1、 17.1 概概 率论率论 初初 步步 -古典概型古典概型 重要的艺术一书的作者、意大利医生兼数学家卡当，曾大量的进行过赌博。他在赌博时研究不输的方法，实际是概率论的萌芽。据说卡当曾参加过这样的赌法：把两颗骰子掷出去，以每个骰子的点数之和作为赌博的内容。已知骰子的六个面上分别为16点，那么，赌注下在多少点上最有利123456123456723456783456789456789105678910116789101112随机抛掷两颗骰子，朝上的面的两数和为多随机抛掷两颗骰子，朝上的面的两数和为多少的可能性最大？少的可能性最大？点数之和分别可为点数之和分别可为212共共11种。从图中可种。从图中可
2、知，知，7是最容易出现是最容易出现(6次次)。则则7出现的概率是出现的概率是6/36=1/6卡当曾予言说押卡当曾予言说押7最好最好！17世纪中期，喜欢赌博的贵族梅莱向友人数学家帕斯卡（16231662，法国数学家、物理学家、哲学家）写信提了好多问题事实上概率论正是从梅莱的这封信开始的帕斯卡收到信以后和费马交换了意见，发展成了概率论 帕斯卡帕斯卡费马费马拉普拉斯拉普拉斯引例：掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率：引例：掷一颗均匀的骰子，求下列事件的概率：(1)出现出现5点；点；(2)出现奇数点；出现奇数点；(3)出现的点数大于出现的点数大于4；(4)出现出现7点；点；(5)出现的点数小于出现的点数
3、小于7；必然现象：必然现象：必然会出现的现象必然会出现的现象不可能现象：不可能现象：必然不会出现的现象必然不会出现的现象随机现象：随机现象：在一定条件下有可能出现也有在一定条件下有可能出现也有可能不出现且有统计规律的现象可能不出现且有统计规律的现象 判判断断下下列列现现象象是是否否为为随随机机现现象象？（1 1）在在标标准准大大气气压压下下，水水在在0 C0 C时时结结冰冰。（2 2）明明年年上上海海5 5月月份份的的平平均均温温度度为为20 C20 C一、随机事件与古典概型一、随机事件与古典概型对随机现象的观察、记录、试验统称为对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验随机试验。试验的所有可
4、能的结果都叫做试验的所有可能的结果都叫做试验结果试验结果或或基本事件基本事件所有可能的基本事件所组成的集合叫做所有可能的基本事件所组成的集合叫做基本事件全集基本事件全集122 n 记记作作：，随机事件所组成的集合常用随机事件所组成的集合常用A、B表示，它是表示，它是的子的子集。必然事件和不可能事件都是随机事件集。必然事件和不可能事件都是随机事件.必然事件必然事件:试验后必定出现的事件，试验后必定出现的事件，不可能事件不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件，在一定条件下不可能发生的事件，记作记作。概率：概率：对随机事件出现可能性大小的数值对随机事件出现可能性大小的数值度量叫做这个随机事件的概率
5、。度量叫做这个随机事件的概率。()AP A随随机机事事件件 的的概概率率记记做做 生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：基本事件只有有限个；基本事件只有有限个；每个基本事件发生的可能性相同每个基本事件发生的可能性相同具有这两个特点的概率模型叫具有这两个特点的概率模型叫古典概型古典概型.。古典概型古典概型()AP A 随随机机事事件件 所所包包含含的的事事件件数数试试验验中中所所有有显显然然的的事事件件数数 如果某个事件如果某个事件A A包含了其中包含了其中m m个等可能基本事个等可能基本事件，那么事件件，那么事件A A的概率的概率nmAP)(如果一次试
6、验的等可能基本事件共有如果一次试验的等可能基本事件共有n n个，那么每一个，那么每一个基本事件的概率都是个基本事件的概率都是 。1n(1)0()1P A (2)()1,()0PP 注意：注意：12212(3)()()()1nnPPP 若若，则则二、古典概型的求解步骤二、古典概型的求解步骤解：设解：设H为正面；为正面；T为反面，为反面，=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT,n=2228，1113133()8mmCP An，(1)A1=HTT,THT,TTH,例例1.将一枚硬币抛掷三次。设：将一枚硬币抛掷三次。设：(1)事件事件 A1为为“恰有一次出现正面恰有一次出现正
7、面”，(2)事件事件 A2为为“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”，求求 P(A1),P(A2)。(2)A2=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH 22278 1()8mmP An，例例2.2.一部一部5 5卷文集，将其按任意顺序排放在书卷文集，将其按任意顺序排放在书架上试求其恰好按先后顺序排放的概率架上试求其恰好按先后顺序排放的概率 12345543212A：或或共共 种种555P将将 卷卷文文集集任任意意排排放放，共共有有种种不不同同的的排排法法 552160P AP所所以以解：设解：设 A A=5=5卷文集按先后顺序排放卷文集按先后顺序排放 三、等可能事件和对立事件
8、的概率三、等可能事件和对立事件的概率 1(.)mPnAAmn 一一次次试试验验有有 种种等等可可能能 出出等等可可能能事事件件及及其其概概率率现现的的结结果果.其其中中事事件件 包包含含种种，则则：2.(1()UIE FE FEFEP AFAAP A 事事件件、满满足足：，则则、叫叫对对立立事事件件，记记 的的对对立立事事件件为为，对对立立事事件件及及其其则则概概率率：，且且例例1.在在100件产品中有件产品中有90件一等品和件一等品和10件二等件二等品，从中随机取出品，从中随机取出4件产品件产品.求求(1)恰有一件二恰有一件二等品的概率；等品的概率；(2)至少含有一件二等品的概率至少含有一件
9、二等品的概率.41001004 C解解：在在件件产产品品中中取取出出 件件产产品品，所所有有的的基基本本 事事件件数数为为；319010(1)41 AAC C记记 随随机机取取出出的的 件件产产品品中中恰恰有有 件件二二等等品品 为为，则则 所所包包含含的的事事件件数数为为，490(2)41 BBBC记记 随随机机取取出出的的 件件产产品品中中至至少少含含有有 件件二二等等品品 为为，则则 的的对对立立事事件件 所所包包含含的的事事件件数数为为，31901041001424()0.304753C CP AC4904100()0.65()1()0.35CP BP BP BC例例2.求随机抽取的求
10、随机抽取的10个同学中，至少有个同学中，至少有2个在个在同一月份出生的概率同一月份出生的概率.101012解解：个个同同学学出出生生的的基基本本事事件件数数为为；101210 AAP记记个个同同学学在在不不同同的的月月份份出出生生 为为，则则 所所包包含含的的事事件件数数为为，101210()0.0039()1()0.996112PP AP AP A例例3.一个袋子中有一个袋子中有10个红色球，个红色球，5个蓝色球，个蓝色球，10个无色球，这些球的质地、形状都一样，个无色球，这些球的质地、形状都一样，同时抽取同时抽取2个球个球.(1)都是有色球的概率是多少？都是有色球的概率是多少？(2)至少有
11、一个是无色球的概率是多少？至少有一个是无色球的概率是多少？225252C解解：个个球球中中任任意意抽抽取取 个个的的基基本本事事件件数数为为；215(1)2 AAC记记 抽抽取取的的 个个球球中中都都是是有有色色球球 为为，则则 所所包包含含的的事事件件数数为为，2152257()20CP AC(2)2 BBA 记记 抽抽取取的的 个个球球中中至至少少有有一一个个无无色色球球 为为，则则，13()()1()20P BP AP A例例4.抛掷三枚均匀的硬币，求下列事件的概抛掷三枚均匀的硬币，求下列事件的概率：率：(1)三枚硬币都是字朝上；三枚硬币都是字朝上；(2)至少有一至少有一枚字朝上，一枚图
12、朝上枚字朝上，一枚图朝上.328 解解：抛抛掷掷三三枚枚均均匀匀的的硬硬币币的的基基本本事事件件数数为为；(1)1AA记记 三三枚枚硬硬币币都都是是字字朝朝上上 为为，则则 所所包包含含的的事事件件数数为为，1()8P A(2)2.BCBCC 记记 三三枚枚硬硬币币中中至至少少一一枚枚字字朝朝上上，一一枚枚图图朝朝上上 为为，三三枚枚都都是是字字朝朝上上或或图图朝朝上上 为为，则则，显显然然 包包含含的的事事件件数数为为2113()()()18444P CP BP C例例5.(摸球问题摸球问题)设盒子中设盒子中有有3 3个白球，个白球，2 2个红球，现个红球，现从从盒子盒子中任中任抽抽2 2个
13、个球，求取到一红一白的概率。球，求取到一红一白的概率。1132251132523 ()5CAAC CPCACC解解：从从盒盒子子中中任任取取两两个个球球的的基基本本事事件件数数是是记记 取取到到一一红红一一白白 为为，则则 中中包包含含的的事事件件数数为为 kn kMNMnNNMnnC CPCk 一一般般地地：若若盒盒子子中中有有个个球球，其其中中有有个个白白球球，从从中中任任取取 个个，则则这这球球 个个中中恰恰有有 个个白白球球的的概概率率：例例6.(分球问题分球问题)将将3个球随机的放入个球随机的放入3个盒子中个盒子中.求求(1)每盒恰有一球的概率；每盒恰有一球的概率；(2)恰空一盒的概
14、率恰空一盒的概率.3333 333(1)33!2()93!AAP AP 解解：将将 个个球球随随机机放放入入 个个盒盒子子中中基基本本事事件件数数为为 设设：每每盒盒恰恰有有一一球球.则则 中中包包含含的的基基本本事事件件 数数为为3(2)2 313.()39()()()122()13199BCCP CP AP BPPCB 设设：空空一一盒盒，：空空 盒盒，则则 中中包包含含的的基基本本 事事件件数数为为 又又 nmnnmPPm 一一般般地地，将将 个个求求放放入入 个个盒盒子子中中，每每盒盒至至多多一一个个球球的的概概率率例例7.7.(分组问题分组问题)3030名学生中有名学生中有3 3名运
15、动员，将这名运动员，将这3030名学生平均分成名学生平均分成3 3组，求：组，求：(1 1)每组有一名运动员的每组有一名运动员的概率；概率；(2 2)3 3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。101010302010331119991119993321271893212718933101010333020103371010327201022303 (1)50()203 (2)3 C C CPAAC C C C C CC C C C C C PP APC C C PBAC C C CP解解：将将个个人人平平均均分分为为 组组，基基本本事事件件数数为为设设 每每组组有有一一名名
16、运运动动员员 为为；则则 中中包包含含的的基基本本事事件件数数为为名名运运动动员员集集中中在在一一组组 为为；则则 中中包包含含的的基基本本事事件件数数为为3710103327201031010102302010218()203C C C C PP AC C C P练习：练习：1.某小组有成员某小组有成员3人每人在一个星期中参加一天劳人每人在一个星期中参加一天劳动，如果劳动日期可随机安排，则动，如果劳动日期可随机安排，则3人在不同的人在不同的3天天参加劳动的概率为参加劳动的概率为 。2.有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜面，在每种颜色的色的3面旗帜上分别标上
17、号码面旗帜上分别标上号码1、2和和3，现任取出，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 。3.在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的赛委员会决定将裁判由原来的9名增至名增至14名，但只名，但只任取其中任取其中7名裁判的评分作为有效分，若名裁判的评分作为有效分，若14名裁判名裁判的评分中有的评分中有2个受贿，则有效分中没有受贿裁判的个受贿，则有效分中没有受贿裁判的评分的概率是评分的概率是 。37330()749PP A 111321391()14PPPP AC7127143()13
18、CP AC4.某国际科研合作项目成员由某国际科研合作项目成员由11个美国人、个美国人、4个法个法国人和国人和5个中国人组成。现从中随机选出两位作为个中国人组成。现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为为 。5.若在二项式若在二项式(x+1)10展开式中任取一项，则该项的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率系数为奇数的概率 。6.两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷成，每卷1本，共本，共8本。将它们任意地排成一排，左本。将它们任意地排成一排，左边边4本恰好都属于同一部
19、小说的概率是本恰好都属于同一部小说的概率是 。11111122211411545114522202033()11313CCCCCCCCCP ACC或或4()11P A 2 4!4!1()8!35P A7.以平行六面体以平行六面体ABCD-A1B1C1D1的任意三个顶点为的任意三个顶点为顶点作三角形顶点作三角形,从中随机取出两个三角形，求这两从中随机取出两个三角形，求这两个三角形不共面的概率个三角形不共面的概率。8.某轻轨列车有某轻轨列车有4节车厢节车厢,现有现有6位乘客准备乘坐，设位乘客准备乘坐，设每一位乘客进入每节车厢是等可能的，求这每一位乘客进入每节车厢是等可能的，求这6位乘位乘客进入各节
20、车厢的人数恰好为客进入各节车厢的人数恰好为0、1、2、3的概率的概率.9.有有10个人，每个人都等可能地被分到个人，每个人都等可能地被分到16个房间中个房间中的任意一间去住，求下列事件的概率：的任意一间去住，求下列事件的概率：(1)指定的指定的10个房间各有一个人住个房间各有一个人住;(2)恰好有恰好有10个房间个房间,其中各住一个人；其中各住一个人；(3)某指定的房中恰好有某指定的房中恰好有3个人个人.2425612367()1385CP AC 1321346313664 5 4 3 645().44128C C C C PP A 1101016210371031010!(1)()1610!(2)()1615(3)().16P ACP ACP A
