1、 线性代数线性代数 同济六版同济六版一元一次方程一元一次方程 ax=b 一元二次方程一元二次方程二元二元、三元线性方程组、三元线性方程组n行列式行列式n矩阵及其运算矩阵及其运算n矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组n向量组的线性相关性向量组的线性相关性n矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量一元一次方程一元一次方程 ax=b 当当 a0 时，时，bax1 10 x2x22x3x22121 2312二元二元（三元）线性方程组（三元）线性方程组例例 解二元线性方程组解二元线性方程组14x71 得得于是于是2x1 6x2 42x72 类似地，可得类似地，可得于是于是第一章第一章
2、 行列式行列式1 1 二阶与三阶行列式二阶与三阶行列式,21122211212221aaaabaabx1 )(1bxaxabxaxa22221211212111 线性方程组线性方程组时，得时，得当当0aaaa1221211乘乘第第二二个个方方程程乘乘第第一一个个方方程程的的两两边边，即即用用1222aa 212221112212211baabxaaaa )(消去消去 x2 ,的两边后的两边后,两式相加得两式相加得消元法消元法记记22211211aaaa22211211aaaa称它为称它为二阶行列式二阶行列式，于是，线性方组（于是，线性方组（1）的解可以写为）的解可以写为21122211aaaa
3、定义为定义为类似地，可得类似地，可得.aaaaabbax211222112112112 ,21122211212221aaaabaabx1 333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa 类似的，我们还可以定义三阶行列式为类似的，我们还可以定义三阶行列式为3221312312332211aaaaaaaaa13222112112211112222112112221211aaaababaxaaaaababx ,n 阶排列共有阶排列共有 n!个个.排列的逆序数排列的逆序数 2 全排列及其逆序数全排列及其逆序数 把把 1,2,n 排成一列，
4、称为一个排成一列，称为一个 n 阶全排列阶全排列.奇排列奇排列 逆序数为奇数的排列逆序数为奇数的排列.在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有在一个排列中如果一对数的前后位置与大小次序相反就说有 例例 1 排列排列 1 2 n 称为自然排列，称为自然排列，所以是偶排列所以是偶排列.一个一个逆序逆序.偶排列偶排列 一个排列中所有逆序的总数一个排列中所有逆序的总数.逆序数为偶数的排列逆序数为偶数的排列.它的逆序数为它的逆序数为0，三 阶排列阶排列共有共有321=3!个个.321jjj 例例 2 排列排列 3 2 5 1 4 的逆序数为的逆序数为 t()例例 3 排列排列 n(n 1)3
5、 2 1 的逆序数为的逆序数为 t(n(n 1)3 2 1)=0+1+2+(n 1)=21nn 排列排列 3 2 5 1 4 为奇排列为奇排列.5333231232221131211aaaaaaaaa312213332112322311aaaaaaaaa 三阶行列式定义为三阶行列式定义为3221312312332211aaaaaaaaa13 3n 阶行列式的定义阶行列式的定义三阶行列式是三阶行列式是 3!=6 项项 的代数和的代数和.321321j3j2j1jjjtaaa1)()(321j3j2j1aaa 123231312132213321t(123)=0t(231)=2t(312)=2t(
6、132)=1t(213)=1t(321)=3三阶行列式可以写成三阶行列式可以写成3213212331232221131211j3j2j1jjjt33aaaaaaaaaaaa1)()(,的的一一个个排排列列，是是其其中中321jjj321.jjjjjjt321321的的逆逆序序数数是是排排列列)(定义定义 由由 n2 个数组成的数表，个数组成的数表，的的一一个个排排列列，是是其其中中n21jjjn21.jjjjjjtn21n21的的逆逆序序数数是是排排列列)(n21n21njj2j1jjjtaaa1.)()(nn2n1nn22221n11211a.aaa.aaa.aa称为称为 n 阶行列式阶行列
7、式,项的代数和，项的代数和，即即 规定为所有形如规定为所有形如记成记成nn2n1nn22221n11211a.aaa.aaa.aa例例 1 下三角行列式下三角行列式333231222111aaa0aa00a332211aaa n21n21njj2j1jjjtaaa1.)().(例例2 下三角行列式下三角行列式nn2211aaa nn2n1n222111a.aa0.aa0.0a例例 3 三阶行列式三阶行列式321 321 例例5 n 阶行列式阶行列式n21 n2121nn1 )()(4321 例例4 四阶行列式四阶行列式4321 经对换经对换 a 与与 b,得排列得排列 ,m1k1babbaa1
8、babbaatbbabaatm1k1m1k1)()(所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性所以，经一次相邻对换，排列改变奇偶性.,11mkbbabaa 4 4 对换对换 对换对换 定理定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.证证 先证相邻对换的情形先证相邻对换的情形.那么那么设排列设排列 1cbcbabaan1m1k1经对换经对换 a 与与 b排列，得排列排列，得排列 2cacbbbaan1m1k1 相邻对换相邻对换 再证一般对换的情形再证一般对换的情形.设排列设排列事实上，排列（事实上，排列（1）经过）经过 2m+1 次相邻对换变为排
9、列（次相邻对换变为排列（2）.np2p1pppptn21n21aaaD1 )()(定理定理 2 n 阶行列式也可以定义为阶行列式也可以定义为根据相邻对换的情形及根据相邻对换的情形及 2m+1 是奇数，是奇数，性相反性相反.所以这两个排列的奇偶所以这两个排列的奇偶 53142 解解 t(5314 2)=0+1+2+1+3=7t(53412)=0+1+1+3+3=8 53412求这两个排列的逆序数求这两个排列的逆序数.经对换经对换1与与4 得排列得排列例例 1 排列排列 1.选择选择 i 与与 k 使使 （1）2 5 i 1 k 成偶排列成偶排列;（2）2 5 i 1 k 成奇排列成奇排列.项项，
10、是是否否为为四四阶阶行行列列式式中中的的和和2431431244332114aaaaaaaa2.若是，指出应冠以的符号若是，指出应冠以的符号 3.计算计算n 阶行列式阶行列式练习练习111是是四四阶阶，不不是是四四阶阶行行列列式式中中的的项项2431431244332114aaaaaaaa2.4331241224314312aaaaaaaa 21nn11113)()(.43312412433124123433124122413taaaaaaaa1aaaaa1 行列式中的项行列式中的项.1.（1）i=4,k=3时，即排列时，即排列 2 5 4 1 3 为偶排列；为偶排列；（2）i=3,k=4时，
11、即排列时，即排列 2 5 3 1 4 为奇排列为奇排列.性质性质 1 性质性质 2 5 行列式的性质行列式的性质 推论推论 两行（列）相同的行列式值为零两行（列）相同的行列式值为零.数数 k,推论推论 行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号 性质性质4 性质性质 3 式等于零式等于零.等于用数等于用数 k 乘此行列式乘此行列式.行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号.行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个行列式的某一行（列）中的所有元素都乘以同一个 行
12、列式中如果有两行（列）元素成比例行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列，则此行列 外面外面.nnnj2n1nn2j22221n1j11211nnnj2n1nn2j22221n1j11211acaaacaaacaaabaaabaaabaa 若行列式若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和的某一列（行）的元素都是两个元素和，nnnjnj2n1nn2j2j22221n1j1j11211acbaaacbaaacbaa)()()(例如例如则此行列式等于两个行列式之和则此行列式等于两个行列式之和.性质性质 5 把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到
13、另nnnjnjni1nn2j2j2i221n1j1j1i111aakaaaaakaaaaakaaannnjni1nn2j2i221n1j1i111aaaaaaaaaaaa一行（列）的对应元素上去，一行（列）的对应元素上去，行列式的值不变行列式的值不变.性质性质 6,nnn2n12n22121n2111aaaaaaaaa,aaaaaaaaaDnn2n1nn22221n11211 设设行列式行列式 DT 称为行列式称为行列式 D 的转置行列式的转置行列式.记记那么那么DDT 222cbacba1111例例222cc1bb1aa1=TD,bbbbbbbbbDnn2n1nn22221n112111 设
14、行列式设行列式 D=det(aij)互换第互换第 i,j(i j )两行两行,得行列式得行列式 性质性质 2 的证明的证明33332222dcbadcbadcba11112例例33332222dcba1111dcbadcba 其中，当其中，当 k i,j 时时,bkp=akp;当当 k=i,j 时，时，bip=ajp,bjp=aip,nji1nji1npjpipp1t1bbbbpppp1D )()(其中其中,1i j n 是自然排列是自然排列,)()()()(11ppppppppnji1nij1tt 所以所以nij1nij1npjpipp1t1aaaappppD1 )()(nji1nji1np
15、ipjpp1taaaapppp1 )()(nij1nji1npjpipp1taaaapppp1 )()(于是于是=D333231232221131211aaakakakaaaa 333231232221131211aaaaaaaaak，若若例例121013201D 4121013402 则则D21210132012)()(例例 3333231232221131211aaaaaakakaka 333231232221131211kakakaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaak132141131132010131 r2-r1 例例5=422510211=0 例例6
16、 例例725422251021142251021125205102115021011343212101D 解解 r2-r1,r3-3r1,r4-r1 例例 8 计算行列式计算行列式7120641022202101D r22 r3+r2 ,r4-2r293005300111021012 71206410111021012 r4(-3),r3r4 r4+3r353003100111021016 40003100111021016 24 dc3b6a10cb3a6ba3adc2b3a4cb2a3ba2adcbacbabaadcbaD cb3a6ba3a0cb2a3ba2a0cbabaa0dcbaD
17、ba3a00ba2a00cbabaa0dcba 例例 9 计算行列式计算行列式 解解 从第从第 4 行开始，后行减前行得，行开始，后行减前行得，2334rrrr a000ba2a00cbabaa0dcba 34rr4a 例例 10 计算行列式计算行列式axxxxaxxxxaxx3ax3ax3ax3aD axxxxaxxxxaxxxxaD 解解 各行都加到第一行，各行都加到第一行，axxxxaxxxxax1111x3a)(xa0000 xa0000 xa01111x3a)(3xax3a 各行都减第一行的各行都减第一行的 x 倍倍第一行提取公因子第一行提取公因子(a+3x)6 行列式按行（列）展开
18、行列式按行（列）展开 在在 n 阶行列式阶行列式 det(aij)中，把元素中，把元素 aij 所在的第所在的第 i 行和第行和第 j 列列 Aij=(1)i+j Mij 记成记成 Mij,称为元素称为元素 aij 的的余子式余子式.称它为元素称它为元素 aij 的的代数余子式代数余子式.划去划去,剩下的剩下的(n 1)2 个元素按原来的排法构成的个元素按原来的排法构成的 n 1 阶行列式阶行列式,记记 例例1 三阶行列式三阶行列式 323231232221131211aaaaaaaaa中元素中元素 a23 的余子式为的余子式为3231121123aaaaM 元素元素 a23 的代数余子式为的
19、代数余子式为23233223MM1A )(例例2 四阶行列式四阶行列式 103032x115201101 中元素中元素 x 的代数余子式为的代数余子式为1001501111A2332 )(=5ji0AaAaAanjnij2i2j1i1 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元 或或ji0AaAaAajnin2j2i1j1i 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应.n,2,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 或或.n,2,1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1 的代数余子式乘积之和，
20、即的代数余子式乘积之和，即素的代数余子式乘积之和等于零素的代数余子式乘积之和等于零.即即 定理定理 3推论推论 引理引理 在行列式在行列式 D 中，如果它的第中，如果它的第 i 行中除行中除 aij 外其余元素外其余元素都为都为0,即即 D=aij Aijnnnj1nijn1j111aaa0a0aaaD那么那么nn2n1nn2222111aaaaaa00aD 证明证明 先证先证 aij 位于第位于第 1 行，第行，第 1 列的情形，即列的情形，即由行列式的定义，得由行列式的定义，得 n21n21npp2p1ppptaaaD1 )(n2n2npp2ppt11aaa1 )(n211n21n2n2n
21、pp2p11pppptnpp211pp1taaaaaa11 )()(1111Ma 1111Aa 再证一般情形，设再证一般情形，设 nnnj1nijn1j111aaa0a0aaaD用互换相邻两行和相邻两列，把用互换相邻两行和相邻两列，把 aij 调到左上角，得行列式调到左上角，得行列式aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaann1jn1jn1nnjn1i1j1i1j1i11ij1in1i1j1i1j1i11ij1in11j11j111j1ij10000D ,利用前面的结果，得利用前面的结果，得ijij1MaD 于是于是1ji11j1iDDD11)()()()(所以引理成立所以引理成立.ijji
22、ijMa1)(ijijAa.n,2,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 定理定理 3 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应 证证 因为因为 或或n21jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1,nn2n1nin2i1in11211aaaa000a000aaaaD 的代数余子式乘积之和，即的代数余子式乘积之和，即椐引理，就得到椐引理，就得到nn2n1ninn11211nn2n1n2in11211nn2n1n1in11211aaaa00aaaaaa0a0aaaaaa00aaaa .n,2,1iAaAaAaDinin2i2i1i1i 类似地可
23、得类似地可得.n,2,1jAaAaAaDnjnjj2j2j1j1 例例 3 计算四阶行列式计算四阶行列式 x00yx00yx1xD114)(解解 按第按第 1 列展开，有列展开，有x00yyx000yx000yxD4 yx00yx00y1y14 )(44yx 例例 4 计算四阶行列式计算四阶行列式 ba000baba0baba1baD114)(解解 按第按第 1 行展开，有行展开，有ba00ba0baba00baba0ba00baD4 00bababa0baba01ba41 )(对等式右端的两个对等式右端的两个 3 阶行列式都按第阶行列式都按第 3 行展开，得行展开，得babababababa
24、D22 )()(224ba2 5021011321014321D 解解 c3-c1 c4-2c1 例例 5 计算四阶行列式计算四阶行列式 71264122211D12 7126411112 712641111121D 第第1 行提取行提取 2，第，第 2 行提取行提取 1按第按第 2 行展开得行展开得7121641300012221D 93532 9353112D11 40532D 按第按第 1 行展开行展开 r2+r1=249325310012D c2-c1 ，c3-c1 例例 6 证明范德蒙（证明范德蒙（Vandermonde）行列式行列式证证 用数学归纳法用数学归纳法.12212xxxx
25、11D nij1jixx)(1nn1n21n1n21nxxxxxx111D 所以当所以当 n=2 时（时（*）式成立）式成立.假设对于假设对于 n 1 阶范德蒙阶范德蒙 ri x1ri-1,i=n,n 1,2,有有因为因为 对对 n 阶范德蒙行列式做运算阶范德蒙行列式做运算 行列式等式成立行列式等式成立.)()()()(1n2nn132n3122n21nn1331221n1312nxxxxxxxxx0 xxxxxxxxx0 xxxxxx01111D 按第按第 1 列展开后，各列提取公因子列展开后，各列提取公因子(xi-x1)得得2nn2n32n2n321n1312nxxxxxx111xxxxx
26、xD )()(椐归纳法假设，可得椐归纳法假设，可得归纳法完成归纳法完成.1n1n1312nDxxxxxxD )()()()()(nij2ji1n1312nxxxxxxxxD nij1jixx)(ji0AaAaAanjnij2i2j1i 1 推论推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元 或或ji0AaAaAajnin2j2i1j1i 元素的代数余子式乘积之和等于零元素的代数余子式乘积之和等于零.即即例例7 计算计算 行列式行列式323232cccbbbaaa222cc1bb1aa1abc bcacababc 解解323232cccbbba
27、aa 先以先以 3 阶行列式为例，例如为了证得阶行列式为例，例如为了证得333231232221131211aaaaaaaaaD 3332312322213332311aaaaaaaaaD 0AaAaAa133312321131 因为因为就就得得到到分分别别换换成成将将上上式式中中的的333231131211a,a,aa,a,a,0aaaaaaaaaD3332312322213332311 所以所以.0AaAaAa133312321131 又又131312121111AaAaAa 133312321131AaAaAa 设行列式设行列式 D=det(aij)，nn1nin1iin1in1111a
28、aaaaaaaD.0D1 所所以以jnin2j2i1j1i1AaAaAaD 0AaAaAajnin2j2i1j1i 因为行列式因为行列式 D1中第中第 i 行与第行与第 j 行元素对应相同，行元素对应相同，把行列式把行列式 D1 按第按第 j 行展开，有行展开，有类似地，也可以证明另一个式子类似地，也可以证明另一个式子.所以所以jiji 行行第第行行第第推论的证明推论的证明取行列式取行列式 7 Cramer 法则法则 1bxaxaxabxaxaxabxaxaxannnn22n11n2nn22221211nn1212111 0aaaaaaaaaDnn2n1nn22221n11211 设线性方程组
29、设线性方程组 定理定理4 （Cramer 法则法则 ）若线性方程组（若线性方程组（1）的系数行列式不）的系数行列式不即即等于零，等于零，其中其中.n,2,1jaabaaaabaaaabaaDnn1j,nn1j,n1nn21j,221j,221n11j,111j,111j 2,DDx,DDx,DDxnn2211 则方程组有唯一解则方程组有唯一解n,2,1ibDDaDDaDDainin22i11i n,2,1iaabaabaabnn1nnn1111in1ii 证证 先证（先证（2）是（）是（1）的解，即要证明）的解，即要证明 为此看为此看 n+1 阶行列式阶行列式第第1行展开，注意到，其第一行中行
30、展开，注意到，其第一行中 aij 的代数余子式为的代数余子式为首先，因为第首先，因为第 1 行与第行与第 i+1 行相同行相同,所以它的值为零所以它的值为零.再把它按再把它按nin11iiDaDaDb0 nn1jn1jn1nnn21j21j2212n11j11j11111j1aaaabaaaabaaaab1 ,)()(n,2,1ibDDaDDaDDainin22i11i DDx,DDx,DDxnn2211 故有故有 因而因而 即即是线性方程组（是线性方程组（1）解）解.jj1j2jDD11 )()(3 个恒等式个恒等式333323213123232221211313212111bcacacab
31、cacacabcacaca A12,A22,An2 分别乘以上的分别乘以上的 3 个等式得个等式得323332332323213231222322232222212221121312132121211211AbcAacAacAaAbcAacAacAaAbcAacAacAa 323222121332332223121323232222212121323122211211AbAbAbcAaAaAacAaAaAacAaAaAa )()()(相加相加,得得 设设 x1=c1,x2=c2,x3=c3 是线性方程组（是线性方程组（1）的解）的解,于是有于是有 类似的可得类似的可得,DDc11.DDc33.
32、323222121333312322113111AbAbAbabaabaaba 于是于是,22DDc 也就是也就是.DDc22,0AaAaAaDAaAaAa0AaAaAa323322231213323222221212323122211211 由于由于 例例1 用用 Cramer 法则解线性方程组法则解线性方程组232130221444324214324321xxxxxxxxxxxxx141320310112204141D 解解 因为因为61320311112004111D2 41220310110204141D3 42320110102201141D4 所以所以.72x,72x,73x,71
33、5x4321 301322310112204141D1 0 x1xx0 xx1x0 xxx1321321321)()()(30 xaxaxa0 xaxaxa0 xaxaxannn22n11nnn2222121nn1212111 定理定理 5 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组的系数行列式的系数行列式 D0，那么它只有零解，那么它只有零解.下述齐次方程组有非零解下述齐次方程组有非零解？,取何值时取何值时例例 2 解解 根据定理根据定理 5，若此齐次线性方程组有非零解，则其系，若此齐次线性方程组有非零解，则其系 23111111111D)(,.时时或或当当经经验验证证可可知知，得得由由03030
34、D321 所述方程组确有非零解所述方程组确有非零解.行列式必为行列式必为 0.而而 第五章第五章 相似矩阵及二次型相似矩阵及二次型 1 预备知识预备知识 向量的内积向量的内积 定义定义 1 设有设有 n 维向量维向量,n21n21yyyyxxxx令令 x,y =x1 y1+x2 y2+xn yn,称称 x,y 为向量为向量 x 与与 y 的的内积内积.内积具有下列性质：内积具有下列性质：1.x,y =y,x ;y,xy,x.2 3.x+y,z =x,z +y,z ;4.x,x 0,其中其中 x，y，z 是为向量，是为向量，.为为实实数数 易知易知,x,y =xTy.当且仅当时当且仅当时x=0
35、时时 x,x =0.定义定义 2 非负实数非负实数称为称为 n 维向量维向量 x 的长的长.向量的长具有性质：向量的长具有性质：,.0 x1;.xx2 .yxyx3 长为长为 1 的向量称为单位向量的向量称为单位向量.若向量若向量 x 0,.是是单单位位向向量量则则xx1 如果如果 x,y =0，那么称向量，那么称向量 x 与与 y 正交正交.维单位向量维单位向量都是都是，例例3313131212100011 一组两两正交的非零向量一组两两正交的非零向量.;,0 x0 x 时时当当且且仅仅当当正交向量组正交向量组:2n2221xxxxxx ,.,都正交都正交量量试求一个非零向量与向试求一个非零
36、向量与向例例 121a111a221,321xxxx设所求的向量为设所求的向量为解解 0 xx2x0 xxx321321 121111A 0 xxx231.即为所求即为所求取向量取向量 101x那么它应满足那么它应满足,010101由由得得 规范正交向量组规范正交向量组:定理定理 1 正交向量组必线性无关正交向量组必线性无关.证证 设向量组设向量组 a1,a2,ar 是正交向量组是正交向量组,使使r21 ,.0aaarr2211 左乘上式两边，得左乘上式两边，得以以T1a,0aa1T11 ,0aaa0a211T11 ，所所以以因因为为.01 因此必有因此必有 类似的可证类似的可证.0r32 于
37、是向量组于是向量组 a1,a2,ar 线性无关线性无关.线性无关，线性无关，向量组向量组例例 0110013但不为正交向量组但不为正交向量组.向量组向量组 e1,e2,er 为规范正交向量组，当且仅当为规范正交向量组，当且仅当 .,.,;,r21jiji0ji1eeji当当当当 若有一组数若有一组数 由单位向量构成的正交向量组由单位向量构成的正交向量组.设向量组设向量组 a1,a2,ar 线性无关，则必有规范正交向量组线性无关，则必有规范正交向量组 正交化正交化：;11ab 取取单位化单位化：.,rrr222111bb1ebb1ebb1e 取取于是，于是，e1,e2,er 是规范正交向量组，是
38、规范正交向量组，.,1r1r1rr1r222r2111r1rrbbbabbbbabbbbabab 且与且与 a1,a2,ar;,1112122bbbabab ;,222321113133bbbabbbbabab 等价等价.e1,e2,er 与与 a1,a2,ar 等价等价.,规范正交化规范正交化把向量组把向量组例例 111a111a421;11ab 正交化：取正交化：取解解 11131.11232.,:11261bb1e11131bb1e222111取取再单位化再单位化e1,e2 即为所求即为所求.aaaaa 111a5 321321为正交向量组为正交向量组使使求向量求向量已知已知例例,111
39、 1111222bbbbaab,正正交交都都与与向向量量因因为为向向量量解解132aa,a0 xxx321 取它的一个基础解系取它的一个基础解系 101b011b32,再把再把b2,b3正交化即为所求正交化即为所求a2,a3.,011ba222223233aaababa,101也就是取也就是取 定义定义 3 设设 n 维向量维向量 e1,e2,er 是向量空间是向量空间 V 的一个基的一个基,如果向量组如果向量组 e1,e2,er 为规范正交向量组，为规范正交向量组，则称则称 e1,e2,.,01121.21121向量组向量组 a1,a2,a3 是所求正交向量组是所求正交向量组.er 是是 V
40、 的一个规范正交基的一个规范正交基.所以对齐次方程组所以对齐次方程组 定义定义 4 如果如果 n 阶矩阵阶矩阵 A 满足满足 那么称那么称 A 为正交矩阵为正交矩阵.n 阶矩阵阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向的列（行）向 设设n 阶矩阵阶矩阵 A=(a1,a2,an),其中其中 a1,a2,an 是是 或者说或者说,n 阶矩阵阶矩阵 A 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列的列 A为正交矩阵，即是为正交矩阵，即是 ATA=E,cossinsincos ,2121021210001 010100001都是正交矩阵都是正交
41、矩阵.例例 6（行）向量组构成向量空间（行）向量组构成向量空间 Rn 的一个的一个 规范正交基规范正交基.A的列向量组的列向量组.量组是规范正交向量组量组是规范正交向量组.由此可见，由此可见，A 为正交矩阵的充分必要条件是为正交矩阵的充分必要条件是 A 的列（行）向量的列（行）向量.,.,n21jiji0;ji 1aajTi当当当当亦即亦即 n21TnT2T1TaaaaaaAAE nTn2Tn1TnnT22T21T2nT12T11T1aaaaaaaaaaaaaaaaaa之之间间的的关关系系式式与与变变量量变变量量n21n21yyyxxx,nnn22n11nnnn22221212nn121211
42、11ypypypxypypypxypypypx.,的线性变换的线性变换到变量到变量叫做从变量叫做从变量n21n21xxxyyy组是规范正交向量组组是规范正交向量组.定义定义 5 若若 P 为正交矩阵，则线性变换为正交矩阵，则线性变换 x=Py 称为正交变换称为正交变换.线性变换的系数构成矩阵线性变换的系数构成矩阵 ,nnijpP 于是线性变换（）于是线性变换（）就可以记为就可以记为x=Py.,n21n21yyyyxxxx其中其中 cossinsincosyyxyyx12211 32332211y21y21xy21y21xyx都为正交变换都为正交变换.例例 7 若若 线性变换线性变换 x=Py
43、为正交变换，为正交变换，a,b 为任意两个向量为任意两个向量.那么那么 .b,aPb,Pa 这是因为这是因为 ,b,abaPbPaPbPaPb,PaTTTT 特别的，特别的，.aPa 2 方阵的特征值与特征向量方阵的特征值与特征向量 定义定义6 设设 A 是是 n 阶矩阵，阶矩阵，和和 n 维维非零非零列向量列向量 p 1pAp0 ,的的特特征征值值称称为为方方阵阵那那么么数数A0 非零向量非零向量 p 称为称为 A 的对于特征值的对于特征值.的的特特征征向向量量0 nn2n1nn22221n11211aaaaaaaaaEA称为称为方阵方阵 A 的特征多项式的特征多项式.0EA 方程方程称为称
44、为n 阶矩阵阶矩阵 A 的特征方程的特征方程.(1)式也可写成式也可写成 20pEA0 使得使得0 如果数如果数行列式行列式次多项式，次多项式，的的是是n.)的的非非零零解解是是齐齐次次线线性性方方程程组组（的的特特征征向向量量0 xEAp00 求求 n 阶方阵阶方阵 A 的特征值与特征向量的方法：的特征值与特征向量的方法：1 求出矩阵的求出矩阵的 A 特征多项式特征多项式,.EA 即计算行列式即计算行列式特征值特征值.的的就就是是根根的的解解特特征征方方程程方方程程A0EA2n21 ,，解解齐齐次次线线性性方方程程组组0 xEA3i )(它的它的非零解非零解都是都是.的的特特征征向向量量特特
45、征征值值i 例例1 求矩阵求矩阵 201034011A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A 的特征多项式为的特征多项式为于是，于是，,的的根根是是它它的的特特征征方方程程的的特特征征值值矩矩阵阵0EAA0 212201034011EA 所以，所以，A 的特征值为的特征值为.,12321 由由时时，解解方方程程组组当当.0 xE2A21 001014013E2A得基础解系得基础解系,100p1,时时当当132 解方程组解方程组(A-E)x=0.由由 其中其中k为任意非零数为任意非零数.,000010001,11kp2的的全全部部特特征征向向量量为为所所以以特特征征值值 10102401
46、2EA得基础解系得基础解系,121p2,232kp1的全部特征向量为的全部特征向量为所以特征值所以特征值 例例 2 求矩阵求矩阵 142252001A的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 A 的特征多项式为的特征多项式为 其中其中k是任意非零数是任意非零数.,000210101 213142252001EA 所以，所以，A 的特征值为的特征值为.,13321 时，时，当当31 解方程组解方程组(A-3E)x=0.由由 442222002E3A得基础解系得基础解系,110p131 所以特征值所以特征值的全部特征向量为的全部特征向量为 kp1 ,时时当当132 解方程组解方程组(A-E)x=
47、0.由由 其中其中k为任意非零数为任意非零数.,000110001 242242000EA得基础解系得基础解系,101p012p32132 所以特征值所以特征值的全部特征向量为的全部特征向量为 k p2+l p3,其中数其中数 的特征值，的特征值，是方阵是方阵，设设定理定理A2m21 各各不不相相等等，如如果果m21 证证 对特征值的个数对特征值的个数 m 用数学归纳法用数学归纳法.由于特征向量是非零向量，由于特征向量是非零向量，所以，所以，m=1 时定理成立时定理成立.量是线性无关的，量是线性无关的，令令 p1,p2,pm 依次依次 为为m 个不等的特征值个不等的特征值.对对应应的的特特征征
48、向向量量，m21 下面证明下面证明 p1,p2,pm p1,p2,pm ,000000121k,l不同时为零不同时为零.依次是与之对应的特征向量依次是与之对应的特征向量,那么那么 p1,p2,pm 线性无关线性无关.假设假设 m 1 个不同的特征值的特征向个不同的特征值的特征向线性无关线性无关.设有一组数设有一组数 x1,x2,xm 使得使得 x1 p1+x2 p2+xm pm=0 (1)成立成立.两两端端，得得乘乘等等式式以以)(1m 20pxpxpxmmm1mm1m1m1.以矩阵以矩阵 A 左乘式左乘式(1)两端两端,得得 30pxpxpxmmm1m1m1m111.（3）式减（）式减（2）
49、式得）式得.)()(0pxpx1mm1m1m1m11 根据归纳法假设，根据归纳法假设，p1,pm-1 线性无关，线性无关，.)()(0 xxm1m1mm11 ,00m1mm1 但但所以所以,x1=0,.,xm 1=0.这时（这时（1）式变成，）式变成，xm pm=0.因为因为 pm 0，所以只有所以只有xm=0.这就证明了这就证明了p1,p2,pm 线性无关线性无关.归纳法完成，定理得证归纳法完成，定理得证.于是于是,的的特特征征值值是是设设例例A321 p1,p2 依次是与之对应的依次是与之对应的,21 若若那么向量组那么向量组 p1,p2 线性无关线性无关证证 设有一组数设有一组数 x1,
50、x2 使得使得 x1 p1+x2 p2=0 (1)成立成立.两两端端，得得乘乘等等式式以以)(12 20pxpx222121.以矩阵以矩阵 A 左乘式左乘式(1)两端两端,得得 30pxpx222111.（3）式减（）式减（2）式得）式得.)(0px1121 ，因为因为0p0112 所以所以 x1=0.这样（这样（1）式变成，）式变成，x2 p2=0.因为因为 p2 0，所以只有所以只有x2=0.这就证明了这就证明了p1,p2 线性无关线性无关.特征向量，特征向量，AA4 是是为为任任意意常常数数，证证明明的的特特征征值值，是是方方阵阵设设例例的特征值，的特征值，是是因为因为证证A 所以有向量
