1、第一节 概述第三章第三章 拱桥计算拱桥计算拱桥的计算拱轴线的选择与确定成桥状态的内力分析和强度、刚度、稳定验算施工阶段的内力分析和定验算恒载内力温度、收缩徐变拱脚变位活载内力内力调整拱上建筑的计算结构力学的分析方法结构力学的分析方法有限元的分析方法有限元的分析方法拱拱桥桥的的计计算算方方法法拱桥的计算层次拱桥的计算层次总体分析计算总体分析计算构件分析计算构件分析计算局部分析计算局部分析计算桥梁专门程序大型通用程序Super SAPADINANASTRANANSYS有限元的分析方法有限元的分析方法MidasTDV桥梁博士BSAS第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算荷载作用
2、下拱上建筑参与主拱圈共同受力；荷载作用下拱上建筑参与主拱圈共同受力；（1 1）联合作用与）联合作用与拱上建筑构造形式拱上建筑构造形式及及施工程序施工程序有关；有关；（2 2）联合作用大小与拱上建筑和主拱圈）联合作用大小与拱上建筑和主拱圈相对刚度相对刚度有关，通有关，通 常拱式拱上建筑联合作用较大，梁式拱上建筑较小；常拱式拱上建筑联合作用较大，梁式拱上建筑较小；（3 3）主拱圈不计联合作用的计算）主拱圈不计联合作用的计算偏于安全偏于安全，但拱上结构不，但拱上结构不 安全；安全；活载作用在桥面上使活载作用在桥面上使主拱截面应力不均匀主拱截面应力不均匀的现象。的现象。板拱、箱拱板拱、箱拱常常不计荷载
3、横向分布，认为主拱圈全宽均匀常常不计荷载横向分布，认为主拱圈全宽均匀承担荷载；承担荷载；肋拱、桁架拱、刚架拱肋拱、桁架拱、刚架拱考虑活载横向分布影响。考虑活载横向分布影响。1 1、联合作用：、联合作用：2 2、活活载横向分布载横向分布：第三章第三章 拱桥计算拱桥计算3 3、关于内力叠加和应力叠加关于内力叠加和应力叠加：强度验算应力叠加法内力叠加法考虑拱圈在形成过程中各阶段的截面特性考虑拱圈在形成过程中各阶段的截面特性及及荷载情况而分别计算其内力和应力增量，荷载情况而分别计算其内力和应力增量，然后累计截面上各点内力。然后累计截面上各点内力。不考虑应力的累计历史，只累计各截面内不考虑应力的累计历史
4、，只累计各截面内力，再按当前计算阶段的复合截面计算各力，再按当前计算阶段的复合截面计算各构件应力。构件应力。考虑非线性影响的应力叠加考虑非线性影响的应力叠加才能反映构件工作状态。才能反映构件工作状态。内力叠加法没有很好地反映结构实际的工作状态，会出现内力叠加法没有很好地反映结构实际的工作状态，会出现某种部件的强度安全储备不足，某种部件的强度安全储备不足，但可以用来分析复合拱桥但可以用来分析复合拱桥的弹性稳定性和估计桥梁建成后承载能力的近似计算。的弹性稳定性和估计桥梁建成后承载能力的近似计算。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算4 4、关于非线性影响的考虑关于非线性影响的考虑弹性理论不足：弹性理论不足
5、：单独考虑弹性压缩的影响，未考虑轴向力单独考虑弹性压缩的影响，未考虑轴向力对转角变位的影响。对转角变位的影响。对于大跨径的拱桥，对于大跨径的拱桥，几何非线性几何非线性和和材料非线性材料非线性的影响成为的影响成为拱桥承载力计算不可忽视的因素。拱桥承载力计算不可忽视的因素。拱结构的受力下会发生变形，而这种变形又会使轴力产生拱结构的受力下会发生变形，而这种变形又会使轴力产生附加内力，附加内力会使结构产生附加变形，同时还有可附加内力，附加内力会使结构产生附加变形，同时还有可能发生失稳破坏，因此能发生失稳破坏，因此结构分析应采用二阶分析方法结构分析应采用二阶分析方法。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算5 5
6、、拱桥稳定性分析拱桥稳定性分析拱桥稳定拱桥稳定性验算性验算第一类稳定性问题：离开原来平衡状态而丧失承载力的现象。第二类稳定性问题：平衡状态布发生变化的承载能力丧失问题。第一类失稳发生往往先于第二类失稳，且很快使拱丧失承第一类失稳发生往往先于第二类失稳，且很快使拱丧失承载能力，载能力，拱桥设计中应验算第一类稳定；拱桥设计中应验算第一类稳定；拱桥第二类失稳拱桥第二类失稳问题属于考虑非线性影响的强度问题，问题属于考虑非线性影响的强度问题，在常规设计计算中在常规设计计算中加以考虑。加以考虑。第二节 普通上承式拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算拱轴线拱轴线：主拱圈截面形心间的连线；：主拱圈截面形心间
7、的连线；压力线压力线：荷载作用下截面合内力作用点的连线；：荷载作用下截面合内力作用点的连线；理想的拱轴线：理想的拱轴线：与拱上各种荷载下的拱圈压力线相吻合的与拱上各种荷载下的拱圈压力线相吻合的拱轴线。拱轴线。合理拱轴线合理拱轴线：拱截面上各点为受压应力，尽量趋于均匀分：拱截面上各点为受压应力，尽量趋于均匀分布，能充分发挥圬工材料良好的抗压性能；布，能充分发挥圬工材料良好的抗压性能；选择拱轴线的原则选择拱轴线的原则：尽量降低荷载弯矩值；考虑拱轴线外：尽量降低荷载弯矩值；考虑拱轴线外形与施工简便等因素形与施工简便等因素。一、拱轴线的选择和确定一、拱轴线的选择和确定o 实际工程中由于活载、主拱圈弹性
8、压缩以及温度、收缩等因素的作用，实际上得不到理想的拱轴线（压力线与拱轴线不可能是吻合的）。o 根据混凝土拱桥恒载比重大的特点，在实用中一般采用恒载压力线作为拱轴线，恒载作用愈大，这种选择就愈显得合理。o 对于活载较大的铁路混凝土拱桥，则可考虑采用恒载加一半活载（全桥均布）的压力线作为拱轴线。o 选择拱轴线时，除了考虑主拱受力有利以外，还应该考虑外形美观、施工简便等因素。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算)/41(21)cos1(sin0211212lflfRRyRxRyyx（一）圆弧线拱p线形最简单，施工最方便。当fl较小时，两者出入还不算大，采用圆弧拱并不使恒载内力
9、增大过多；但当fl接近12时，恒载压力线的两端将位于拱脚截面中心上相当远，为了解决这个问题，实践中常在拱脚处设置护拱，以帮助拱圈受力。xy1XRLfOYO一般与恒载压力线偏离较大，使拱圈各截面受力不够均匀。常用于1520m以下的小跨径拱桥。只有当圆弧形上作用满布均布的径向荷载时，其拱轴才与恒载压力线重合。园弧线的拱轴方程为：第三章第三章 拱桥计算拱桥计算（二）抛物线拱p在竖向均布荷载作用下，拱的合理拱轴线是二次抛物线。对于恒载集度比较接近均布的拱桥（如矢跨比较小的空腹式钢筋混凝土拱桥，或钢筋混凝土桁架拱和刚架拱等轻型拱桥），往往可以采用抛物线拱。其拱轴线方程为：2214xlfy 为了使拱轴线尽
10、量与恒载压力线相吻合，也常采用高次抛物线（3次、4次抛物线）作为拱轴线的。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算（三）悬链线拱p空空腹式腹式拱桥的恒载从拱顶到拱脚不再是连续分布的（如下图），其恒载压力线是一条不光滑的曲线，难于用连续函数来表达。目前最 普遍的还是采用悬连线作为空腹拱的拱轴线，仅需拱轴线在拱顶、跨径的四分之一点和拱脚初与压力线重合。p实腹式实腹式拱桥的恒载集度从拱顶到拱脚均匀增加，其压力线是一条悬链线（如下图）。一般采用恒载压力线作为实腹式拱桥的拱轴线。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算拱顶的荷载集度fXYy1x=L1L1L/2gjgd拱脚的荷载集度假定的荷载分布gx=gx+y11、拱轴方程
11、的建立、拱轴方程的建立悬链线的拱轴方程悬链线的拱轴方程M=0Q=0N=Hg如果拱轴线为恒载压力线，由对称如果拱轴线为恒载压力线，由对称性原则，拱顶截面的内力为：性原则，拱顶截面的内力为：u弯矩：弯矩：Md0u剪力：剪力：Qd0u轴力：轴力：NdHg（恒载推力）（恒载推力）假定实腹式拱的恒载集度与拱轴坐假定实腹式拱的恒载集度与拱轴坐标成线性关系：标成线性关系：1yggdx拱上材料的容重第三章第三章 拱桥计算拱桥计算fMHggxHMy1对拱脚截面取矩，有对拱脚截面取矩，有:对对x处任意截面取矩，有：处任意截面取矩，有：gxgHgdxMdHdxyd222121半拱恒载对拱脚的弯矩fXYy1x=L1L
12、1L/2fM=0Q=0N=HgM=0Q=0N=Hg任意截面以右的全部恒载对该截面的弯矩值以拱顶为原点，拱轴以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标线上任意点的坐标两边对x取两次导数拱上任意的恒载集度gxVgHg拱上任意的恒载集度gx拱的恒载水平推力为了计算拱轴线（压力线）的一般方程，需首先知道恒载的分布规律ddjmgfggdjggm 这样gx可变换为：定义：定义：拱轴拱轴系数系数fgmd/)1(fymgyggddx11)1(1拱顶的荷载集度fXYy1x=L1L1L/2gjgd拱脚的荷载集度假定的荷载分布gx=gx+y1M=0Q=0N=Hg假定实腹式拱的恒载集度与拱轴坐假定实腹式拱的恒载集度与拱轴坐标
13、成线性关系，其任意截面的恒载标成线性关系，其任意截面的恒载可以用下式表示：可以用下式表示：1yggdx拱上材料的容重当y1=0为拱顶当y1=f为拱脚第三章第三章 拱桥计算拱桥计算fymHgldydgd121212)1(1)1(212mfHglkgd1221212ykHgldydgd二阶非齐次微分方程二阶非齐次微分方程gxgHgdxMdHdxyd222121拱上任意的恒载集度gx任意位置处实腹拱桥恒载集度的表达式fymgyggddx11)1(1拱轴线坐标与恒载集度的微分关系式定义位置参数1lx1lx dlx1d 定义参数k2)1(11chkmfy解微分方程，得到的拱轴线（压力线）方程：数学上为：
14、悬链线方程第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算2kkeechkmchk)1ln(21mmmchk对于拱脚截面有：=1，y1=f，代入式悬链线方程可得：通常m为已知，则可以用下式计算k值：)1(11chkmfy拱轴线悬链线方程双曲余弦函数反双曲余弦函数对数表示关于k和m第三章第三章 拱桥计算拱桥计算关于悬链线方程的几点讨论 当当m=1时时 gd=gj，可以证明，在均布荷载可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二次作用下的压力线为二次抛物线，其方程变为：抛物线，其方程变为：21fy)1(11chkmfyfXYy1x=L1L1L/2gjgd拱脚的荷载集度假定的荷载分布gx=gx
15、+y1djggm u如如m1时，即表示恒载为均布时，即表示恒载为均布荷载，其压力线为一抛物线荷载，其压力线为一抛物线 u当拱的矢跨比当拱的矢跨比fl确定后，悬链确定后，悬链线的形状将取决于拱轴系数线的形状将取决于拱轴系数m，不难理解，不难理解，m越大（越大（gj对对gd的比的比值大），则曲线在拱脚处越陡，值大），则曲线在拱脚处越陡，而曲线的四分点位置就高。而曲线的四分点位置就高。uy1/4随随m增大而减小（拱轴线增大而减小（拱轴线抬高），随抬高），随m减小而增大（拱轴减小而增大（拱轴线降低）。线降低）。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算214/11yy 21由悬链线方程可以看出，当拱的跨度和矢高确
16、定后，拱轴线各点的坐 标取决于拱轴系数m。其线线形可用l/4点纵坐标y1/4的大小表示：当时，；代到悬链线方程半元公式mchk 2)1(21112121212)12(114/14/1mmmfymchkkchkchmfy4/1y随m的增大而减小（拱轴线抬高，随m减小而增大（拱轴线降底）。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算djggm dhgdd21hdhgjdj321cos2、拱轴系数、拱轴系数m值的确定值的确定（1）实腹式拱）实腹式拱m值的确定值的确定拱顶恒载分布集度 gd拱脚恒载分布集度 gj321,dhdj拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重拱顶填料厚度拱圈厚度拱脚处拱轴
17、线的水平倾角jddfhcos22第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算由上计算m值的公式可以看出，除拱脚倾角j为未知数外，其余均为已知；在具体计算m值时可采用试算法：a)先假设先假设mib)根据悬链线方程求根据悬链线方程求 cosj 对悬链线方程两边取一阶导数，有对悬链线方程两边取一阶导数，有:shkmfkddy11shkmlfkshklddydldydxdytg)1(221111其中：其中：)1(2mlkf代代=1，如上式，即可求得：，如上式，即可求得：shktgjc)根据计算出的根据计算出的 j，计算出，计算出gj后，即可求得后，即可求得mi+1d)比较比较mi和和m
18、i+1，如两者相符，即假定的，如两者相符，即假定的mi为真实值；如两者相差较大，为真实值；如两者相差较大，则以计算出的则以计算出的mi+1作为假设值，重新计算，直到两者相等作为假设值，重新计算，直到两者相等)1ln(21mmmchk已知道：已知道：)1(11chkmfy拱轴线悬链线方程hdhgdhgjdjdd32121cosdjggm 假定一个m计算或查表求cosj由cosj求gj由gj/gd=m求出一个对应的m对对比比m和和m如两者相符，即假定的m即为真实值；如两者出入较大，则以计算得的m值作为假定值，重新进行计算，直到两者接近。拱轴系数初值的选定拱轴系数初值的选定djggm 坦拱：坦拱：m
19、值选用较小值选用较小陡拱：陡拱：m值选用较大值选用较大shktgj（1）实腹拱的）实腹拱的m第三章第三章 拱桥计算拱桥计算 空腹式拱桥中空腹式拱桥中，桥跨结构的恒载由两桥跨结构的恒载由两部分组成，即主拱圈承受由实腹段自重的分部分组成，即主拱圈承受由实腹段自重的分布力和空腹部分通过腹孔墩传下的集中力布力和空腹部分通过腹孔墩传下的集中力（如左图）。由于集中力的存在，拱的压力（如左图）。由于集中力的存在，拱的压力线为在集中力作用点处有转折的曲线。但实线为在集中力作用点处有转折的曲线。但实际设计拱桥时，由于悬链线的受力情况较好，际设计拱桥时，由于悬链线的受力情况较好，故多用悬链线作为拱轴线。故多用悬链
20、线作为拱轴线。为了使悬链线与其恒载压力线为了使悬链线与其恒载压力线重和重和，一般采用，一般采用“五点重和法五点重和法”确确定悬链线的定悬链线的m值。即要求拱轴线在全值。即要求拱轴线在全拱（拱顶、两拱（拱顶、两1/4l点和两拱脚）与点和两拱脚）与其三铰拱的压力线重和。其相应的拱其三铰拱的压力线重和。其相应的拱轴系数确定如下轴系数确定如下（2）空腹式拱）空腹式拱m值的确定值的确定空腹式拱桥恒载分布空腹式拱桥恒载分布第三章第三章 拱桥计算拱桥计算fMHjg4/14/1yMHgjMMfy4/14/1fXYy1/4x=1/4*L1L1L/2fMd=0Q=0N=HgMd=0Q=0N=Hg拱上恒载集度gxV
21、gHg拱顶压力线与拱轴线重合拱顶处弯矩Md=04分点压力线与拱轴线重合4分点处弯矩M1/4=004/14/1MyHg4分点之右恒载对拱脚的弯矩半拱恒载对拱脚的弯矩y1/4fMd=0Q=0N=Hgy1/4y1/4拱上恒载集度gxHgQ1/4第三章第三章 拱桥计算拱桥计算1)2(2124/1yfm2)1(214/1mfy求得求得 后，即可求得后，即可求得m值：值：空腹拱的空腹拱的m值，仍需采用试算法计算（逐次渐近法）。值，仍需采用试算法计算（逐次渐近法）。fy4/1拱轴系数初值的选定拱轴系数初值的选定djggm 坦拱：坦拱：m值选用较小值选用较小陡拱：陡拱：m值选用较大值选用较大第三章第三章 拱桥
22、计算拱桥计算假定一个m计算拱轴线拟定拱肋截面，布置拱上建筑计算荷载引起的Mj和M1/4对对比比m和和m如两者相符，即假定的m即为真实值；如两者出入较大，则以计算得的m值作为假定值，重新进行计算，直到两者接近。)1(11chkmfyjMMfy4/14/1由Mj和M1/4计算y1/4由y1/4查表或计算求出个m2)1(214/1mfy（3）空腹拱的）空腹拱的m第三章第三章 拱桥计算拱桥计算3.悬链线无铰拱的悬链线无铰拱的基本结构基本结构与与弹性中心弹性中心无铰拱无铰拱：混凝土拱桥中，相对于两铰拱和三铰拱而言，无铰拱是最为广：混凝土拱桥中，相对于两铰拱和三铰拱而言，无铰拱是最为广泛使用的基本受力形式
23、。泛使用的基本受力形式。弹性中心弹性中心的使用：在超静定无铰拱的内力计算中，为计算恒载、活载、的使用：在超静定无铰拱的内力计算中，为计算恒载、活载、温度变化、混凝土收缩、拱脚变位等情况下的拱桥内力，常利用弹性中心温度变化、混凝土收缩、拱脚变位等情况下的拱桥内力，常利用弹性中心的概念来简化计算分析。的概念来简化计算分析。结构力学中已经讲过无铰拱弹性中心的概念。基本结构基本结构的使用：无铰拱的基本结构可采用悬臂曲线梁或简支曲线梁。的使用：无铰拱的基本结构可采用悬臂曲线梁或简支曲线梁。悬臂曲线梁悬臂曲线梁简支曲线梁简支曲线梁第三章第三章 拱桥计算拱桥计算悬臂曲线梁基本结构与弹性中心悬臂曲线梁基本结构
24、与弹性中心将无铰拱在拱顶切开，用三对超静定冗将无铰拱在拱顶切开，用三对超静定冗余力施加在切口上（余力施加在切口上（X1、X2、X3M、N、Q）X1（弯矩）和（弯矩）和X2（轴力）是对称的，（轴力）是对称的，X3（剪力）是反对称的。（剪力）是反对称的。此时，副变位情况为：此时，副变位情况为：在切口处设计一个在切口处设计一个“刚臂刚臂”，冗余力作用到刚臂端点处，如果产生副系数：，冗余力作用到刚臂端点处，如果产生副系数：00322331130211202112冗余力作用的刚臂端点处，为冗余力作用的刚臂端点处，为弹性中心弹性中心。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算sssEIdsEIdsyy102112可以
25、证明当可以证明当时，时，按此条件确定按此条件确定弹性中心弹性中心位置（刚臂位置）位置（刚臂位置）。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算)1(11chkmfy拱轴线悬链线方程sssEIdsEIdsyy1u设想沿拱轴线作宽度等设想沿拱轴线作宽度等于于1/EI的图形，则的图形，则ds/EI就代表此图的面积，而左就代表此图的面积，而左式就是计算这个图形的形式就是计算这个图形的形心公式，其形心称为心公式，其形心称为弹性弹性中心中心。弹性中心弹性中心的定义式的定义式sssEIdsEIdsyy1悬链线悬链线无铰拱无铰拱弹性中心定义式弹性中心ysfdkshdkshchkmfdsdsyy
26、sss110221022111)1(1计算或查表求计算或查表求1得到得到1与与m有关有关等截面悬链无铰拱等截面悬链无铰拱)1(11chkmfy21llxdldxdscos12cos其中：kshtg2221111cos则：kshlds2212这样：等截面悬链线无铰拱弹性中心ys推导过程参考10221022111)1(1dkshdkshchkmfdsdsyysss由：fys11得为（积分）系数，可制成表格得为（积分）系数，可制成表格备查用。备查用。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算二、主拱圈结构恒载与使用荷载内力计算二、主拱圈结构恒载与使用荷载内力计算1.等截面悬链线拱桥
27、恒载内力计算等截面悬链线拱桥恒载内力计算p弹性压缩影响：弹性压缩影响：主拱圈在轴向压力作用下，将发生弹性压缩变形，拱顶下沉，从而使拱轴线改变，压力线偏移，由此会在无铰拱中产生弯矩和剪力。p拱轴线与压力线偏离的影响：拱轴线与压力线偏离的影响：空腹式拱桥恒载压力线按五点重合法确定，在其余位置拱轴线与压力线不一致，这种偏离会产生附加内力。恒载内力计算的两个特殊情况实际恒载受力为上述情况的叠加结果第三章第三章 拱桥计算拱桥计算恒载内力拱轴线与压力线相符拱轴线与压力线不相符不考虑弹性压缩弹性压缩拱轴线与压力线不相符产生次内力弹性压缩不考虑弹性压缩第三章第三章 拱桥计算拱桥计算1）、不考虑弹性压缩的恒载内
28、力）、不考虑弹性压缩的恒载内力（1）实腹拱）实腹拱p实腹式悬链线的拱轴线与压力线重和，恒载作用拱的任意截面存在轴力，而无弯矩，根据力的平衡条件，此时时拱中轴力可按以下公式计算：在进行悬链线方程推导时有：在进行悬链线方程推导时有：)1(212mfHglkgd2/1ll flgkflgkmHdgdg22241其中：241kmkg)1ln(21mmmchkA.拱脚水平反力Hg拱脚的竖向反力：拱脚的竖向反力为半拱的恒载重力，即：dlgdxgVxlxg11001B.拱脚竖直反力Vgfymgyggddx11)1(1lgklgmmmVdgdg22)1ln(21)1ln(2122mmmkg代代到上式，并积分到
29、上式，并积分其中其中第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算 拱圈各截面的轴力拱圈各截面的轴力N：由于不考虑弹性压：由于不考虑弹性压缩时恒载弯矩和剪力为零，有缩时恒载弯矩和剪力为零，有cosgHN C.拱圈内的截面内力0M 0Q 不考虑弹性压缩的恒载内力实腹拱flgkflgkmHdgdg22241NHg第三章第三章 拱桥计算拱桥计算（2）空腹拱）空腹拱p对于中小跨度空腹拱，可不考虑拱轴偏离的影响。不考虑偏离的影响：此时拱的恒载推力Hg，拱脚的竖向反力Vg和拱任意截面的轴力可由静力平衡条件得到A.拱脚水平反力HgB.拱脚竖直反力VgcosgHN fMHjgPVg0M 0Q C
30、.拱圈内的截面轴力内力半拱恒载对拱脚的弯矩半拱恒载重力fXYy1x=L1L1L/2fM=0Q=0N=HgMd=0Q=0N=Hg拱上任意的恒载集度gxVgHgMg0VgHgp对于大跨度空腹拱，则必须考虑拱轴偏离的影响。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算偏离的影响可按式（1320）式（1321）首先计算出然后根据静力平衡条件计算任意截面的轴力N，弯矩M和剪力Q。21,XX21212cos()sinsgNXMXXyyHyQX 偏离附加内力的大小与荷载具体布置有关，一般是拱上腹偏离附加内力的大小与荷载具体布置有关，一般是拱上腹孔跨度越大，偏离影响也越大。孔跨度越大，偏离影响也越大。第三章第三章 拱桥计算拱
31、桥计算2）弹性压缩引起的内力）弹性压缩引起的内力恒载轴向压恒载轴向压力作用下力作用下拱圈拱轴拱圈拱轴长度的缩短长度的缩短内力内力第三章第三章 拱桥计算拱桥计算022lHgcoscos0sslEANdsdsdxl由变形相容方程有：由变形相容方程有：其中：其中：cosgHN 弹性压缩内力Hg计算公式推导22lHg单位冗余力X2引起X2方向方向的变位恒载引起的沿跨径方向的拱轴变位（水平变位）因：因：lglgEAdxHEAdxHl00coscos因：因：1yyys其中：其中：ssEIdsyEAds22cossssssEIdsyEAdsEIdsyEAdsNEIdsM222222222)1(cos单位水平
32、力作用在弹性中心产生的水平位移1cos11120gslggHEIdsyEAdxHHssEIdsyEAdx21cos第三章第三章 拱桥计算拱桥计算sin1)(1cos11111gsggHQyyHMHN考虑弹性压缩在拱内产生的弯矩、剪力和轴力（由Hg产生）11ggHHssEIdsyEAds22cosssEIdsyEAdx21cos弹性压缩内力Hg拱肋任意截面上产生的附加内力两个积分常两个积分常数，可由计数，可由计算或查表确算或查表确定定NXY11gHy1ysQM3、恒载作用下拱圈各截面总内力、恒载作用下拱圈各截面总内力（不计空腹式拱桥压力线与拱轴线偏离）（不计空腹式拱桥压力线与拱轴线偏离）sin1
33、)(1cos1cos1111gsgggHQyyHMHHN51,1041,2031,30lfmllfmllfmlu桥规规定，下列情况可桥规规定，下列情况可不考虑弹性压缩的影响不考虑弹性压缩的影响00cosQMHNgsin1)(1cos11111gsggHQyyHMHN总内力总内力不计压缩不计压缩计入压缩计入压缩第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算BC2.活载内力计算活载内力计算1)活载的横向分布系数活载的横向分布系数（1）石拱桥、混凝土箱梁桥）石拱桥、混凝土箱梁桥假设荷载均匀分布于拱圈全部宽度上。假设荷载均匀分布于拱圈全部宽度上。对于矩形拱，如取单位拱圈宽度计算，则对于矩
34、形拱，如取单位拱圈宽度计算，则横向分布系数为：横向分布系数为：对于板箱拱，如取单个拱箱肋进行计算，对于板箱拱，如取单个拱箱肋进行计算，则横向分布系数为：则横向分布系数为：nCC车列数车列数B拱圈宽度拱圈宽度n 拱箱个数拱箱个数（2）肋拱桥）肋拱桥对双肋拱桥（包括上、中、下承式），可以采用杆杠原理计算。对双肋拱桥（包括上、中、下承式），可以采用杆杠原理计算。对于多肋拱，拱上建筑一般为排架式，其荷载分布系数可按梁对于多肋拱，拱上建筑一般为排架式，其荷载分布系数可按梁式桥计算。式桥计算。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算333333332222222211111111000PPPPPPXXXXXX2)活
35、载的内力影响线活载的内力影响线（1）赘余力影响线）赘余力影响线在求拱内力影响线时，常采用如在求拱内力影响线时，常采用如右图右图a所示的简支曲线梁为基本结所示的简支曲线梁为基本结构。构。为便于分析，图为便于分析，图a可以变换为图可以变换为图b和图和图c两种基本结构表示。两种基本结构表示。取图取图c中赘余力为中赘余力为 X1、X2、X3，根据弹性中心的性质，有：根据弹性中心的性质，有：拱的计算基本结构 第三章第三章 拱桥计算拱桥计算)1(2mlkfEIldkshEIldsEIMEIlfdkshchkmfchkmfEIldsEIMEIldkshEIldsEIMlslsls32202323332220
36、222210222111111)1(111其中：dldxdscos12coskshtg2221111cos式中：,11为系数，可查相应的表格得到；第三章第三章 拱桥计算拱桥计算dsEIMMdsEIMMdsEIMMsPPsPPsPP332211321,XXX321,XXX为了计算变位，在计算为了计算变位，在计算MP时，时，可利用对称性，将单位荷载分解为可利用对称性，将单位荷载分解为正对称正对称和和反对称反对称两组荷载，并设荷两组荷载，并设荷载作用在右半拱。载作用在右半拱。将上述系数代入式（13-51）后，即可得P1作用在B点时的赘力 。为了计算赘余力的影响线，一般可将拱圈沿跨径分为48等分。当P
37、1从左拱脚以l为部长（l=l/48）移到右拱脚时，即可利用式（1351），得出 影响线的竖坐标（如下图）。321,XXX321,XXX第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算（2）内力影响线）内力影响线有了赘余力影响线后，拱中任意截面影响线都可以利用静力平衡条有了赘余力影响线后，拱中任意截面影响线都可以利用静力平衡条件和叠加原理求得。件和叠加原理求得。A.拱中任意截面水平推力拱中任意截面水平推力H1的影响线的影响线由由X0，则，则H1X2，故，故H1的影响线与赘余力的影响线与赘余力X2的影响线相同：的影响线相同：B.拱脚竖向反力拱脚竖向反力V的影响线的影响线将赘余力将赘余力
38、X3移至两支点后，由移至两支点后，由Y0，有，有VV0X3式中：式中：V0简支梁的影响线，上边符号适用于右半跨，下边符号适用简支梁的影响线，上边符号适用于右半跨，下边符号适用于左半跨于左半跨X3正方向反力正方向第三章第三章 拱桥计算拱桥计算1310XxXyHMMi0M110XyHMMdC.任意截面弯矩的影响线任意截面弯矩的影响线如左图，可得任意截面i 的弯矩影响线式中：M0 为简支梁弯矩对于拱顶截面x=0，上式可写为：第三章第三章 拱桥计算拱桥计算cossincos111HNVHNHNjj轴向力轴向力拱顶拱顶拱脚拱脚其它截面其它截面剪力剪力拱顶：数值很小，可不考虑拱顶：数值很小，可不考虑拱脚：
39、拱脚：jjVHQcossin1其它截面：数值较小，可不考虑其它截面：数值较小，可不考虑D.任意截面轴力和剪力影响线任意截面轴力和剪力影响线任意截面任意截面I 的轴力和剪力影响线的轴力和剪力影响线在截面在截面I处有突变，比较复杂处有突变，比较复杂。可先算出该截面。可先算出该截面的水平力的水平力H1和拱脚的竖向反力和拱脚的竖向反力V，再按下，再按下列计算式计算轴向力列计算式计算轴向力N和和Q。N=QbsinH1cos Q=H1sinQbsin 荷载载在截面以左 1VQ荷载载在截面以右 VQ左b左b第三章第三章 拱桥计算拱桥计算3、活载内力计算、活载内力计算主拱圈是偏心受压构件，最大正压力是由截面弯
40、矩主拱圈是偏心受压构件，最大正压力是由截面弯矩M还轴还轴向力向力N共同决定的，严格来说，应绘制核心弯矩弯矩影响线，共同决定的，严格来说，应绘制核心弯矩弯矩影响线，求出最大和最小核心弯矩值，但计算核心弯矩影响线十繁琐。求出最大和最小核心弯矩值，但计算核心弯矩影响线十繁琐。在实际计算中，考虑到拱桥的抗弯性能远差于其抗压强度在实际计算中，考虑到拱桥的抗弯性能远差于其抗压强度的特点，的特点，一般可在弯矩影响线上按最不利情况加载，求得最一般可在弯矩影响线上按最不利情况加载，求得最大（或最小）弯矩，然后求出与这种加载情况相应的大（或最小）弯矩，然后求出与这种加载情况相应的H1和和V的数值，以求得与最大（或
41、最小）弯矩相应的轴力。的数值，以求得与最大（或最小）弯矩相应的轴力。影响线加载影响线加载直接加载法直接加载法等代荷载法等代荷载法（1）加载工况说明）加载工况说明（2）直接加载法）直接加载法A）首先画出计算截面的弯矩影响线、水平推力和支座竖）首先画出计算截面的弯矩影响线、水平推力和支座竖向影响线；向影响线；B）根据弯矩影响线确定汽车荷载最不利加载位置（最大、）根据弯矩影响线确定汽车荷载最不利加载位置（最大、最小）；最小）；C）以荷载值（车辆轴重）乘以相应的影响线坐标，求）以荷载值（车辆轴重）乘以相应的影响线坐标，求得最大弯矩（最小弯矩）及相应的水平推力和支座竖向得最大弯矩（最小弯矩）及相应的水平
42、推力和支座竖向反力。反力。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算maxSK（3）等代荷载（换算荷载）等代荷载（换算荷载）加载法加载法等代荷载是这样一均布荷载K，它所产生的某一量值，与所给移动荷载产生的该量值的最大值 相等：是等代荷载K所对应影响线所包围的面积a 下图是拱脚处的弯矩及水平推力和支座竖向影响线，将等代荷载布置在影响线的正弯矩区段。b 根据设计荷载和正弯矩区影响线的长度，可由拱桥手册查得最大正弯矩Mmax的等代荷载KM及相应推力和竖向反力的等代荷载KH和KV。c 以 ，分别乘以正弯矩及相应的推力和竖向反力的面积,即可求得其内力maxSVHMKKK,VHM,222
43、2cossEANdslH)sin1(coscossin111HQHQHNsin1HQ活载弹性压缩与恒载弹性压缩计算相似，也在弹性中心产生赘余水平活载弹性压缩与恒载弹性压缩计算相似，也在弹性中心产生赘余水平力力 H，其大小为：，其大小为：取脱离体如下图，将各力投影到水平方向有：相对较小，可近似忽略，则有：cos1HN（4）活载弹性压缩产生的内力活载弹性压缩产生的内力第三章第三章 拱桥计算拱桥计算101coscosEAdxHEANdsls1)1(coscos112012201HEIdsyEAdxHEAdxHHsll111111111HHHHHH则：考虑弹性压缩后的活载推力（总推力）为：活载弹性压缩
44、引起的内力为：活载弹性压缩引起的内力为：弯矩：弯矩：轴力：轴力：剪力：剪力：sin1sincos1cos1111111HHQHHNyHHyM第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算三、主拱附加内力计算三、主拱附加内力计算附加内力附加内力温度变化产生的附加内力温度变化产生的附加内力混凝土收缩、徐变产生的附加内力混凝土收缩、徐变产生的附加内力拱脚变位产生的附加内力拱脚变位产生的附加内力水浮力引起的内力计算水浮力引起的内力计算stttEIdsyllH222)1(tllt1、温度引起的内力计算、温度引起的内力计算p设温度变化引起拱轴在水平设温度变化引起拱轴在水平方向的变位为方向的变
45、位为lt,，弹性中心，弹性中心产生一对水平力产生一对水平力Ht：tlltsincos)(1111ttsttHQHNyyHyHM式中：式中：t 温度变化值，即最高（或最低）温度与合龙温度变化值，即最高（或最低）温度与合龙温度之差，温度上升时为正，下降时为负；温度之差，温度上升时为正，下降时为负；材料的线膨涨系数；材料的线膨涨系数；弯矩弯矩轴力轴力剪力剪力p温度变化附加内力为：温度变化附加内力为：第三章第三章 拱桥计算拱桥计算p混凝土收缩引起的变形，其对拱桥的作用与温度下降相似。混凝土收缩引起的变形，其对拱桥的作用与温度下降相似。通常将混凝土收缩影响折算为温度降低。通常将混凝土收缩影响折算为温度降
46、低。2、混凝土收缩引起的内力、混凝土收缩引起的内力第三章第三章 拱桥计算拱桥计算以乘以以下系数考虑徐变对混凝土收缩效应和温度变化效应以乘以以下系数考虑徐变对混凝土收缩效应和温度变化效应影响：影响：温度变化影响力：温度变化影响力：0.7混凝土收缩影响：混凝土收缩影响：0.45（1）整体浇筑的混凝土收缩影响，一般相当于降低温度）整体浇筑的混凝土收缩影响，一般相当于降低温度20，干操地区为，干操地区为30，整体浇筑的钢筋混凝土收缩影响，相整体浇筑的钢筋混凝土收缩影响，相当于降低温度当于降低温度15 20。（2）分段浇筑的混凝土或钢筋混凝土收缩影响：）分段浇筑的混凝土或钢筋混凝土收缩影响：10 15。
47、（3）装配式钢筋混凝土收缩影响：）装配式钢筋混凝土收缩影响：5 10。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算HAHBHHAHB,3、拱脚变位引起的内力计算、拱脚变位引起的内力计算（1）拱脚相对水平位移引起的内拱脚相对水平位移引起的内力力设两拱脚发生的相对位移为：式中左、右拱脚的水平位移，自原位置向右移为正。n由拱脚产生相对水平位移由拱脚产生相对水平位移 在弹性中心产生的赘余力为：在弹性中心产生的赘余力为：sHHEIdsyX2222HVAVBVVAVB,（2）拱脚相对垂直位移引起的内力拱脚相对垂直位移引起的内力如拱脚的垂直相对位移为：式中左、右拱脚的水平位移，均自原位置向下移为正。n由拱脚产生相对垂直位
48、移由拱脚产生相对垂直位移 在弹性中心产生的赘余力为：在弹性中心产生的赘余力为：sVVEIdsyX2333第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算（3）拱脚相对角变位引起的内力拱脚相对角变位引起的内力如下图，拱脚B发生转角 (顺时针为正)之后，在弹性中心除产生相同的转脚 之外，还会引起水平位移 和垂直位移 。因此，在弹性中心会产生三个赘余力 。其典型方程为：321,XXX000333222111VHBXXXHHBBBVH2/cos)(sin)2/()(cos2/lyflyftglBVsBHsB根据上图的几何关系，有：代入式（1277）得：sBssBBEIdsxlXEIdsyy
49、fXX23221112)(第三章第三章 拱桥计算拱桥计算sincoscossin2323321XXQXXNxXyXXMA拱脚相对变位引起各截面的内力为：1000/1000/424lAkNlAkMNMNmkk,4、水的浮力引起的内力水的浮力引起的内力如图所示，当拱有一部分淹没时，应考虑水浮力的作用：不计弹性压缩时，浮力产生的弯矩和轴力分别为：式中：弯矩及轴力系数 A 拱圈外轮廓面积水的容重l 拱圈的计算跨度Nmkk,4第三章第三章 拱桥计算拱桥计算第三章第三章 拱桥计算拱桥计算拱上建筑与拱分开各自独立计算拱上建筑与拱分开各自独立计算对主拱圈作用偏于安全对拱上建筑偏于不安全拱上建筑与主拱拱上建筑与
50、主拱联合作用计算联合作用计算必须考虑施工程序一般采用程序计算，这里，仅介绍简一般采用程序计算，这里，仅介绍简化方法化方法五、拱上建筑计算五、拱上建筑计算拱上建筑与主拱联合作用：拱上建筑与主拱联合作用：主拱弹性变形影响到拱上建筑内主拱弹性变形影响到拱上建筑内力，而拱上建筑又约束着主拱的变位。力，而拱上建筑又约束着主拱的变位。第三章第三章 拱桥计算拱桥计算 拱式拱上建筑拱式拱上建筑，可视为刚性支承在主拱上的多跨连续拱。，可视为刚性支承在主拱上的多跨连续拱。连续梁板式拱上建筑连续梁板式拱上建筑，行车道梁可视为在刚性支承上的连，行车道梁可视为在刚性支承上的连续梁，并可近似简化为三跨连续梁计算。续梁，并
