1、1-2 圆周运动和一般曲线运动圆周运动和一般曲线运动1.1.切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物采用自然坐标系，可以更好地理解加速度的物理意义。理意义。在运动轨道上任一点建立在运动轨道上任一点建立正交坐标系正交坐标系,其一根坐标轴沿轨其一根坐标轴沿轨道切线方向道切线方向,正方向为运动的前正方向为运动的前进方向；一根沿轨道法线方向，进方向；一根沿轨道法线方向，正方向指向轨道内凹的一侧。正方向指向轨道内凹的一侧。tenetene切向单位矢量切向单位矢量te法向单位矢量法向单位矢量ne显然，轨迹上各点处，坐标轴的方位不断变化。显然，轨迹上各点处，坐标
2、轴的方位不断变化。1.1 自然坐标系自然坐标系ttv ev 由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因由于质点速度的方向一定沿着轨迹的切向，因此，自然坐标系中可将速度表示为：此，自然坐标系中可将速度表示为：tv ettsedd由加速度的定义有由加速度的定义有tvddattveddtvtdd e切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度1.2 1.2 自然坐标系下的加速度自然坐标系下的加速度teod dsnetePtePtetedd nteeddddddtnttee()ndRR dtenRve切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度以圆周运动为例：以圆周运动为例：如图，质点在如图，质点在dt
3、 时间内经历弧长时间内经历弧长ds，对应于角，对应于角位移位移d ，切线的方向改变，切线的方向改变d 角度。角度。由矢量三角形法则可求出极限由矢量三角形法则可求出极限情况下切向单位矢量的增量为情况下切向单位矢量的增量为ted即即 与与P点的切向正交。因此点的切向正交。因此teonetePanata 加速度加速度attveddnRve2tvatddRvan2即圆周运动的加速度可分解为两即圆周运动的加速度可分解为两个正交分量：个正交分量：at称切向加速度，表示质点速率变化的快慢；称切向加速度，表示质点速率变化的快慢；an称法向加速度，反映质点速度方向变化的快慢。称法向加速度，反映质点速度方向变化的
4、快慢。切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度 上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式中半径但式中半径R 要用曲率半径要用曲率半径 代替。代替。tangential accelerationnormal accelerationat 等于等于0,an等于等于0,质点做什么运动？质点做什么运动？at 等于等于0,an不等于不等于0,质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0,an等于等于0,质点做什么运动？质点做什么运动？at 不等于不等于0,an不等于不等于0,质点做什么运动？质点做什么运动？讨论：下列情况时，质点各作什么运动？讨
5、论：下列情况时，质点各作什么运动？切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度ntaaa1tan的的夹夹角角给给出出为为的的方方向向由由它它与与法法线线方方向向attveddnRve2由由22ntaaa222dd Rvtva的大小为的大小为2.圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述oxy 用位矢、速度、加速度描用位矢、速度、加速度描写圆周运动的方法，称线量描写圆周运动的方法，称线量描述法；也可用一个角度来确定述法；也可用一个角度来确定其位置，称角量描述法。其位置，称角量描述法。A：tB：t+t 设质点在设质点在oxy平面内绕平面内绕o点、沿半径为点、沿半径为R的轨道作的轨道作圆周运动，如图。以圆
6、周运动，如图。以ox轴为参考方向，则质点的轴为参考方向，则质点的角位置角位置(angular position)为为 角位移为角位移为 规定反时针为正规定反时针为正平均角速度为平均角速度为t圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述角速度角速度tt0limtdd角加速度角加速度22ddddtt角角 速速 度度 的的 单位：单位：弧度弧度/秒秒(rad s-1)；角加速度的单位：角加速度的单位：弧度弧度/平方秒平方秒(rad s-2)。讨论讨论：(1)角加速度角加速度 对运动的影响：对运动的影响：等于零，质点作匀速圆周运动；等于零，质点作匀速圆周运动；不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动；不等于零但
7、为常数，质点作匀变速圆周运动；随时间变化，质点作一般的圆周运动。随时间变化，质点作一般的圆周运动。圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述)(22/02022000ttt (2)质点作匀速或匀变速圆周运动时质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、的角速度、角位移与角加速度的关系式为角位移与角加速度的关系式为)(22/02022000 xxavvattvxxatvv与匀变速直线运动的几个关系式与匀变速直线运动的几个关系式比较知：比较知：两者数学形式完全相同两者数学形式完全相同,说明用角量描述说明用角量描述,可把可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题
8、。圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述ROx线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系 圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用圆周运动既可以用速度、加速度描述，也可以用角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。角速度、角加速度描述，二者应有一定的对应关系。+0 0+t+tBtA 图示图示 一质点作圆周运动：一质点作圆周运动：在在 t 时间内，质点的角位时间内，质点的角位移为移为 ，则，则A、B间的有向间的有向线段线段与弧将满足下面的关系与弧将满足下面的关系ABABtt00limlim两边同除以两边同除以 t，得到速度与角速度之间的关系：，得到速度与角速度之间的关系：Rv 线量与角量之间的
9、关系线量与角量之间的关系 上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：速度之间的关系：Rat将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：得到法向加速度与角速度之间的关系：Rvan22R例例1例例2思考题思考题线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系法向加速度也叫向心加速度。法向加速度也叫向心加速度。线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速将上式两端对时间求导，得到切向加速度与角加速度之间的关系：度之间的关系：Rat将速度与
10、角速度的关系代入法向加速度的定义式，将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到法向加速度与角速度之间的关系：得到法向加速度与角速度之间的关系：Rvan22R例例1例例2思考题思考题法向加速度也叫向心加速度。法向加速度也叫向心加速度。例题例题1 1 计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。计算地球自转时地面上各点的速度和加速度。解：解：地球自转周期地球自转周期T=24 60 60 s，角速度大小为：，角速度大小为：T26060242151027.7s 如图，地面上纬度为如图，地面上纬度为 的的P点，在与赤道平行的平面内点，在与赤道平行的平面内作圆周运动作圆周运动,cosRr 线量与角量之间
11、的关系线量与角量之间的关系R 赤道赤道rp 其轨道的半径为其轨道的半径为rvcosRcos1073.61027.765)m/s(cos1065.42ran2cos2Rcos1073.6)1027.7(625P点速度的大小为点速度的大小为P点只有运动平面上的向心加速度，其大小为点只有运动平面上的向心加速度，其大小为P点速度的方向与过点速度的方向与过P点运动平面上半径为点运动平面上半径为R的圆相切。的圆相切。线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系)m/s(cos1037.322P点加速度的方向在运动平面上由点加速度的方向在运动平面上由P指向地轴。指向地轴。例如例如:已知北京、上海和广州三地的纬度
12、分别已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬是北纬39 57、31 12 和和 23 00，则，则三地的三地的v 和和 an分别为：分别为：北京：北京：),m/s(356v)m/s(1058.222na上海：上海：),m/s(398v)m/s(1089.222na广州：广州：),m/s(428v)m/s(1010.322na线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系 例如例如:已知北京、上海和广州三地的纬度分别已知北京、上海和广州三地的纬度分别是北纬是北纬39 57、31 12 和和 23 00，则，则三地的三地的v 和和 an分别为：分别为：北京：北京：
13、),m/s(356v)m/s(1058.222na上海：上海：),m/s(398v)m/s(1089.222na广州：广州：),m/s(428v)m/s(1010.322naRo 在在t 时刻，质点运动到位时刻，质点运动到位置置 s 处。处。s s解解：先作图如右，先作图如右，t=0 时，时，质点位于质点位于s=0 的的p点处。点处。n线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系P （1）t 时刻质点的总加速度的大小；时刻质点的总加速度的大小；（2）t 为何值时，总加速度的大小为为何值时，总加速度的大小为b；（3）当总加速度大小为）当总加速度大小为b 时，质点沿圆周运行时，质点沿圆周运行了多少圈。
14、了多少圈。例题例题2 一质点沿半径为一质点沿半径为R的圆周按规律的圆周按规律 运动，运动，v0、b都是正的常量。求：都是正的常量。求：2/20bttvsnaa22naaa （2）令）令a=b，即，即bRbRbtva220)()(Ros （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小:tvddRv222ddtsbRbtv20)(RbRbtv220)()(n线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系（3）当当a=b 时，时，t=v0/b，由此可求得质点历经，由此可求得质点历经 的弧长为的弧长为 /220bttvs它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：
15、Rsn2Rosbvt/0bv/220Rbv420n线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系得得线量与角量之间的关系线量与角量之间的关系（3）当当a=b 时，时，t=v0/b，由此可求得质点历经，由此可求得质点历经 的弧长为的弧长为/220bttvs它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：Rsn2Rosbvt/0bv/220Rbv420n得得1.1.判断下列说法的正、误：判断下列说法的正、误：a.加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。b.平均速率等于平均速度的大小。平均速率等于平均速度的大小。d.运动物体的速率不变时，速度可以变化。运动物体的
16、速率不变时，速度可以变化。例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向改变。向改变。c.不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成2/)(21vvv,其中其中 v1是初速度，是初速度，v2 是末速度。是末速度。tsv/依据依据 平均速率平均速率 t/rv平均速度的大小平均速度的大小思考题思考题思考题思考题3.抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式 抛体运动：抛体运动：从地面上某点向空中抛出的物体从地面上某点向空中抛出的物体在空中所做的运动。在空中所做的运动。以抛射点为坐标原点建立坐标系，水平方向为以抛射点
17、为坐标原点建立坐标系，水平方向为x轴，竖直方向为轴，竖直方向为y轴。设抛出时刻轴。设抛出时刻t=0的速率为的速率为v0，抛抛射角为射角为 ，,cos00vvxsin00vvy加速度恒定加速度恒定gajg任意时刻的速度为：任意时刻的速度为：jiv)sin()cos(00gtvv则初速度分量分别为：则初速度分量分别为：抛体运动的矢量描述抛体运动的矢量描述Oyx0vxv0yv0vg将上式积分，得到运动方程的矢量形式为将上式积分，得到运动方程的矢量形式为ttgtvtv000d)sin(d)cos(jirji)21sin()cos(200gttvtv抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式消去时间参
18、数消去时间参数t，得到抛体运动的轨迹方程为，得到抛体运动的轨迹方程为2202cos21tgvgxxy抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。抛物线方程，故抛体运动也叫抛物线运动。令令y=0，得到抛物线与，得到抛物线与x 轴的另一个交点坐标轴的另一个交点坐标H，它就是射程：它就是射程：gvH2sin20 根据轨迹方程的极值条件，根据轨迹方程的极值条件，求得最大射高为：求得最大射高为：gvh2sin220抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式Oyx0vxv0yv0vgHh 运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也运动的分解可有多种形式。例如，抛体运动也可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方
19、向可以分解为沿抛射方向的匀速直线运动与竖直方向的自由落体运动的叠加：的自由落体运动的叠加：jjir20021)sincos(gttvvjv2021gtt 知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动知，抛体运动可看作是由水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析与竖直方向的匀变速直线运动叠加而成。这种分析方法称为运动的分解。方法称为运动的分解。ji)21sin()cos(200gttvtvr由方程由方程抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式Oyxt0vt gr这种分解方法可用这种分解方法可用 下图说明下图说明还可用子弹打猴子的古老演还可用子弹打猴子的古老演示来证实：示来证实：抛体运动方程的矢量形式抛体运动方程的矢量形式 猎人瞄准树上猎人瞄准树上的猴子射击，猴子一见火光的猴子射击，猴子一见火光就跳下（自由下落），却不就跳下（自由下落），却不能避开子弹。能避开子弹。打猴.swf
