1、1.4 1.4 倒格子倒格子 由于晶格具有周期性由于晶格具有周期性,描述晶格的物理量都应当具有周期性。描述晶格的物理量都应当具有周期性。对于周期函数，在数学上可以进行付里叶展开（变换）。对对于周期函数，在数学上可以进行付里叶展开（变换）。对于晶格周期函数进行展开，就可以引入倒格子的概念。于晶格周期函数进行展开，就可以引入倒格子的概念。在固体物理中，倒格子是一个极其重要的概念，一个新概念，在固体物理中，倒格子是一个极其重要的概念，一个新概念，也是一个比较抽象的概念。对应波矢空间也是一个比较抽象的概念。对应波矢空间,或状态空间。空间矢量或状态空间。空间矢量量纲量纲 长度长度-1-1。倒格子概念的用
2、途：倒格子概念的用途：X-rayX-ray衍射分析衍射分析 晶格振动：原子运动状态晶格振动：原子运动状态的的描写描写 能带理论：电子由运动状态能带理论：电子由运动状态的的描写描写 112233V(x)V(xl al al a)(1)(1)倒格子：倒格子：由晶体点阵用的矢来定义由晶体点阵用的矢来定义,设有一正格子基矢为：设有一正格子基矢为：定义一相应的倒格子基矢定义一相应的倒格子基矢 ：引进一倒格矢引进一倒格矢:,:,其中其中h h1 1,h,h2 2,h,h3 3为为 整数，由整数，由G G构成一倒格子空间构成一倒格子空间.即：即：由由 构成的点阵为原点阵（构成的点阵为原点阵（）的倒易点阵，）
3、的倒易点阵，G G 称倒格矢，与格矢量称倒格矢，与格矢量 对应对应.G.G的量纲为的量纲为 LL-1-1,与波矢的相同。与波矢的相同。可见：知道可见：知道 ，就知道，就知道 321,aaa321,bbb231123aab2a(aa)312123aab2a(aa)123123aab2a(aa)1 2 3112233h h hGh bh bh b 321,aaa321,bbbR321,bbb(2).(2).倒格子的性质倒格子的性质倒格子基矢和正格子基矢的正交性倒格子基矢和正格子基矢的正交性2,i=jab2=ijij0,ij lh112233112233112233RG(l al al a)(h b
4、h bh b)2(l hl hl h)2 倒格子矢量和正格子矢量之间的广义关系倒格子矢量和正格子矢量之间的广义关系（3）正、倒格子体积的关系）正、倒格子体积的关系 正格子原胞的体积为：正格子原胞的体积为：倒格子原胞的体积为：倒格子原胞的体积为：则：则：)(321bbb )(321aaa 3)2(*倒格子倒格子 与晶面指数为（与晶面指数为（h h1 1h h2 2h h3 3）的晶面族之间）的晶面族之间的关系的关系倒格矢的几何意义 （1）垂直于（h h1 1h h2 2h h3 3）晶面族）晶面族 如图：如图：o o为某格点，为某格点，为原胞基矢，为原胞基矢，ABCABC为距为距o o最近的晶面
5、最近的晶面 (h(h1 1h h2 2h h3 3),),分别与三个基矢相交于：分别与三个基矢相交于：与与ABCABC面交于面交于M.M.垂直于垂直于ABCABC面面.即即 垂直于垂直于(h1h2h3)(h1h2h3)晶面晶面 这这一性质将晶面族与倒格子格矢量联系起来，是一性质将晶面族与倒格子格矢量联系起来，是X-rayX-ray依据依据1 2 3h h hG1 2 31 12233hh hGh bh bh b a1a3OCABa2MGh321,aaa332211/,/,/hahaha1 2 31 12233h h hGh bh bh b OCOACA OCOBCB 0)11(2)()(332
6、2113311 bhbhbhhahaGCA0)11(2)()(3322113322 bhbhbhhahaGCB123h h hG1 2 3h h hG(2)晶面系中相邻的面间距 由上图可知，晶面间距dh1h2h3 即为OM的长度,则：(3)用这一关系写出晶面族的方程为：晶面族的方程为：代表从正格子原点到第代表从正格子原点到第n n个晶面上任意一点的矢量个晶面上任意一点的矢量.从原从原点到第点到第n n个晶面的距离为个晶面的距离为:1231232h h hh h hdGnGX2X321321111211113213213212hhhhhhhhhhhhhhhGGbhbhbhhaGGoAOMdGnG
7、GXnd2a1a3OCABa2MGh 任何一物理量，在晶格中具有：(r)=(r+R)，R为格矢量，则周期函数可以作傅立叶展开.同样，f(x+a)=f(x),则以a为周期的函数可以展开为：若一维晶格，周期为a,则 为倒格矢，展开为：推广到三维：其中 为倒格矢，h1 h2 h3为整数，则：dr 为小体积元，为正格子原胞体积xainnneCxfaxf2)()(a 2xGinnneCxf)(321)(321332211)()(hhhrbhbhbhihhhrGiGeeGr332211bhbhbhGdrerGrG)(1)(2)(2)函数函数 的展开的展开(以晶格周期为周期的函数的傅立叶展开以晶格周期为周期
8、的函数的傅立叶展开)lv(x)v(x R)可见，一个具有正格子周期的物理量，在正格子表述和在倒格子的表述之间遵从傅立叶变换的关系。每个特定的晶格结构有两个点阵同它联系，一个是晶格点阵，一个是倒易点阵。晶体的衍射斑点是晶体倒易点阵的映像，通过傅立叶变换即可由之得出晶体的实点阵结构。倒格子所在的空间，实际是波矢空间，也称傅立叶空间。由于常用波矢描述运动状态（如电子的运动或晶格振动状态）。故倒空间可理解为状态空间，而正格子空间为位置空间或坐标空间。倒空间的每一点都有一定的意义，而格点Gn有着特殊的重要性。1.5 1.5 晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性 晶体内部结构的规则性用晶体内部结构的规则性用
9、braviasbravias格子概括。对整个单晶格子概括。对整个单晶来说，表现为来说，表现为外形的规则性或宏观对称性外形的规则性或宏观对称性。对晶体对称性的研究可以定性或半定量地确定与其结构相关的物对晶体对称性的研究可以定性或半定量地确定与其结构相关的物理性质。并能简化某些数学计算。理性质。并能简化某些数学计算。如原子结构具有中心反演对称性，则原子无固有偶极矩；若如原子结构具有中心反演对称性，则原子无固有偶极矩；若一个体系具有镜面对称性，面对称操作可以变左旋矢量为右旋矢量，一个体系具有镜面对称性，面对称操作可以变左旋矢量为右旋矢量，故具有镜面对称性的材料是无旋光性。故具有镜面对称性的材料是无旋
10、光性。从数学角度看，晶体对称性是对晶体进行几何变换而能保持晶从数学角度看，晶体对称性是对晶体进行几何变换而能保持晶 体性能的不变性。一个变换就是一种操作。定量研究对称操作集体性能的不变性。一个变换就是一种操作。定量研究对称操作集合的性质要用群论。本节介绍对称性的一些问题，初步了解这方合的性质要用群论。本节介绍对称性的一些问题，初步了解这方面知识。面知识。1.1.对称操作对称操作 晶体对称性可以从外形上看出来，例如：晶体对称性可以从外形上看出来，例如：外形愈规则，对称性愈高。具体：外形愈规则，对称性愈高。具体：若对晶体进行一定的几何变换而能复原，这种操作叫对称操作。若对晶体进行一定的几何变换而能
11、复原，这种操作叫对称操作。显然显然 晶体对称操作愈多，对称性愈高。晶体对称操作愈多，对称性愈高。2.2.点对称操作及数学表述点对称操作及数学表述 （1 1）概念：相对于晶体的某一点、线、面作某种变换而能复原，）概念：相对于晶体的某一点、线、面作某种变换而能复原，则这种变换叫晶体的则这种变换叫晶体的点对称操作点对称操作。其中点、线、面分别叫对称中。其中点、线、面分别叫对称中 心、对称轴、对称面。心、对称轴、对称面。（2 2）数学中的线性变换）数学中的线性变换 在在xyzxyz坐标系中的点（坐标系中的点（x,y,z),x,y,z),经过一线性变换，在新坐标系经过一线性变换，在新坐标系xyzxyz中
12、坐标为（中坐标为（x,y,zx,y,z）.变换矩阵为：变换矩阵为：则则X=AX.X=AX.变换中，任意两点之间距离不变，即变换中，任意两点之间距离不变，即:左边左边=右边右边 则：则：变换矩阵行列式为变换矩阵行列式为1。变换为正交变换。如果一个物体在某一正交变换下不变，称这个变化为该物体的一个对称操作，用一个正交矩阵表示。zyxzyx333231232221131211a a aa a aa a a333231232221131211a a aa a aa a aA222222zyxzyxAXAXAXXAXX)(XXIAA1AA1A 例如例如 绕绕z z轴旋转轴旋转角变换的正交矩阵为：例如 中
13、心反演的正交矩阵为：例如右图中对称性描述：*旋转：对圆可以绕旋转任意角度.正方形中心轴旋转/2，3/2,2.等腰梯形旋转，规则梯形和四边形除旋转2外，不能是其它角度.*镜像：圆任意直径;正方形对边中点连线及对角线;规则梯形对边中点连线 可见：对称性的高低可以用操作数来描述，操作数越多，对称性越高。1 0 00 cos sin0 sin cos1-0 0 0 1-0 0 0 1例1.立方体的对称操作a.不动 1个b.绕三个转/2，3/2 9个c.绕6个转 6个d.绕4个111转 2/3，4/3 8个24个纯旋转操作，每个加中心反演，共48个(Oh)例2.正四面体对称操作:(1)12个纯转动：3个
14、转，4个111 转2/3，4/3,不动(2)立方体剩余12个转动加中心反演复合操作(Td)(d)x1x1 例例3.3.正六角柱正六角柱 *不动不动 *绕上下面心连线转绕上下面心连线转2 2/6,2/3,4/3,5/3 *绕对棱中点连线转绕对棱中点连线转/2 （3个)*绕对面中心连线转/2 （3个)12转动，再加中心反演，共24个对称操作 分析对称性一一列出对称操作很麻烦分析对称性一一列出对称操作很麻烦,为简为简 便，不列对称操作，而列出对称素。便，不列对称操作，而列出对称素。一个物体的旋转轴或旋转一个物体的旋转轴或旋转-反演轴统称该物体的对称素。反演轴统称该物体的对称素。*旋转轴：一个物体绕某
15、一转轴旋转旋转轴：一个物体绕某一转轴旋转2 2/n 及其整数倍后复原,该轴 称物体的n重旋转轴，记作n。*旋转反演轴：物体旋转2 2/n，再作中心反演的联合操作及联合操 作的整数倍后不变，这个轴称物体的n重旋转反演轴,记 n操作过程中保持不变的点、线、面 *代表线旋转代表线旋转，再作中心反演，如图，再作中心反演，如图 实际存在一个镜面，这个对称素一般称实际存在一个镜面，这个对称素一般称 镜面，用镜面，用m m表示，即表示，即 =m.=m.3.3.对称操作群对称操作群（Group)Group)一个物体的全部对称操作的集合称对称操作群一个物体的全部对称操作的集合称对称操作群.*群的定义：群的定义：
16、它是一个数学它是一个数学“元素元素”集合，数学集合，数学“元素元素”（群元）之（群元）之间定义一个间定义一个“乘法乘法”（运算）（运算）规则，并在此规则下满足：规则，并在此规则下满足：(1)(1)封闭性（闭合性），即：封闭性（闭合性），即：AG G B G C=AB G C=AB 则：则：C GC G(2)(2)存在一单位元素存在一单位元素E E，AG G AE=A=A(3)(3)元素间的乘法运算满足结合律元素间的乘法运算满足结合律:A(BC)=(AB)C:A(BC)=(AB)C，但不满足交换律但不满足交换律,实际上矩阵运算就不满足交换率。实际上矩阵运算就不满足交换率。（4 4）逆元存在）逆元
17、存在:对于任意的一个群元对于任意的一个群元A A，都有，都有群的例子：所有整数相对其群的例子：所有整数相对其加法加法运算构成一个群（整数群）。运算构成一个群（整数群）。封闭性：所有整数相加仍然为一整数。封闭性：所有整数相加仍然为一整数。单位元：整数单位元：整数“0”0”。结合律：整数相乘满足结合律结合律：整数相乘满足结合律逆元存在：整数和其相对应的逆元存在：整数和其相对应的“负整数负整数”。这里的群元为无穷多个，乘法呢？）。这里的群元为无穷多个，乘法呢？）AAAO221AAE思考题：所有非零的实数是否相对于数的乘法运算构成一个群呢？思考题：所有非零的实数是否相对于数的乘法运算构成一个群呢？*对
18、称操作群的说明对称操作群的说明（回答为什么对称操作构成一个群？）：（回答为什么对称操作构成一个群？）：“乘法规则乘法规则”为连续操作。并满足四个条件：为连续操作。并满足四个条件：1.1.单位元素就是不动；单位元素就是不动；2.2.逆群元存在；逆群元存在；3.3.结合律为操作的先后次序。结合律为操作的先后次序。4.4.对称操作存在封闭性。对称操作存在封闭性。所以对称操作可以组成群。所以对称操作可以组成群。（应讨论晶体满足什么条件对称操作形成封闭的群）（应讨论晶体满足什么条件对称操作形成封闭的群）EzEyExDzDyDxzzzyzxyzyyyxxzxyxx ED EzEyExDzDyDxzzyyx
19、x 0 0 0 0 0 0 EzEyExDzDyDx 0 0 0 0 0 0 /4.4.对称性与宏观物理性质的关系对称性与宏观物理性质的关系 例如：介电张量例如：介电张量 一般条件下：一般条件下：，为二阶张量 但满足一定对称性，则可以简化对角矩阵。如立方对称：六角对称：（双折射）在实际的晶体结构中，能存在的对称操作在实际的晶体结构中，能存在的对称操作 能有哪些呢？下面就来分析得出结论。能有哪些呢？下面就来分析得出结论。xyz（1 1）旋转）旋转 设设A A、B B为晶面上任意二格点，为晶面上任意二格点，相距为相距为a a，假设有过，假设有过A A点垂直于晶面点垂直于晶面的轴，转的轴，转为对称操
20、作。为对称操作。旋转后：旋转后：B BBB，BB也是格点，也是格点，同理，过同理，过B B点作点作-旋转，旋转，A AAA.A.A点为格点点为格点则：则：m m为整数为整数.而：而：则：则：1-2cos=m 1-2cos=m，cos-1cos-1，11，m m在在-1-1，3 3，则：则：旋转操作中旋转操作中只能取以上值只能取以上值.即即 旋转度旋转度 n=1,2,3,4,6,n=1,2,3,4,6,不可能用不可能用5,7,5,7,旋转轴（旋转轴（传统上传统上）。）。ABBA mAB AB)cos21()2sin(21 ABABBA22,32,42,62,01,0,1,2,3m(2)(2)旋转
21、旋转反演的复合操作反演的复合操作 晶格晶格 反演为反演为-R,-R,仍为仍为BraviasBravias格子格子 单就反演，没有什么限制。旋转只有单就反演，没有什么限制。旋转只有1,2,3,4,61,2,3,4,6，因此，因此旋转旋转反演也只有：反演也只有：只有只有1010种对称素的操作。但种对称素的操作。但 和和 不是最基本的不是最基本的.因为：因为：在以上十种对称素的基础上组成的对称操作群一在以上十种对称素的基础上组成的对称操作群一般称点群。般称点群。=3+i =3+m36332211alalalR1236436 7 7个晶系个晶系,1414种种BraviasBravias格子格子.按照对
22、称性的顺序依次是：按照对称性的顺序依次是：三斜、单斜、正交三斜、单斜、正交四方、六角、三角、正方四方、六角、三角、正方 注意：注意：*只有加底心、面心原只有加底心、面心原 子才可能等价子才可能等价 *但不是所有的晶系都可加但不是所有的晶系都可加 如三角、立方有如三角、立方有3 3度轴度轴,三个面等价，不能有底心三个面等价，不能有底心 六角加心，破坏六角加心，破坏6 6度对称性度对称性.三斜单斜正交四方六角三角正方 补充题补充题1.1.证明在二维晶格中，倒格子原胞面积与正格子原胞面积互为倒数证明在二维晶格中，倒格子原胞面积与正格子原胞面积互为倒数2.2.证明证明:(1)(1)在二维晶格中，密勒指
23、数为在二维晶格中，密勒指数为(hk(hk)的晶列与倒格矢的晶列与倒格矢垂直，其中垂直，其中 为倒格子基矢：为倒格子基矢：（2 2）晶列间距为）晶列间距为21bkbhGhk21,bbhkhkGd1 1-8.晶体表面的几何结构晶体表面的几何结构 前面所讲内容都假定晶体在三个方向是无限延伸的，这是理想情况.实际晶体总有表面。当研究晶体内部性质时，晶体大小至少是m量级，与原胞尺寸相比很大，表面所占的比例也很小，可以忽略，所以前面的模型仍是很好的模型。但是，表面与内部性质毕竟不同，特别是科技的发展，要利用薄膜做器件，表面的性质变得突出了。20世纪60年代，表面的研究很活跃，并形成了“表面物理”这一学科。
24、1.二维晶格 从几何结构上看，表面是一个二维晶格.二维情况比较简单只考虑平行于表面方向上的周期性，可以找出相应的原胞与基矢，其Bravias格子为：其中 、为基矢。基矢的选取采用使得平行四边形面积最小。一维晶格呢？零维呢？（在凝聚态物理学中统称为低维系统）2211alalR1a2a2.表面结构的重构成 晶体表面的原子排列与晶体内部的原子排列方式不同,这种现象就称为表面的重构成现象.1-91-9非晶材料的结构非晶材料的结构 非晶很常见非晶很常见,如玻璃如玻璃SiOSiO2 2。人们接触非晶很早，但研究。人们接触非晶很早，但研究的比较晚，的比较晚，2020世纪世纪5050年代以后才开始。但发展很快
25、，年代以后才开始。但发展很快，1977Mott1977Mott和和AndersonAnderson的模型获得了诺贝尔奖。的模型获得了诺贝尔奖。8383年出版第一本教材（非晶物理学）。年出版第一本教材（非晶物理学）。5050年代开始年代开始,70,70年代发展起来年代发展起来,80,80年代进入课堂，但无本年代进入课堂，但无本科生课程科生课程.*非晶、晶体的区别 所有物质原子排列分为：有序、无序所有物质原子排列分为：有序、无序 液体一袋乒乓球一袋乒乓球,口袋形状可变口袋形状可变,球位置可变球位置可变,总体积不变总体积不变,有有 一定的粘滞系数一定的粘滞系数,当粘滞系数变大当粘滞系数变大,不能任意
26、滑动不能任意滑动,就具有一定刚性就具有一定刚性,称非晶，非晶也不是完全无序，是短程有序。称非晶，非晶也不是完全无序，是短程有序。长 程 有 序 晶 体(微 晶)有 序 非 晶 液 态 淬 火 而 成短 程 有 序液 晶无 序 气 体二维规则网路无规网路1-10 1-10 准晶态准晶态 在晶体中不存在在晶体中不存在5 5度轴。但度轴。但19841984美国的美国的ShechtmanShechtman等人在急冷的等人在急冷的AlMnAlMn合金中观察到合金中观察到5 5重对称轴重对称轴.要解释这种现象，人们想到要解释这种现象，人们想到19741974年数学家年数学家PenrosePenrose数学
27、游戏数学游戏.两种四边形，其边长两种四边形，其边长之比为之比为1.6181.618。用这。用这两种四边形有无穷多两种四边形有无穷多方法可排列成五度对称，方法可排列成五度对称，在在5 5度方向只有长度度方向只有长度1 1和和 AlMn合金的电子衍射图箭风筝*所有线段之间夹角为所有线段之间夹角为2n2n/5。1981年Marckay把penrose拼图发展到三维，引进准晶的概念。准晶的特点：准晶的特点：*具有长程的取向序，而具有长程的取向序，而无长程的平移对称序无长程的平移对称序*取向序具有晶体周期性所取向序具有晶体周期性所不能容纳的点群对称性不能容纳的点群对称性沿取向序对称轴方向（沿取向序对称轴方向（I,I,II,IIIII,III.).)具有准周期具有准周期性由两个或两个以上性由两个或两个以上不可约长度按特定的序列不可约长度按特定的序列方向排列。方向排列。准晶是亚稳态，急冷时小晶粒为准晶是亚稳态，急冷时小晶粒为2020面体、面体、3030面体等排列，长大后面体等排列，长大后又变为普通晶体。又变为普通晶体。AlMnAlMn在在350350度下几个小时变为晶体。度下几个小时变为晶体。Penrose拼图
