1、第二十二章第二十二章 二次函数二次函数22.1 22.1 二次函数的二次函数的图象和图象和性质性质1、如果一个正方形的边长为5，那这个正方形的面积为什么？2、如果一个正方体的边长为4，那么这个正方体的表面积为多少？5s96446s22.1 22.1 二次函数的二次函数的图象和图象和性质性质 性质3、如果一个正方体的边长为 ，这个正方体的表面积为y，你可以列出y关于x的表达式吗？26 xy 问题问题1：n个个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数的场次数 与球队数与球队数 有什么关系？有什么关系？(1)每个队要与其他的队比赛多少场？怎么用 来
2、表示？n每个队要与其他（n-1）个队比赛，所以每队应该是比（n-1）场。(2)把每个队要比赛的场次数相加，是不是就是总场数？有重复场次吗？现在你能得出什么关系式吗？)1(21nnmnnm21212 26xy nnm212122040202xxy你能看出这三个式子又什么特点吗？这三个式子都是等式，最高次是这三个式子都是等式，最高次是2次，有两个未知数，次，有两个未知数，并且其中一个未知数随另一个未知数变化而变化。并且其中一个未知数随另一个未知数变化而变化。观察一般地，形如一般地，形如 )0,(2acbacbxaxy是常数，的函数，叫做二次函数。的函数，叫做二次函数。这些式子和一次函数有什么区别和
3、联系呢？仿照一次函数，这些式子和一次函数有什么区别和联系呢？仿照一次函数，你能给这样的式子下个定义吗？你能给这样的式子下个定义吗？（1）在这个二次函数中，哪个是自变量，哪个是函数？）在这个二次函数中，哪个是自变量，哪个是函数？的函数是是自变量，xyx（2）你能说出二次项系数，一次项系数，常数项吗？）你能说出二次项系数，一次项系数，常数项吗？cba常数项是，一次项系数是二次项系数是,（3）二次项系数、一次项系数和常数项能为）二次项系数、一次项系数和常数项能为0吗？吗？二次项系数不能为0，否则就是一次函数了，一次项系数和常数项可以为0。一个长方形的周长为一个长方形的周长为36，其中一边长为，其中一
4、边长为 x，写出函数写出函数 y 与与 x的关系式，并说出二次项系数，一次项系数，常数项。的关系式，并说出二次项系数，一次项系数，常数项。0181-18),18(-182，常数项是，一次项系数是它的二次项系数是整理得：系式：这样就可以列出函数关），那另一边长是（分析：其中一边长为xxyxxyxx的值是二次函数，求的函数关于mxmyxmm 2)1(01,010.10222mmmmmmm由此，即二次项系数不能为或，解得即次，为二次函数，所以最高次分析：因为所给式子为拓展(1)一次函数的图象是一条一次函数的图象是一条_，反比例函数的图，反比例函数的图象是象是_.(2)通常怎样画一个函数的图象？通常怎
5、样画一个函数的图象？直线直线双曲线双曲线(3)二次函数的图象是什么形状呢？二次函数的图象是什么形状呢？列表、描点、连线列表、描点、连线 结合图象讨论性质是数形结合的研究结合图象讨论性质是数形结合的研究函数的重要方法我们得从最简单的二次函数的重要方法我们得从最简单的二次函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的函数开始逐步深入地讨论一般二次函数的图象和性质图象和性质二次函数二次函数 y=ax2 的图象和性质的图象和性质1.列表：在列表：在y=x2 中自变量中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：可以是任意实数，列表表示几组对应值：x3210123y=x22.根据表中根据表中x,y的数值在坐标平面
6、中描点（的数值在坐标平面中描点（x,y）画最简单的二次函数画最简单的二次函数 y=x2 的图象的图象3336901491493.如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到得到y=x2 的图象的图象二次函数二次函数 y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线抛物线 y=x2 33369二次函数的图象都是二次函数的图象都是抛物线抛物线，它们的开口或者向上或者向下一般地，它们的开口或者向上或者向下一般地，二次
7、函数二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象叫做）的图象叫做抛物线抛物线y=ax2+bx+c 实际上，每条抛物线实际上，每条抛物线都有对称轴都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫，抛物线与对称轴的交点叫做做抛物线的顶点抛物线的顶点顶点是抛物线的顶点是抛物线的最低点或最高点最低点或最高点 y轴是抛物线轴是抛物线y=x 2 的对称轴，抛物线的对称轴，抛物线y=x 2 与它的对称轴的交与它的对称轴的交点（点（0，0）叫做）叫做抛物线抛物线y=x2 的顶点的顶点，它是抛物线，它是抛物线y=x 2 的的最低最低点点函数函数 的图象与函数的图象与函数 y=x2 的图象相比，有什么的图象相比，有什么共同点和
8、不同点？共同点和不同点？相同点相同点：开口都向上，顶点是原：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称点而且是抛物线的最低点，对称轴是轴是 y 轴轴不同点不同点：a 要越大，抛物线的开要越大，抛物线的开口越小口越小观察 你画出的图象与图中相同吗？你画出的图象与图中相同吗？探究探究 画出函数画出函数 的图象，并考虑这的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点些抛物线有什么共同点和不同点2222,21,xyxyxy22246448对比抛物线，对比抛物线，y=x2和和y=x2.它们关于它们关于x轴轴对称吗？一般地，抛对称吗？一般地，抛物线物线y=ax2和和y=ax2呢？呢？二次函数二次函数y
9、=ax2的性质的性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值根据图形填下表：根据图形填下表：2xy2xy 抛物线抛物线y=xy=x2 2y=-xy=-x2 2顶点坐标顶点坐标（0 0，0 0）（0 0，0 0）对称轴对称轴y y轴轴y y轴轴位置位置在在x x轴的上方轴的上方(除顶点外除顶点外)在在x x轴的下方轴的下方(除顶点外除顶点外)开口方向开口方向向上向上向下向下增减性增减性在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小.在对在对称轴的右侧称轴的右侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左
10、侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大.在对称轴在对称轴的右侧的右侧,y,y随着随着x x的增大而的增大而减小减小最值最值当当x=0 x=0时时,最小值为最小值为0 0当当x=0 x=0时时,最大值为最大值为0.0.一般地，抛物线一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是的对称轴是y轴，顶点是原点轴，顶点是原点当当a0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物越大，抛物线的开口越小，在对称轴的左侧线的开口越小，在对称轴的左侧,y随着随着x的增大而减小；在对称轴右的增大而减小；在对称轴右侧侧,y随着随着x的增大而增大的
11、增大而增大.当当x=0时函数时函数y的值最小的值最小.当当a0h0时，函数时，函数y=a(x-h)y=a(x-h)2 2的图象可由的图象可由y=axy=ax2 2的图象向的图象向左左平移平移 h h 个单位得到，个单位得到，当当h0h0向左平移向左平移h个单位，当个单位，当h0时，向上移时，向上移k个单位，当个单位，当k0a0时时,开口向上开口向上;当当a0a0开口向上，对称轴为开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（，顶点坐标为（3，5）;（2）a=30开口向上，对称轴为开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（，顶点坐标为（3,7）;（4）a=50开口向下，对称轴为开口向下，对称轴为x=2，顶点
12、坐标为（，顶点坐标为（2,6）.我们来画我们来画 的图象，并讨论一般地怎样画的图象，并讨论一般地怎样画二次函数二次函数 的图象的图象20yaxbxc a216212yxx我们知道我们知道，象，象 这样的函数，容易确定相应抛物线的这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为（顶点为（h,k)，二次函数，二次函数 也能化成这样的形式吗？也能化成这样的形式吗？khxay2216212xxy 二次函数二次函数y=ax +bx+c 的图象和性质的图象和性质接下来，利用图象的对称性列表（请填表）接下来，利用图象的对称性列表（请填表）配方可得配方可得由此可知，抛物线由此可知，抛物线 的顶点是的顶点是（6，3），对
13、称轴是直线对称轴是直线 x=6216212xxy36212x216212xxy用配方法用配方法因此，抛物线因此，抛物线 的对称轴是的对称轴是 顶点顶点坐标是坐标是一般地，我们可以用配方求抛物线一般地，我们可以用配方求抛物线 y=ax2+bx+c(a0)的顶点与对的顶点与对称轴称轴cbxaxy2abacabxa44222cbxaxy2abx224,24bacbaa 这是确定抛物线顶点这是确定抛物线顶点与对称轴的公式与对称轴的公式矩形场地的周长是矩形场地的周长是60m，一边长为，一边长为l，则另一边长为则另一边长为 ，场地的面积，场地的面积用总长为用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积的篱笆围
14、成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长随矩形一边长 l 的变化的变化而变化，当而变化，当 l 是多少时，场地的面积是多少时，场地的面积S最大？最大？即即 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点，也就是说，当函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大取顶点的横坐标时，这个函数有最大值由公式可求出顶点的横坐标值由公式可求出顶点的横坐标ml260分析：先写出分析：先写出S与与 l 的函数关系式，再求出使的函数关系式，再求出使S最大的最大的l值值Sl(30l)Sl 2+30l
15、(0 l 30)lsO5 1010020015 20 25 30也就是说，也就是说，当当l是是15m时，场地的面积时，场地的面积S最大（最大（S225m2）因此，当因此，当 时，时，S有最大有最大 值值，Sl 2+30l(0 l 0b2-4ac 0-4ac 0b b2 2-4ac=0-4ac=0b b2 2-4ac 0-4ac 0第二十二章第二十二章 二次函数二次函数22.3 22.3 实际问题与二次函数实际问题与二次函数排球运动员从地面竖直向上抛出排球，排球的高度 h（单位：m）与排球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h=20t-5t 2（0t4）排球的运动时间是多少时，排球最高？排球
16、运动中的最大高度是多少？问题0h t422.3 实际问题与二次函数变式变式1：现要用：现要用60米长的篱笆围成一个矩形米长的篱笆围成一个矩形场地场地（一边靠墙且墙长一边靠墙且墙长40米）。应怎样围才能使矩形的面米）。应怎样围才能使矩形的面积积s最大？最大是多少？最大？最大是多少？牛刀小试 变式2 现要用60米长的篱笆围成一个矩形场地（一边靠墙且墙长28米）。应怎样围才能使矩形的面积s最大？最大是多少？（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；实际意义，确定自变量的取值范围；（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或）在自变量的
17、取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。通过配方求出二次函数的最大值或最小值。问题问题:从地面竖直向上抛出一个小球，小球的从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度高度 h（单位：（单位：m）与小球的运动时间）与小球的运动时间 t（单位：（单位：s）之间的关系是）之间的关系是 h=30t-5t（0t6）.小球运动的时间是多少时，小小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？球最高？小球运动中的最大高度是多少？（1）图中抛物线的顶点在哪里？）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？最高点？（3）小
18、球运动至最高点的时间是什么时间？）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？迹的顶点坐标是什么？h=30t-5t（0t6）345小球运动的时间是小球运动的时间是 3 s 时，小球最高时，小球最高小球运动中的最大高度是小球运动中的最大高度是 45 m303225bta （），2243045445acbha（）问题问题:从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度 h（单（单位：位：m）与小球的运动时间）与小球的运动时间 t（单位：（单位：s）之间的关系）之间的关系是是 h=30t-
19、5t（0t6）.小球运动的时间是多少时，小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？小球最高？小球运动中的最大高度是多少？由于抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点是最低（高）点，当 时，二次函数 y=ax 2+bx+c 有最小（大）值2bxa 244acbya如何求出二次函数如何求出二次函数 y=ax 2+bx+c 的最小（大）值？的最小（大）值？用总长为 60 m 的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 l 的变化而变化.（1）你能求出S与L之间的函数关系吗？答：S=l（30-l）=-l+30 l（0 l 30）（2）此矩形的面积能是200 m 吗？若能，请求
20、出此矩形的长、宽各是多少？答：能.当 S=200时，200=l（30-l）得l=10或20.即长、宽为10m、20m.（3）此矩形的面积能是250m吗？若能，请求出 l 的值；若不能，请说明理由.答：不能.当 S=250时，250=l(30-l),此时0，即 l 没有实数根，所以不能.（4）当 l 是多少米时，场地的面积 S 最大？最大值是多少？答：l=15米时，场地面积 S 最大为225平方米.某商品现在的售价为每件某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出元，每星期可卖出300件件.市场调查反映：若调整价格，每涨价市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每星期要少卖元，每星期要少卖出出10件
21、；每降价件；每降价1元，每星期可多卖元，每星期可多卖20件件.已知该商品的已知该商品的进价为每件进价为每件40元，如何定价才能使每星期的利润最大？元，如何定价才能使每星期的利润最大？问题1:若设每件涨价x元，则每周少卖 件,每周的销量是 件,x的取值范围是 .10 x 0 x 30300-10 x 问题2：若设每件降价x元，则每周可多卖 件，每周的销量是 件.x的取值范围是 .20 x(300+20 x)0 x 20综上所述，定价应为65元时，每周的利润最大.问题：如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降1 m，水面宽度增加多少？解：设这条抛物线的解析式为1.为了改善小
22、区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长 25 m）的空地上修建一个矩形绿化带 ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为 40 m 的栅栏围住（如图）设绿化带的 BC 边长为 x m，绿化带的面积为 y m 2（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围.（2）当 x 为何值时，满足条件的绿化带的面积最大？DCBA25 m2.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面拱顶距离水面4 m（1）如图所示的直角坐标系中，）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；（2）设正常水位时桥下的水深为）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m求水深求水深超过多少超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行时就会影响过往船只在桥下顺利航行OACDByx20 mh
