1、 42 不定积分的基本公式与运算法不定积分的基本公式与运算法则、直则、直接积分法接积分法 案例研究案例研究我国自行研制的动车组列车 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College案例案例4.2 列车的制动点：列车的制动点：列车快进站时必须制动减 速若列车制动后的速度为 113vt（kg/min），问列 车应该在离站台停靠点多远的地方开始制动？湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&
2、Trade College分析分析 令 1103vt,得 3t,即 3 分钟后列 车停下来.设列车从制动点开始计算所运行的路程为s，则 11d.3stt若我们能求出上述不定积分，则可得运动方程().ss t于是，将 3t 代入该方程，可求得制动点的距离为(3)s因此，我们的重点是研究不定积分的计算问题.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College抽象归纳抽象归纳不定积分的基本公式不定积分的基本公式()()()d()F xf xf xxF xC(sin)coscos dsin;
3、xxxxxC 类似地，可以推导出其他基本积分公式：湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College1dxxC11(1)1x dxxC 1dlnxxCxdlnxxaaxCadxxexeC 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade Collegesin dcosxxxC cossinxdxxC2secdtanxxxC2csccotxdxxC 21darcsin1xxCx21da
4、rctan1xxCx 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College问问 下述公式右边的对数中为什么要加绝对值？1dlnxxCx.讨论讨论 当 0 x时，有,xxlnxln1)(当 0 x时，也有xxxxxlnxln11)()(所以 ln|x是 1x的原函数.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College例例1 求下列不定积分：（1）7d.xx（2）1d.xx（
5、3）3d.xxex解解（1）77 1811.718x dxxCxC（2）11122112.112dxxdxxCxCx（3）(3)3(3).ln(3)xxxxee dxe dxCe 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College不定积分的基本运算法则不定积分的基本运算法则法则法则两个函数代数和的不定积分等于各个函数 的不定积分的代数和，即()()d()d()d.f xg xxf xxg xx法则法则2 被积函数中不为零的常数因子可以提到积 分符号外面，即()d()d(0).kf
6、xxkf xx k 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College例例2 求(2cos3)d.xxx解解(2cos3)dxxxd2cos d3dxxxxxd2 cos d3 1dxxxxx212sin3.2xxxC问：问：最后的结果为什么只写一个任意常数？湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College直接积分法直接积分法定义定义 直接用积分基本公式与运算性质求不
7、定积 分，或者对被积函数进行适当的恒等变形（包括代数变 形与三角变形），再利用积分的基本公式与运算法则求不 定积分的方法叫做直接积分法直接积分法 例例3 求 21d.xxx解解 22121ddxxxxxxx2112d2ln.2xxxxxCx 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College例例4 求 222.1xdxx解解 2222211d2d11xxxxxx2121d1xx22arctanxxC 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan
8、 Foreign Economic Relations&Trade College例例5 求 2cos.2xdx解解利用降幂公式化简.21coscosdd22xxxx11cosd2xx1sin.2xxC 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College案例案例4.2的解的解 求积分，得21111d1dd.336stttt tttC 依题意，当 0t 时，0.s 代入上式，得 0.C 于是，得 216stt.将 3t 代入上式，得21331.5.6s 即列车在离站台1.5公里处开始
9、制动.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College 例例6 已知某种商品的最大需求量为A（即价格为0时的需求量），有关部门给出这种商品的需求量Q的变化 率模型为 plnApQ)21(2)(（也称边际需求），其中p 表示商品的价格，求这种商品的需求函数.解解 1()ln2()d2pQ pAp1ln2()d2pAp 11ln2()ln2 2pAC 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relation
10、s&Trade College1().2pAC将 AQ,p0代入上式，得.C0所以这种商品的 需求函数为)p(Q.Ap)21(湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College小结：小结：1不定积分的基本公式：10个公式，要熟记；2不定积分的基本运算法则：（1）()()d()d()df xg xxf xxg xx（2）()d()d(0)kf xxkf xx k3直接积分法。湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College
