1、第五章第五章定定 积积 分分一、基本内容一、基本内容二、与概念有关的问题二、与概念有关的问题三、定积分的计算方法三、定积分的计算方法四、典型例题与解答四、典型例题与解答oab x一、基本内容一、基本内容(),f xa b设设是是定定义义在在上上的的有有界界函函数数,a b若若对对的的任任一一种种分分法法012,naxxxxb 1,iiixxx 令令1,iiixx 任任取取i1max0ii nx 当当时时1()niiifx 总趋于确定的极限总趋于确定的极限 I,则称此极限则称此极限 I 为函数为函数(),f xa b在在区区间间上的上的定积分定积分,1xix1ix()dbaf xx 记记作作：即
2、即()dbaf xx 01lim()niiifx 此时称此时称 f(x)在在 a,b 上上可积可积.1.定积分的定义定积分的定义:()dbaf xx 01lim()niiifx 积分上限积分上限积分下限积分下限被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积分和积分和,a b 称称为为积积分分区区间间 baxf)()df xx 与与的的区别：区别：()dbaf xx()d()f x xf x 是是的的所所有有原原函函数数.定与不定的区别？定与不定的区别？iniitvs )(lim10 iniixfA )(lim10 )(xf,ba)(xf,ba()dbaf x x()dbaf tt ba
3、uf)(du21()TTv t dt baxf)(dx.i 否则称否则称)(xf,baA)(xfy A)(xfy baxf )(dx baxf )(dx1)0)(xfA2)0)(xfA()dbaf xx 01lim()niiifx ab 注注意意：abyx1A2A3A4A5AO)(xf baxf)(12345()d baf xxAAAAA )(xf baxf)(dx故故()dbaAf xx ()dbaf xx 01lim()niiifx )(xf,ba)(xf baxf)(dx,ba)(xf,ba)(xf,ba)(xf,ba)(xf,ba4.定积分的性质定积分的性质线性性：线性性：(1)121
4、2 ()g()d()dg()dbbbaaak f xkxxkf x x kx x 可加性：可加性：(2)baxxf d)(caxxf d)(bcxxf d)(3).ab ba dx则则)(ba 若若()(),f xg x(4).d)(d)(babaxxgxxf（性质中涉及到的定积分均存在）（性质中涉及到的定积分均存在）,xex 0,2 x2200ddxexx x 和和0022ddxexx x2200ddxexx x ,max(),min(),a ba bMf xmf x(5)(ba ).(d)()(abMxxfabmba 则则(6)定积分中值公式定积分中值公式()ab ).()(d)(abfx
5、xfba (),f xC a b 若若则至少存在一点则至少存在一点,a b 使使()ab 说明说明:.abab或或都都成成立立 可把可把()d()baf xxfba (),.f xa b理理解解为为在在上上的的平平均均值值故它是有限个数的平均值概念的推广故它是有限个数的平均值概念的推广.积分中值定理对积分中值定理对()dbaf xxba 因因11lim()ninib afb an 11lim()ninifn baabfxf)()(dx5.积分上限函数积分上限函数 xattfx d)()()()(xattfxd)(xf6.以下几个符号的区别与联系以下几个符号的区别与联系 ()dbaf x x (
6、)df x x ()dxaf x x ()daf x x 1)以上几个符号存在的条件及概念以上几个符号存在的条件及概念.2)在存在的情况下，它们的区别与联系在存在的情况下，它们的区别与联系.()dbaf xx 与与()df xx；()dxaf xx 的区别：的区别：一个确定一个确定的常数的常数无数个无数个函数函数一个函数一个函数 ,()daf x x 一个确定一个确定的常数的常数认识它吗？认识它吗？()dbaf xx 与与()df xx；()dxaf xx 的联系：的联系：()d()dbbaaf xxf xx()d()dxaf xxf xxC ()d()dbbxaaaf xxf xx d()d
7、0dbaf xxx d()d()df xxf xx d()d()dxaf xxf xx ,()daf x x ()dlim()dxaaxf xxf tt()dlim()d ()bxaaxbf xxf ttb 瑕瑕点点定积分定积分定义定义 ()dbaf x x iniixf 10)(lim ab定理：定理：()0,1f xC 10()dfxx 1lim()1nniinfn 10()df xx 111lim()nniifnn 或者或者二、与概念有关的问题二、与概念有关的问题如如:11lim1nniinn Ox1ni 1ninninin11lim1iixxxd110例例1.用定积分表示极限用定积分表
8、示极限:12(1)limsinsinsinnnnnnn 解解:o1xn1n2nn 111limsin()nniin 原原式式1n 10sindx x 定理：定理：()0,1f xC 10()df xx 11lim()nniifnn 10()df xx 111lim()nniifnn 或者或者另解另解:11limsinnniin 原原式式1n 01sin dx x oxn2n(1)nn 11limsin()nniinn 1 limsin1innin n 2112sinsinsinlim1nnnnnnInnn 解解:将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式将数列适当放大和缩小，以简化成积分和形式1
9、1sinknnkkn 已知已知101 12limsinsin d,nnkkxxnn 利用利用夹逼准则夹逼准则可知可知2.I nknnknn11sin1nknnk11sin(1998考研考研)lim11nnn 例例2.求求11111111nnnkkkknnn例例3.如图连续函数如图连续函数 yf x ,32 2,31 2,0 0,22 0dxF xf tt 在区间在区间，上的图像分别是直径为上的图像分别是直径为1的上、下半圆周，在区间的上、下半圆周，在区间，上的图形分别是直径为上的图形分别是直径为周，设周，设，则下列结论正确的是（，则下列结论正确的是（）的上、下半圆的上、下半圆 3324FF 5
10、324FF 3324FF 5324FF B.C.D.A.C 3338FF 222FF 0dxF xf tt 3232FFFF，？303dFf tt 128 38 303dFf tt 182 （）38 03df tt 33FF！22FF？202dFf tt 2 设设 连续，则连续，则()f x220()d_.xtf xttx d dd d2222(A)();(B)();(C)2();(D)2().xf xxf xxf xxf x 解解:22,xtu 令令12dd,t tu 22002()d1()()d2xxftxttufu 201()d,2xf uu 22020(1d()d2)xxtf xttx
11、xf uu d dd d故故d dd d221()2().2xf xfxx A例例4.练习：练习：求求1000dsin()d_dxxttx 100sinx例例5.设设1(),(1)0,f tCf31()dln,xfttx ().f e求求解法解法1:31ln()dxxftt 3()(1)f xf 3()f x 3,ux 令令3()lnf uu 得得uln311()3f e 解法解法2:对已知等式两边求导对已知等式两边求导,2313()x fxx 3,ux 令令1()3fuu 得得1()3f e得得1()ln3f uu()()df ufuu (1)0,0fC111dln33uuCu 例例6.设设
12、 求求解解:2 1sin()d,xtf xtt 10()d.xf xx 1 0()dxf xx 12 01()d()2f xx 12 01()2x f x 12 01d()2xf x 1(1)2f 12 01()d2x fxx 无法直接求出无法直接求出f(x),因为因为没有初等函数的原函数，没有初等函数的原函数，sintt所以采用分部积分法所以采用分部积分法.2 1sin()d,xtf xtt 222sin2sin()2,xxfxxxx 1 1sin(1)d0,tftt 1 0()dxf xx 12 012 sind2xxx 122 01sind()2xx 设设 连续，且连续，且解：解：10(
13、)d,f tta 令令例例7()f x10()2()d,().f xxf ttf x 求求()1.f xx 则则()2f xxa 则则(2)daxax 1 10 0代代入入：d2 dax xa x 1 11 10 00 0122aa 12a 思考题思考题:解：解：21200()()d2()d,f xxxf xxf xx 设设求求().f x定积分为常数定积分为常数,故应用积分法定此常数故应用积分法定此常数.10()d,f xxa 设设20()df xxb 2()2f xxbxa ,则则10()daf xx 1232ba120(2)dxbxax 20()dbf xx 8243ba220(2)dx
14、bxax 43b 13a 三、定积分的计算方法：三、定积分的计算方法：1.定积分的基本计算方法（常规计算方法有三种）定积分的基本计算方法（常规计算方法有三种）（1）微积分基本公式）微积分基本公式()d()().baf xxF bF a （2）定积分的换元公式）定积分的换元公式()d()()dbaf xxfttt （3）定积分的分部积分公式）定积分的分部积分公式 .dd bababauvuvvu注意各个公式成立的条件注意各个公式成立的条件()(),F xf xa b设设是是连连续续函函数数在在上上的的一一个个原原函函数数，()d()()baf xxF bF a (牛顿牛顿 莱布尼茨公式莱布尼茨公
15、式)则则定理定理1(1(微积分基本公式微积分基本公式)注意：注意：该公式条件是该公式条件是 在积分区间在积分区间 上连续，可推上连续，可推广为积分区间上有有限个第一类间断点时公式也成立广为积分区间上有有限个第一类间断点时公式也成立.()f x,a b设函数设函数(),()u u x vv x 在区间在区间,a b上具有连续上具有连续导数，导数，则有则有ddbbbaaau vuvv u 定理定理2(2(分部积分分部积分公式公式)定理定理3(3(定积分的换元法定积分的换元法)设函数设函数(),f xC a b 单值函数单值函数()xt 满足满足:1)1)1(),tC 2)2)在在,上上(),atb
16、(),();ab 则则 tttfxxfbad)()(d)(说明说明:1)当当 ,公式仍成立公式仍成立.2)必需注意必需注意不换元时不换限，不换元时不换限，换元的同时应换限换元的同时应换限,3)与定积分的换元公式相比，这里没有要求与定积分的换元公式相比，这里没有要求当然最好选单调区间当然最好选单调区间.上限与上限对应，上限与上限对应，下限与下限对应下限与下限对应.()xt 单调，单调，4)如果如果 在在 上的值域超出上的值域超出 时，时，()xt ,a b()f x只要只要 在这个值域上连续即可在这个值域上连续即可.()d()()dbaf xxfttt 5)该公式的作用是可以简化计算该公式的作用
17、是可以简化计算.如：计算如：计算220d(0).aaxx a 解解 令令sin,xat 则则dcos d,xat t 0,0;xt当当时时,.2xat 时时 原式原式=2a220(1cos2)d2att 21(sin2)22att2024a 20 2cosdt tO22xayxyaS且且由定积分的几何意义由定积分的几何意义220daaxx 214a 21.4aP243例例12a022coscos dtt t2 x0at0当当 时时计算计算220d(0).aaxx a 解解 令令sin,xat 则则dcos d,xat t 且且0 x;t xa当当 时时2.t 原式原式=2a22122(cos)
18、datt 2 2coscos dtt t222cosdat t 21222(sin)att 2 24a 说明：若由说明：若由 x 的范围求的范围求 t 的范围时如下做法对吗？的范围时如下做法对吗？在在2,上上0sinata2 x0at 2.定积分计算的特殊方法定积分计算的特殊方法（公式法，奇偶性，周期性，几何意义等）（公式法，奇偶性，周期性，几何意义等）(1)2()d()dbaabf xxf xx （）；()d()d()d;bbbaaaf xxf ttf u u ()d0.aaf xx (3)00 ()(4)()d2()d ()aaaf xf xxf xxf x 奇奇偶偶00(6)(sin)d
19、(sin)d2xfxxfxx 0(7)()d()da TTaf xxf xx 2200(5)(sin)d(cos)dfxxfxx 220(8)daaxx 21.4a20(9)sindnx x (1)!,!nn(1)!,!2nn n 为偶数为偶数n 为奇数为奇数3.几个重要的代换技巧及常用结论几个重要的代换技巧及常用结论 1)奇偶函数的定积分奇偶函数的定积分 d)(aaxxf即即()f x 奇奇()f x 偶偶oxy-aa)(xfy a-axy0)(xfy，0，axxf0d)(2结论结论1：当当)(xf在在,aa 上上连续，连续，且有且有 aaaxxfxxf0.d)(2d)(2)(xf为为奇函数
20、，奇函数，则则 aaxxf.0d)()(xf为为偶函数，偶函数，则则(1)证证:()daaf xx 0()daf xx 0()daf xx 0()daftt 0()daf xx 0()()dafxf xx 02()d,af xx()()fxf x时时()()fxf x 时时0,xt 令令 d)(aaxxf)(xf奇奇偶偶)(xf，0，axxf0d)(2偶倍奇零偶倍奇零奇函数奇函数解解:例例1.计算计算.d11cos21 1 22 xxxxx原式原式 1122d112xxx 112d11cosxxxx偶函数偶函数 1 0 22d114xxx 1 0 222d)1(1)11(4xxxx 1 0 2
21、d)11(4xx 1 0 2d144xx.4 单位圆的面积单位圆的面积证证:()d()(d),baabf abxxf tt例例2.证明证明()d()dbbaaf xxf abxx ,abxt令令ax bx ,at ,bt ()d()dbbaaf ttf xx证毕证毕,ddxabtxt 则则:xt上上限限下下限限经验：经验：:xt 特点：使限变号特点：使限变号特点：不改变积分限特点：不改变积分限)(xf1,02200(sin)d(cos)dfxxfxx 00(sin)d(sin)d2xfxxfxx 结论结论2：若若在在上连续，证明上连续，证明（1）（2）证证:（1）设）设tx 2dd,xt 20
22、(sin)dfxx 20sin()d2ftt 20(cos)dftt 20(cos)d;fxx x0t02 2 2200sindcosdnnx xx x 特别的：特别的：2)两个常用公式两个常用公式(n为正整数为正整数)(2)设设tx dd,xt 0 x,t x,0 t0(sin)dxfxx 0()sin()dt ftt 0()(sin)d,t ftt 0(sin)dftt 0(sin)dtftt 0(sin)dfxx 0(sin)d,xfxx 00(sin)d(sin)d.2xfxxfxx 0(sin)dxfxx 00(2)(sin)d(sin)d2xfxxfxx 证证:20sind1cos
23、xxxx 20sind21cosxxx 201d(cos)21cosxx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 20sind1cosxxxx 例例3.计算计算解解:00(sin)d(sin)d.2xfxxfxx 该被积函数的原函数该被积函数的原函数不是初等函数不是初等函数练习：练习：求求201cosd.xx 提示：提示：分部积分后用公式分部积分后用公式3)积分上限函数的奇偶性积分上限函数的奇偶性()f x若若奇奇函函数数()x 为偶函数为偶函数（1）()f x若若偶偶函函数数()x 为奇函数为奇函数（2）证明证明（1）0()()dxxf tt tu 令令0()d()xfuu 0()d
24、xf uu 0()dxf tt ()x ()()fuf u 同理可证明（同理可证明（2）().x 所所以以为为偶偶函函数数设设 是连续函数，是连续函数，.证明：证明：()f x0()()dxxf tt 结论结论3：0 ()dt xf t ()f x偶偶，奇奇()f x奇奇，偶偶P250第第10题题当当 为周期函数，为周期函数，也是周期函数也是周期函数设设 是连续函数，是连续函数，是是 的原函数，则（的原函数，则（）设设 是连续函数，下列函数必为偶函数的是（是连续函数，下列函数必为偶函数的是（）()f x20()()dxAf tt 20()()dxBftt 0()()()dxCt f tftt
25、0()()()dxDt f tftt D02研研1999研研()f x()A()B()C()DA()f x()F x当当 为奇，为奇，必偶必偶()f x()F x当当 为偶，为偶，必奇必奇()f x()F x()f x()F x当当 为单调增函数，为单调增函数，也是单调增函数也是单调增函数()f x()F x()(),()d()F xf xf xxF xC2()f xx1()sinf xx()f xx4)周期函数的定积分周期函数的定积分设设 是以是以T为周期的连续函数，则为周期的连续函数，则()f x0()d()da TTaf xxf xx 证明证明 由于由于()da TTf xx xTu令令
26、0()daf Tuu 0()daf uu 0()daf xx ()()f Tuf u0()d()d()da TTaaaf xxf xxf xx 所所以以证毕证毕()d()d()da TTa TaaTf xxf xxf xx0()d()daTaf xxf xx0()dTf xx 00()d()dnTTf xxnf xx 故故有有结论结论4：0()d()d(N),a nTTaf xxnf xxn 四、典型例题与解答四、典型例题与解答证证:例例1.右端右端设设 为连续函数为连续函数()f x，试，试证证000()()d()d)dxxtf txttf uut 0000()d d()d)xtxttf u
27、utf uu00()d0()dxxxf uutf tt00()d()dxxxf uutf tt分部积分分部积分00()d()dxxxf tttf tt0()()dxxt f tt=左端左端例例2.设设(),f xC a b 证证:设设且且试证试证:()0,f x 2d()d()()bbaaxf xxbaf x()()dxaF xf tt d()xatf t 则则()F x 1()f x 2()xa()()2d()()xaf xf ttf tf x 2()()d()()xaf xf ttf x f t (,()0)xaf x0故故 F(x)在在a,b 上单调递增上单调递增,()()0,F bF
28、a证毕证毕()f x()dxaf tt d()xatf t 2()xa0 2()2dxax at ,xa b 例例3.证明证明 证：证：2()sindxxf xxx 是以是以 为为周期的函数周期的函数.2()sindxxf xuu ut 令令 2sin()dxxtt 2sindxxtt 2sindxxxx 证毕证毕04研().f x(2)(2)求求的的值值域域提示：提示：()0,.f x 只只需需求求在在一一个个周周期期上上的的最最大大最最小小值值2()sind xxfxxx sin()sin2xx 0,x cossinxx)(),(xgxf)(xg练习：练习：设设在在上连续，上连续，为偶函数
29、，为偶函数，)(xf)()()(为为常常数数AAxfxf 且且 满足条件满足条件(1)证明：证明：0()()d()daaaf x g xxAg xx22 sinarctandxxex (2)利用利用(1)的结论计算的结论计算:提示：提示：证证:xxfaad)(xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad)()(0 xt 令令0()d()()daaaf xxfxf xx 0()()d()()()()daaaf x g xxfx gxf x g xx 0()()()()dafx g xf x g xx 0()()d()daaaf x g xxAg xx0()
30、daAg xx ,(0)a a a)(),(xgxf)(xg练习：练习：设设在在上连续，上连续，为偶函数，为偶函数，)(xf)()()(为为常常数数AAxfxf 且且 满足条件满足条件(1)证明：证明：0()()d()daaaf x g xxAg xx22 sinarctandxxex (2)利用利用(1)的结论计算的结论计算:()sin,()arct2anxg xxf xe 设设解解（）(),g x则则为为偶偶函函数数()()arctanarctanxxf xfxee 2 22022 sinarctandsin dxxexx x 202 sin dx x arcsinarccos2xx ar
31、ctanarccot2xx,(0)a a aln 2201d.xex ln2201dxex 2ln2201dxxexe ln2201dxxeex ln2201d()xxee ln2ln222001d1xxxxeeexe ln2203ln(1)2xxee 3ln(23).2 例例4.解解:考研题考研题计算计算221dxxa .ln22Caxx 另解另解 求求ln2201ed.xx 解解:令令esin,xt 则则lnsin,xt cosdd,sintxtt 原式原式 62coscosdsintttt 2621sindsinttt 26(cscsin)dttt ln csccotcos ttt263
32、ln(23)2例例5.求求 222max,d.x xx 解解:如图如图,max)(2xxxf,21100222 xxxxxx01222201dddxxx xxx 原原式式.211 xyo2yx xy 122 例例6.01sin2d()nIxx n 为为正正整整数数计算计算1sin2x 是是以以为为周期的周期函数周期的周期函数001sin2d1sin2dnxxnxx20(cossin)dnxxx 0cossindnxxx 042sin()dnxx 4tx 令令5442sindntt 02sindntt 02sin dnt t 2 2n 0(1)()d()da TaTf xxf xx 解解:思考思
33、考:1.下列作法是否正确下列作法是否正确?xxx1d111211 2 12311d1xx 32()tx 令令121113d012ttt 2.有时通过换元有时通过换元,反常积分和常义积分可以互反常积分和常义积分可以互相转化相转化.例如例如,1021dxx(sinxt 令令）20dtxxxd11104222112101dxxxx 102112)()d(xxxx1()txx令令022dtt23xt 定理定理3(3(定积分的换元法定积分的换元法)设函数设函数(),f xC a b 单值函数单值函数()xt 满足满足:1)1)1(),tC 2)2)在在,上上(),atb(),();ab 则则 tttfx
34、xfbad)()(d)(练习练习:如图如图,曲线曲线 C 的方程为的方程为(),(3,2)yf x 点点解解:320()()d.xx fxx 032)()(xfxx 是它的一是它的一个拐点个拐点,线线,其交点为其交点为(2,4),设函数设函数f(x)具有三阶连续导数具有三阶连续导数,计算定计算定积分积分xxfxxd)()(302 直线直线 l1与与 l2 分别是曲线分别是曲线C在点在点(0,0)与与(3,2)处的切处的切 xxfxd)()12(30 0)3(f(2005 考研考研)03)()12(xfxxxfd)(30)2)2(7(03)(2xf)0()3(216ff204162)3(;2)0(ff043211 2 3 4 xO1l2ly)(xfy C(分部积分法分部积分法)
