1、1.2 直角三角形的性质和判定() 第2课时 1.1.能能利用勾股定理解决实际问题利用勾股定理解决实际问题. . 2.2.理解立体图形中两点距离最短问题理解立体图形中两点距离最短问题. . 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边 的平方的平方 a a b b c c A A B B C C 如果在如果在RtRt ABCABC中，中，C C=90=90, , 那么那么 222 .abc c2 = a2 + b2 a b c A B C 4 （1）求出下列直角三角形中未知的边）求出下列直角三角形中未知的边 6 10 A C B 8 A C 练练 习
2、习 30 2 2 45 回答：回答： 在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？在解决上述问题时，每个直角三角形需知道几个条件？ 直角三角形哪条边最长？直角三角形哪条边最长？ （2）在长方形）在长方形ABCD中，宽中，宽AB为为1m，长，长BC为为2m ，求，求AC长长 1 m 2 m A C B D 2222 125 mACABBC（） 【解析解析】在在Rt ABC中，中，B=90,由勾股定理可知：由勾股定理可知： 一个门框尺寸如图所示一个门框尺寸如图所示 若有一块长若有一块长3米，宽米，宽0.8米的薄木板，问怎样从门框通过？米的薄木板，问怎样从门框通过？ 若薄木板长若薄木板长3米，宽
3、米，宽1.5米呢？米呢？ 若薄木板长若薄木板长3米，宽米，宽2.2米呢？为什么？米呢？为什么？ A B C 1 m 2 m 木板的宽木板的宽2.2米大于米大于1米，米， 横着不能从门框通过；横着不能从门框通过； 木板的宽木板的宽2.2米大于米大于2米，米， 竖着也不能从门框通过竖着也不能从门框通过 只能试试斜着能否通过，只能试试斜着能否通过， 对角线对角线AC的长最大，因此需的长最大，因此需 要求出要求出AC的长，怎样求呢？的长，怎样求呢？ 【例例1】有一个边长为有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用的正方形洞口，想用 一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直径至少多长？一个圆盖去盖住这个洞口，圆的直
4、径至少多长？ （结果保留整数）（结果保留整数） 50dm A B C D 22 22 5050 5000 71(). ACABBC dm 解：解：在在Rt ABC中，中，B=90, AB=BC=50 dm, 由勾股定理可知由勾股定理可知 【例题例题】 圆的直径至少为圆的直径至少为71dm. 活 动 如图，池塘边有两点如图，池塘边有两点A，B，点，点C是与是与BA方向成方向成 直角的直角的AC方向上的一点，测得方向上的一点，测得CB= 60m，AC= 20m ，你能求出，你能求出A，B两点间的距离吗？两点间的距离吗？ （结果（结果 保留整数）保留整数） 【例例2 2】一个一个2.5m2.5m长的
5、梯子长的梯子ABAB斜靠在一竖直的墙斜靠在一竖直的墙ACAC上，这时上，这时ACAC 为为2.4m2.4m如果梯子顶端如果梯子顶端A A沿墙下滑沿墙下滑0.4m0.4m，那么梯子底端，那么梯子底端B B也也外外 移移0.4m0.4m吗？吗？ A BC D E 解：在解：在RtRtABCABC中，中， ACB=90ACB=90， ACAC2 2+ BC+ BC2 2ABAB2 2， 2.42.42 2+ BC+ BC2 22.52.52 2， BCBC0.7m.0.7m. 由题意得：由题意得：DEDEABAB2.5m2.5m， DCDCACACADAD2.42.40.40.42m.2m. 在在R
6、tRtDCEDCE中，中，DCE=90DCE=90， DCDC2 2+ CE+ CE2 2DEDE2 2 ，2 22 2+ CE+ CE2 22.52.52 2， CECE1.5m, BE1.5m, BE1.51.50.70.70.8m0.4m.0.8m0.4m. 答；梯子底端答；梯子底端B B不是外移不是外移0.4m.0.4m. 10 练习练习: :如图，一个如图，一个3 3米长的梯子米长的梯子ABAB，斜着靠在竖直的墙，斜着靠在竖直的墙 AOAO上，这时上，这时AOAO为为2.52.5米米 求梯子的底端求梯子的底端B B距墙角距墙角O O多少米？多少米？ 如果梯子的顶端如果梯子的顶端A A
7、沿墙下滑沿墙下滑0.50.5米至米至C C，请，请 同学们同学们: : 猜一猜，底端也将滑动猜一猜，底端也将滑动0.50.5米吗？米吗？ 算一算，底端滑动的距离近似值算一算，底端滑动的距离近似值 是多少是多少? ? （结果保留两位小数）（结果保留两位小数） B D C O A 【例例3】如图，铁路上如图，铁路上A A，B B两点相距两点相距25km25km，C C，D D为两庄，为两庄，DAABDAAB 于于A A，CBABCBAB于于B B，已知，已知DA=15km,CB=10kmDA=15km,CB=10km，现在要在铁路，现在要在铁路ABAB上建上建 一个土特产品收购站一个土特产品收购站
8、E E，使得，使得C C，D D两村到两村到E E站的距离相等，则站的距离相等，则E E站站 应建在离应建在离A A站多少站多少kmkm处？处？ C A E B D 解：设解：设AE= x kmAE= x km， 根据勾股定理，得根据勾股定理，得 ADAD2 2+AE+AE2 2=DE=DE2 2， BCBC2 2+BE+BE2 2=CE=CE2 2. . 又又 DE=CEDE=CE， AD AD2 2+AE+AE2 2= BC= BC2 2+BE+BE2 2， 即即 15152 2+x+x2 2=10=102 2+ +（2525- -x)x)2 2， 答：答：E E站应建在离站应建在离A A
9、站站10km10km处处. . X=10. X=10. 则则 BE=BE=（2525- -x x）km.km. 15 10 【例例4 4】在我国古代数学著作在我国古代数学著作九章算术九章算术中记载了一道有趣的中记载了一道有趣的 问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为问题这个问题意思是：有一个水池，水面是一个边长为1010尺的尺的 正方形正方形, ,在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1 1尺，如尺，如 果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，问这 个水池的深度和这根芦苇的长度各
10、是多少？个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A B C 解解: :设水池的深度设水池的深度ACAC为为X X尺尺, , 则芦苇高则芦苇高ADAD为为 (X+1)(X+1)尺尺. . 根据题意得根据题意得: : BCBC2 2+AC+AC2 2=AB=AB2 2， 552 2+X+X2 2 =(X+1)=(X+1)2 2， 25+X25+X2 2=X=X2 2+2X+1+2X+1， X=12X=12， X+1=12+1=13(X+1=12+1=13(尺尺).). 答答: :水池的深度为水池的深度为1212尺尺, ,芦苇高为芦苇高为1313尺尺. . 【例例5 5】矩形矩形ABCDABCD
11、如图折叠，使点如图折叠，使点D D落在落在BCBC边上的点边上的点F F处，已知处，已知 AB=8AB=8，BC=10BC=10，求折痕，求折痕AEAE的长的长. . A A B B C C D D F F E E 解解: :设设DEDE为为X,X, X X (8(8- - X)X) 则则CECE为为 (8(8 X).X). 由题意可知由题意可知:EF=DE=X,:EF=DE=X, X X AF=AD=10.AF=AD=10. 1010 1010 8 8 B=90B=90， ABAB2 2+ BF+ BF2 2AFAF2 2， 8 82 2+ BF+ BF2 210102 2， BFBF6 6
12、， CFCFBCBCBFBF10106 64.4. 6 6 4 4 C=90C=90， CECE2 2+CF+CF2 2EFEF2 2 (8(8 X)X)2 2+4+42 2=X=X2 2 64 64 16X+X16X+X2 2+16=X+16=X2 2 808016X=016X=0 16X=8016X=80 X=5X=5 222 22 AEADDE 105125 AE1255 5. 【例例6 6】 如图，棱长为如图，棱长为1 1的正方体中，一只蚂蚁从顶点的正方体中，一只蚂蚁从顶点A A出出 发沿着正方体的外表面爬到顶点发沿着正方体的外表面爬到顶点B B的最短距离是（的最短距离是（ ）. .
13、（A A）3 3 （B ) B ) （C C）2 2 （D D）1 1 A B A B C 2 1 分析：分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的， 故需把正方体展开成平面图形（如图）故需把正方体展开成平面图形（如图）. . B B 活 动 如图，分别以如图，分别以Rt ABC三边为边向外三边为边向外 作三个正方形，其面积分别用作三个正方形，其面积分别用S1、S2、 S3表示，容易得出表示，容易得出S1、S2、S3之间有的之间有的 关系式关系式 S 3 S 2 S1 1 B A C 123 SSS 变式：你还能求出变式：你还能求出S1、S2、S3之间的关系式吗
14、？之间的关系式吗？ S1 S2 S3 2.2.一架一架5 5米长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距米长的梯子，斜立靠在一竖直的墙上，这时梯子下端距 离墙的底端离墙的底端3 3米，若梯子顶端下滑了米，若梯子顶端下滑了1 1米米, ,则梯子底端将外移则梯子底端将外移_._. 3.3.如图，要在高如图，要在高3m,3m,斜坡斜坡5m5m的楼梯表面铺的楼梯表面铺 地毯，地毯的长度至少需地毯，地毯的长度至少需_米米 A A B B C C 1 1米米 7 7 B B 1.1.把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的把直角三角形两条直角边同时扩大到原来的3 3倍，则其斜倍，则其斜 边（边（ ） A
15、.A.不变不变 B.B.扩大到原来的扩大到原来的3 3倍倍 C.C.扩大到原来的扩大到原来的9 9倍倍 D.D.减小到原来的减小到原来的1/31/3 4 4在一棵树的在一棵树的1010米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离 树树2020米处的池塘的米处的池塘的A A处处. .另一只爬到树顶另一只爬到树顶D D后直接跃到后直接跃到A A处，处， 距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵 树高树高_米米. . 1515 5在在RtABC中中, C=90 , A ， B， C 的对边分别为的对边分别
16、为 a,b,c. (1) 已知已知: a=5, b=12, 求求c. (2) 已知已知: b=6, c=10 , 求求a. (3) 已知已知: a=7, c=25, 求求b. (4) 已知已知: a=7, c=8, 求求b . 6 一直角三角形的一直角边长为一直角三角形的一直角边长为7, 另两条边长为两个连另两条边长为两个连 续整数，求这个直角三角形的周长续整数，求这个直角三角形的周长 c=12.c=12. a=8.a=8. b=24.b=24. b=b= 15. 答：周长为答：周长为5656 7 7如图，受台风影响，一棵树在离地面如图，受台风影响，一棵树在离地面4 4米处断裂，米处断裂， 树
17、的顶部落在离树跟底部树的顶部落在离树跟底部3 3米处，这棵树折断前有多米处，这棵树折断前有多 高？高？ 4 4米米 3 3米米 答：这棵树折断前有答：这棵树折断前有9 9米高米高. . 8.8.小东拿着一根长竹竿进一个宽为小东拿着一根长竹竿进一个宽为3 3米的城门，他先横着拿不进米的城门，他先横着拿不进 去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1 1米，当他把竹竿斜着时，米，当他把竹竿斜着时， 两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少米？ 解解: :设竹竿长设竹竿长X X米米, ,则城门高为则城门高为 (X(X1)1)米米. . 根据题意得根据题意得: : 3 32 2+ (X+ (X1) 1) 2 2 =X=X2 2， 9+X9+X2 2 2X+1=X2X+1=X2 2， 10 10 2X=02X=0， 2X=102X=10， X=5X=5， 答答: :竹竿长竹竿长5 5米米. . 本节课我们主要学习了勾股定理的实际应用本节课我们主要学习了勾股定理的实际应用,关键是将关键是将 实际问题转化为数学问题实际问题转化为数学问题,再用勾股定理等知识来解答再用勾股定理等知识来解答. 将来的你，一定会感谢现在拼命的你
