1、 郑 永 冰数 学 与 数 量 经 济 学 院条件概率公式与全概率公式条件概率公式与全概率公式1v一、条件概率v简单地说，条件概率就是在一定附加条件之下的事件概率.v从广义上看，任何概率都是条件概率，因为任何事件都产生于一定条件下的试验或观察。v但我们这里所说的“附加条件”是指除试验条件之外的附加信息，这种附加信息通常表现为“已知某某事件发生了”。2例例2 10个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不个人为两张球票抽签，依次抽取，取后不放回，若已知第一个人抽到球票，求第放回，若已知第一个人抽到球票，求第2个人也个人也抽到球票的概率。抽到球票的概率。解解1：设：设A=“第第一个人抽到球票一个人抽到球
2、票”。B=“第第二个人抽到球票二个人抽到球票”。则所求为则所求为91记为记为)(ABP3)()()|(APABPABP定义：).0)(,)()()|(BPBPABPBAP类似有类似有).0)(APBA发生的条件概率已发生的条件下，事件为在事件4性性质质。因因此此它它具具备备概概率率的的一一切切也也是是概概率率，固固定定，可可证证把把作作为为条条件件的的事事件件)|(ABPA)|()|()|()|(CABPCBPCAPCBAP如).|(1)|(BAPBAP)|(1)|(CAPCAP但是，需要注意，一般地但是，需要注意，一般地1)|()|(BAPBAP)|()|()(|CAPBAPCBAP5v例3
3、设在10个统一型号的元件中有7个一等品，从这些元件中不放回地连续取两次，每次取一个元件，求在第一次取得一等品的条件下，第二次取得的也是一等品的概率。).|(2,112AAPiiAi，则所求为次取得的是一等品”，：“第解：设10721027CC)()(121APAAP)|(12AAP解法一：10791067.96.96)|(12AAP解法二：6条件概率的一个重要应用便是下面的乘法公式条件概率的一个重要应用便是下面的乘法公式.v二、乘法公式)|()()|()()(BAPBPABPAPABP)|()()(21321321AAAPAAPAAAP).|()|()()(1112121nnnAAAPAAPA
4、PAAAP)|()|()(213121AAAPAAPAP7记甲取到正品为事件A,乙取到正品为事件B,则107)()|(BPABP由乘法公式即得P(AB)=P(A)P(B)从问题的实际意义理解，就是说事件A和事件B出现的概率彼此不受影响.事件的独立性事件的独立性例如例如 箱中装有10件产品:7件正品,3件次品,甲买走1件正品,乙要求另开一箱,也买走1件正品.8定义定义 若事件A与B满足 P(AB)=P(A)P(B),则称A与B相互独立，简称A A与与B B独立独立。推论推论1 A.B为两个事件,若P(A)0,则A与B独立等价于P(B|A)=P(B).若P(B)0,则A与B独立等价于P(A|B)=
5、P(A).证明：证明：A.B独立独立P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)P(B|A)=P(B)注意注意 从直观上讲,A与B独立就是其中任何一个事件出现的概率不受另一个事件出现与否的影响.9证明证明 不妨设A.B独立,则)B(P)A(P)B(P1)(A(P)B(P)A(P)A(P)AB(P)A(P)BA(P)BA(P其他类似可证.推论推论2 在 A 与 B,与 B,A 与 ，与 这四对事件中,若有一对独立,则另外三对也相互独立。AABB注意注意 判断事件的独立性一般有两种方法:由定义判断,是否满足公式;由问题的性质从直观上去判断.10设有n个事件A1,A2,An,若对任何正整数m(
6、2mn)以及)()(),1212121mmiiiiiimAPAPAPAAAPniii（都有则称这n个事件相互独立相互独立.若上式仅对m=2成立,则称这n个事件两两独立两两独立.注意注意 从直观上讲,n个事件相互独立就是其中任何一个事件出现的概率不受其余一个或几个事件出现与否的影响.定义定义(n n个事件的相互独立性）个事件的相互独立性）11 它们中的任意一部分事件换成各自事件的对立事 件后，所得的n个事件也是相互独立的。性质性质 若n个事件相互独立，则它们积事件的概率等于每个事件概率的积.加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则 P(A1A2 An)1P(A1)P(A2
7、)P(An)12例例1.2.3 三个元件串联的电路中,每个元件发生断电的概率依次为0.3,0.4,0.6,且各元件是否断电相互独立,求电路断电的概率是多少?解解 设A1,A2,A3分别表示第1,2,3个元件断电,A表示电路断电,则A1,A2,A3相互独立,A=A1+A2+A3,P(A)=P(A1+A2+A3)=)AAA(P1321)A(P)A(P)A(P1321=1-0.168=0.832131。P(A)=0.6,P(A+B)=0.84,P(|A)=0.4,则P(B)=().B练习14v三、全概率公式和贝叶斯(Bayes)公式v例4 设袋中有3个白球、2个黑球，不放回抽取，每次到一个，求第三次
8、取出的是白球的概率。黑球一白球”：“前两次取出的为一3B白球”：“前两次取出的全为2A黑球”：“前两次取出的全为1B两两互不相容、；则321321)2()1(BBBBBB两两互不相容、且321321321)(ABABABABABABBBBAAAv解：记 A：“第三次取出的是白球”152522CC)|()()|()()|()(332211BAPBPBAPBPBAPBP)()()()(321ABPABPABPAP332523CC31251213CCC32101104101.5316)|(ABPi为一事件，的一个划分，为一般：设ABBn,1v贝叶斯(Bayes)公式)()(APABPi)()|()(
9、APBAPBPiinkKKiiBAPBPBAPBP1)|()()|()(“原因”nBB,1“结果”A全概率公式Bayes公式17：“任取一件为废品”解：设Av例5某工厂由三个车间生产同一种产品，它们的产品占全厂产品的比例分别为25%、35%、40%；并且它们的废品率分别是5%、4%、2%，今从该厂产品中任取一件，求是废品的概率是多少？3,2,1iiBi个车间生产”：“产品由第的划分为则321,BBB31)|()()(kKKBAPBPAP0.03452%40%4%35%5%25183,2,1)|(iABPi需比较v若已知取出的一件产品是废品，它最大可能是哪个车间生产的？)|(1ABP)()(1A
10、PABP)()|()(11APBAPBP0345.0%5%253623.02319.0)|(4058.0)|(32BBPABPmax最大可能由第2个车间生产。19课上练习课上练习 小王忘了朋友家电话号码的最后一位小王忘了朋友家电话号码的最后一位数数,故只能随意拨最后一个号故只能随意拨最后一个号,求他至多拨三次求他至多拨三次由乘法公式由乘法公式设事件设事件 表示表示“三次拨号至少一次拨通三次拨号至少一次拨通”AiA3,2,1i表示表示“第第 i 次拨通次拨通”则3iiAA)()()(213121AAAPAAPAP)(321AAAP)(AP7.08798109.3.0)(1)(APAP解解可拨通朋
11、友家的概率。可拨通朋友家的概率。20例例 小王忘了朋友家电话号码的最后一位小王忘了朋友家电话号码的最后一位数数,他只能随意拨最后一个号他只能随意拨最后一个号,他连拨三次，他连拨三次，由乘法公式设iA3,2,1i表示“第 i 次拨通”)()()(213121AAAPAAPAP)(321AAAP1.08198109解一求第三次才拨通的概率求第三次才拨通的概率.解二125.081)(213AAAP从题目叙述看要求的是无条件概率从题目叙述看要求的是无条件概率.21产生误解的原因是未能仔细读题，产生误解的原因是未能仔细读题，未能分清条件概率与无条件概率的区别未能分清条件概率与无条件概率的区别.本题若改叙
12、为：本题若改叙为：他连拨三次，已他连拨三次，已知前两次都未拨通知前两次都未拨通,求第三次拨通的概率求第三次拨通的概率.此时，求的才是条件概率此时，求的才是条件概率.22例例 10件产品中有件产品中有3 件次品件次品,从中任取从中任取 2 件件.在所取在所取 2 件中有一件是次品的条件下件中有一件是次品的条件下,求求另一件也是次品的概率另一件也是次品的概率.解解1 1 设事件设事件 表示表示“所取所取 2 件中有一件次品件中有一件次品”A事件事件 表示表示“另一件也是次品另一件也是次品”.则则B)()()(APABPABP71/210171321023CCCCC解解2 2 A“所取所取 2 件中至少有一件次品件中至少有一件次品”B“2 件都是次品件都是次品”)()()(APABPABP)()(APBP.81)/(/21017132321023CCCCCC23
