n 给递推公式 an1 an f n, n N 中的 n 一次取 1,2,3，n-1,可得到下面 n-1 个式子： a2 a1 f 1, a3 a2 f 2, a4 a3 f 3 , f n 1 . 利用公式a a a2 a3 a4
21、 an , a 0, n N 可得： n 1 a a a a n 1 2 3 n1 an a1 f 1 f 2 f 3 f n 1. 类型四（类型四（构构造造法法） ：形形如如 a pa q 、 a pa qn （ k,b, p, q 为常数）的递推数列都可以用待待 定系数法转化为公定系数法转化为公比比为为k 的等比数列后的等比数列后，再求an 。 an1 pan q 解法解法：把原递推公式转化为： a n1 t p(an t) ，其中t q 1 p ，再利用换 元法转化为等比数列求解。 a pa qn 解法解法：该类型较要复杂一些。一般地，要先在原递推公式两边同除以qn1 ，得： an1 p
22、 an 1 引入辅助数列 b （ 其中 b an ）， 得 ： b p b 1 再应用 qn1 q qn q n n q n n1 q n q an1 pan q 的方法解决。 an , an an1 n 1 2 类型五类型五（倒数法（倒数法） ：已知：数列a 的首项a ,且 a pan , r 0, n N ，求通项a . n 1 n1 qan r a pan 1 qan r 1 r q 1 r 1 q n1 qa r a pa a pa p a p a p n n1 n n1 n n1 n 1 1 r q 设bn a ,则bn1 a .
23、bn1 p bn p ， n n1 若 r p, 则b b q b b = q ，即数列b 是以 q 为公差的等差数列. n1 n p n1 n p n p 若 r p, 则bn1 r q p b n p （转换成类型四 ）. 五、数列常用求和方法五、数列常用求和方法 1.1. 公式法公式法 直接应用等差数列、等比数列的求和公式，以及正整数的平方和公式，立方和公式等公式求解. 2.2. 分组求和法分组求和法 一个数列的通项公式通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求 和而后相加减. 3.3. 裂项
24、相消法裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消正负项相互抵消，于是前 n 项和就变成了首尾少数项之和. 4.4. 错位相减法错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的， 此时可把式子 Sn a1 a2 an1 an 的两边同乘以公比q(q 0且q 1) ， 得到qSn a1q a2q an1q anq ， 两式错位相减整理即可求出 Sn . 5 5、常用公式：、常用公式： 2 2 2 n n 12n 1 1、平方和公式：1 2 n 6 n n 1 n n k 2、立方和公式：13 23
25、 n 1 3 n3 1 2 n 1 n 2 n n 1 2 3、裂项公式： 分式裂项： 1 1 1 ; 1 1 1 1 2 n n 1 n n 1 n n k k n n k . 根式裂项： 1 n; 1 1 n n n 1 k 六、数列的应用六、数列的应用 1 1、零存整取模型：、零存整取模型： 银行有一种叫作零存整取的储蓄业务,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可 以取出全部本利和,这是整取.规定每次存入的钱不计复利. 注：单利的计算是仅在原本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为:利息=本金 利率
26、 存期.以符号 p 代表本金,n 代表存期,r 代表利率,s 代表本金和利息和(即本利和),则有 s=p(1+nr). 零存整取是等差数列求和在经济方面的应用. 2 2、定期自动转存模型：、定期自动转存模型： 银行有一种储蓄业务为定期存款自动转存.例如,储户某日存入一笔 1 年期定期存款,1 年后,如果储户不 取出本利和.则银行自动办理转存业务,第 2 年的本金就是第 1 年的本利和. 注：复利是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时每一期本金的数额是不同的.复利的计算公式 是:s=p(1+r)n. 定期自动转存（复利）是等比数列求和在经济方面的应用. 3 3、分期付
27、款模型：、分期付款模型： 分期付款要求每次付款金额相同外,各次付款的时间间隔也相同.分期付款总额要大于一次性付款总额, 二者的差额与分多少次付款有关,且付款的次数越少,差额越大.分期付款是等比数列的模型. 采用分期付款的方法，购买售价为 a 元的商品（或贷款 a 元） ，每期付款数相同，购买后 1 个月（或 1 年）付款一次，如此下去，到第 n 次付款后全部付清，如果月利率（或年利率）为 b，按复利计算，那 么每期付款 x 元满足下列关系： n k n b 设第 n 次还款后，本利欠款数为an ，则 a1 a 1 b x, a2 a1 1 b x, a3 a2 1 b x, , a
28、n an1 1 b x, 由a a 1 b x a x 1 b a x 知， n n1 n b n1 b 数列a x 是以a x a 1 b x x 1 b a x 为首项， q 1 b 为公比的等比数列. n b 1 b b b a x a x qn1 1 b a x 1 bn1 a x 1 b n , n b 1 b b b a a x 1 b n x . n b b x n x ab 1 b n 令a 0 得： a 1 b =0 ， x b 1 b n 1 第三章：不等式第三章：不等式 一、不等式的解法一、不等式的解法 1 1、不等式的同解原理：、不
29、等式的同解原理： 原理 1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得不等式与原不等式是同解不等式； 原理 2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数或同一个大于零的整式，所得不等式与原不等式是同 解不等式； 原理 3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数或同一个小于零的整式，并把不等式改变方向后所得 不等式与原不等式是同解不等式。 2 2、一元二次不等式的解法：、一元二次不等式的解法： 一元二次不等式的解集的端点值是对应二次方程的根，是对应二次函数的图像与 x 轴交点的横坐标。 二次函数 （ ） 的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 1 2 注意：
30、注意： （ 1 ） 一元二次方程ax2 bx c 0(a 0) 的两根 x , x 是相应的不等式ax2 bx c 0(a 0) 的解集的 端点的取值，是抛物线 y ax2 bx c(a 0) 与 x 轴的交点的横坐标； （ 2 ） 表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二 次项系数为正的形式，然后讨论解决； （ 3 ） 解 集 分 0 , 0 , 三 种 情 况 ， 得 到 一 元 二 次 不 等 式 ax2 bx c 0(a 0) 与 ax2 bx c 0(a 0) 的解集。 3 3、一元高次不等式的解法：、一元高次不等式的解法： &
31、nbsp;解高次不等式的基本思路是通过因式分解，将它转化成一次或二次因式的乘积的形式，然后利用数轴标 根法或列表法解之。 数轴标根法原则：（1） “右、上”（2） “奇过，偶不过” 4 4、分式不等式的解法：、分式不等式的解法： （1） 若能判定分母（子）的符号，则可直接化为整式不等式。 （2） 若不能判定分母（子）的符号，则可等价转化： f x 0 f x f x g x 0 f x g x 0; 0 . g xg x g x 0 f x 0 f x f x g x 0 f x g x 0; 0 . g xg x g x 0 5 5、指数、对数不等式的解法
32、：、指数、对数不等式的解法： a f x ag x a 1 f x g x ; （1） a f x ag x 0 a 1 f x g x （2） loga f x loga g x(a 1) f x g x 0; loga f x loga g x(0 a 1) 0 f x g x ab p 2 6 6、含绝对值不等式的解法：、含绝对值不等式的解法： f x a a 0 f x a或f x a; f x a a 0 a f x a. f x g x f x g x或f x g x ; f x g x g x f x g x . f x g x f 2 x g 2 x .
33、 对于含有多个绝对值的不等式，利用绝对值的意义，脱去绝对值符号。 二、基本不等式二、基本不等式 1、基本不等式： 若 a 0 ， b 0 ，则 a b 2 ab ，当且仅当a b 时，等号成立 a b 称为正数a 、b 的算术平均数， 2 称为正数a 、b 的几何平均数 a b 2 变形应用： ab a 0, b 0 ，当且仅当a b 时，等号成立 2 2、基本不等式推广形式： a b 2 如果a,b R ，则 2 1 1 ，当且仅当a b 时，等号成立 a b 3、基本不等式的应用：设 x 、 y 都为正数，则有： 若 x y s （和为定值） ，则当 x y 时，积 xy 取得
34、最大值 s 4 若 xy p （积为定值） ，则当 x y 时，和 x y 取得最小值2 注意注意：在应用的时候，必须注意“一正二定三相等一正二定三相等”三个条件同时成立。 4、常用不等式： 若a、b R,则a2 b2 2ab 2ab； 2 a2 b2 a b 2 ab a2 b2 2 域） ；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划 0 0 三、简单的线性规划问题三、简单的线性规划问题 1、二元一次不等式表示平面区域: 在平面直角坐标系中，已知直线 Ax+By+C=0，坐标平面内的点 P（x ，y ） B0 时，Ax0+By0+C0，
35、则点 P（x0，y0）在直线的上方；Ax0+By0+C0，则点 P（x0，y0）在直线的 特 级 教 师特 级 教 师 王 新 敞王 新 敞 wxckt 新 疆新 疆 源 头 学 子 小 屋源 头 学 子 小 屋 特 级 教 师特 级 教 师 王 新 敞王 新 敞 wxckt 对于任意的二元一次不等式 Ax+By+C0（或0） ，无论 B 为正值还是负值，我们都可以把 y 项的系 数变形为正数 新疆新疆 源 头 学 子 小 屋源 头 学 子 小 屋
36、; 特 级 教 师特 级 教 师 王 新 敞王 新 敞 wxckt 当 B0 时，Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 上方的区域；Ax+By+C0 表示直线 Ax+By+C=0 下方的区域 新疆新疆 源 头 学 子 小 屋源 头 学 子 小 屋 wxckt 2、线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 王 新 敞王 新 敞 wxckt 新疆新疆 源 头 学 子 小 屋源 头 学 子 小 屋 &
37、nbsp;特 级 教 师特 级 教 师 wxckt 满足线性约束条件的解（x，y）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义 特 级 教 师特 级 教 师 王 新 敞王 新 敞 wxckt 新 疆新 疆 源 头 学 子 小 屋源 头 学 子 小 屋 特 级 教 师特 级 教 师 王 新 敞王 新 敞 wxckt 王 新 敞王 新 敞 wxckt 新 疆新 疆 源 头 学 子 小 屋源 头 学 子
38、 小 屋 特 级 教 师特 级 教 师 wxckt 3、线性规划问题一般用图解法，其步骤如下： （1） 根据题意，设出变量 x、y； （2） 找出线性约束条件； （3） 确定线性目标函数 z=f（x，y） ； （4） 画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域） ； （5） 利用线性目标函数作平行直线系 f（x，y）=t（t 为参数） ； （6） 观察图形，找到直线 f（x，y）=t 在可行域上使 t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案 特 级 教 师特 级 教 师 王 新 敞王 新 敞 wxckt 新 疆新 疆 源 头 学 子 小 屋源 头 学 子 小 屋 特 级 教 师特 级 教 师 王 新 敞王 新 敞 wxckt 王新王新 新 新 疆 疆 wxc k t1 26 . 下方 问题
