1、 1.1 直角三角形的性质和判定() 第2课时 1.1.知道含有知道含有3030角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质.(.(重点重点) ) 2.2.会利用直角三角形的性质解决实际问题会利用直角三角形的性质解决实际问题.(.(难点难点) ) 含有含有3030角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质 如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,ACB=90,ACB=90,BAC=30,BAC=30. . 延长延长BCBC到到D,D,使使BD=AB,BD=AB,连接连接AD.AD. ACB=90ACB=90,BAC=30,BAC=30, , B=90B=90- -BAC= _,BAC= _, B
2、D=AB,BD=AB,ABDABD是是_三角形三角形. . ACBC,BC=_.ACBC,BC=_. 6060 等边等边 1 AB 2 【思考思考】 在上面的问题中在上面的问题中, ,如果如果BC= AB,BC= AB,那么那么BAC=30BAC=30吗吗? ? 提示提示: :BAC=30BAC=30. . 1 2 【总结总结】 (1)(1)含有含有3030角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质: :在直角三角形中在直角三角形中, ,如果一如果一 个内角等于个内角等于3030, ,那么它所对的那么它所对的_等于等于_的一半的一半. . (2)(2)含有含有3030角的直角三角形的性质的逆运用
3、角的直角三角形的性质的逆运用: :在直角三角形中在直角三角形中, , 如果一条直角边等于斜边的一半如果一条直角边等于斜边的一半, ,那么这条直角边所对的锐角那么这条直角边所对的锐角 等于等于_. . 直角边直角边 斜边斜边 3030 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)直角三角形中直角三角形中, ,若有一锐角为若有一锐角为3030, ,则它所对的直角边等于则它所对的直角边等于 另一直角边的一半另一直角边的一半. . ( )( ) (2)(2)在一个三角形中在一个三角形中, ,若有一锐角为若有一锐角为3030, ,则它所对的边等于最则它所对的边等于最 长边的一半长边的一半. . (
4、)( ) (3)(3)在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,A=30,A=30, ,如果如果AB=2,AB=2,那么那么AC=1.AC=1. ( )( ) (4)(4)在直角三角形中在直角三角形中, ,若最短边的长是最长边的长的一半若最短边的长是最长边的长的一半, ,则最则最 小角是小角是3030. . ( )( ) 知识点知识点 1 1 含有含有3030角的直角三角形的性质应用角的直角三角形的性质应用 【例例1 1】如图如图, ,在在ABCABC中中,C=90,C=90,AC=BC,AC=BC,点点D D在在BCBC上上, ,且且 BAD=15BAD=15. . (1)(1)求求
5、CADCAD的度数的度数. . (2)(2)若若AC=m,BD=n,AC=m,BD=n,求求ADAD的长的长. . 【解题探究解题探究】(1)(1)AC=BC,AC=BC,由等边对等角可得由等边对等角可得CAB=CAB=_. . 由由C=90C=90, ,可得可得CAB=CAB=_= =_, , CAD= CAD= _. . (2)(2)由由AC=m,BD=n,AC=m,BD=n,可知可知CD=BCCD=BC- -BD=BD=_- -BD=BD=_. . 由由(1)(1)中的结果可知中的结果可知CD=CD=_AD,AD, AD=AD=_CD= CD= _. . 1 2 BB BB 4545 3
6、030 ACAC m m- -n n 2 2 2(m2(m- -n)n) 【互动探究互动探究】在在(2)(2)中中, ,如果已知如果已知AD=a,AD=a,那么那么CDCD的长是多少的长是多少? ? 提示提示: :CD= a.CD= a. 1 2 【总结提升总结提升】含含3030角的直角三角形性质的角的直角三角形性质的“两种应用两种应用” 1.1.证明证明: :用来证明三角形中线段的倍分问题用来证明三角形中线段的倍分问题. . 2.2.求解求解: :知道知道3030角所对的直角边的长角所对的直角边的长, ,求斜边的长求斜边的长, ,或知道斜或知道斜 边的长边的长, ,求求3030角所对的直角边
7、的长角所对的直角边的长. . 知识点知识点 2 2 直角三角形性质的综合应用直角三角形性质的综合应用 【例例2 2】在在ABCABC中中,AB=AC,BAC=120,AB=AC,BAC=120,ADAC,ADAC于点于点A,A, (1)(1)求求BADBAD的度数的度数. . (2)(2)证明证明:DC=2BD.:DC=2BD. 【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据垂直的定义可得根据垂直的定义可得DAC=90DAC=90, ,再由再由 BAD=BACBAD=BAC- -DACDAC即可得出结果即可得出结果. . (2)(2)先得出先得出B=C=30B=C=30, ,再在直角再在直角ADCADC
8、中运用中运用3030角所对的角所对的 直角边等于斜边的一半得出直角边等于斜边的一半得出DC=2AD,DC=2AD,然后在然后在ABDABD中由等角对等中由等角对等 边得出边得出AD=BD,AD=BD,从而证明出从而证明出DC=2BD.DC=2BD. 【自主解答自主解答】(1)ADAC,DAC=90(1)ADAC,DAC=90. . BAC=120BAC=120, , BAD=BACBAD=BAC- -DAC=120DAC=120- -9090=30=30. . (2)AB=AC,BAC=120(2)AB=AC,BAC=120, , B=C=30B=C=30. . DAC=90DAC=90,DC
9、=2AD.,DC=2AD. BAD=B=30BAD=B=30, , AD=BD,DC=2BD.AD=BD,DC=2BD. 【总结提升总结提升】直角三角形性质的应用及注意事项直角三角形性质的应用及注意事项 1.1.性质应用性质应用: : 3030角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊度数的角角的直角三角形的性质是直角三角形中含有特殊度数的角 (30(30或或6060) )的特殊定理的特殊定理, ,反映了直角三角形中边角之间的关反映了直角三角形中边角之间的关 系系, ,主要作用是解决直角三角形中的有关计算或证明问题主要作用是解决直角三角形中的有关计算或证明问题. . 2.2.两点注意两点注意:
10、 : (1)(1)必须在直角三角形中必须在直角三角形中, ,非直角三角形不具备该性质非直角三角形不具备该性质. . (2)(2)只有只有3030的角所对的直角边等于斜边的一半的角所对的直角边等于斜边的一半, ,其他度数的角其他度数的角 所对的直角边和斜边不满足该关系所对的直角边和斜边不满足该关系. . 题组一题组一: :含有含有3030角的直角三角形的性质应用角的直角三角形的性质应用 1.1.已知已知ABCABCDEF,DEF,若若A=60A=60,F=90,F=90,DE=6cm,DE=6cm,则则AC=AC= ( ( ) ) A.3 cmA.3 cm B.4 cmB.4 cm C.5 cm
11、C.5 cm D.6 cmD.6 cm 【解析解析】选选A.A.ABCABCDEF,F=90DEF,F=90,DE=6cm,DE=6cm, C=F=90C=F=90,AB=DE=6cm,A=60,AB=DE=6cm,A=60,B=30,B=30, , AC= AB=3cm.AC= AB=3cm. 1 2 2.2.如图如图, ,等腰等腰ABCABC中中,BAC=120,BAC=120,BC,BC中点为中点为D,D, 过过D D作作DEABDEAB于于E,AE=4cm,E,AE=4cm,则则ADAD等于等于 ( ( ) ) A.8 cmA.8 cm B.7 cmB.7 cm C.6 cmC.6 c
12、m D.4 cmD.4 cm 【解析解析】选选A.A.ABCABC中中,BAC=120,BAC=120,BC,BC中点为中点为D,D, BAD=CAD=60BAD=CAD=60,DEAB,ADE=30,DEAB,ADE=30, , AD=2AE=8cm.AD=2AE=8cm. 【变式备选变式备选】在上面的问题中在上面的问题中,AC,AC的长是多少的长是多少? ? 【解析解析】ABCABC是等腰三角形是等腰三角形,BAC=120,BAC=120, , C=B=30C=B=30,AC=2AD=16cm.,AC=2AD=16cm. 3.3.如图所示如图所示, ,ABCABC中中,C=90,C=90,
13、A=30,A=30, , BDBD平分平分ABC,ABC,若若AD=8,AD=8,则则CD=CD= . . 【解析解析】在在ABCABC中中,C=90,C=90,A=30,A=30, ,所以所以ABC=60ABC=60, , 因为因为BDBD平分平分ABC,ABC,所以所以ABD=CBD=30ABD=CBD=30, , 所以所以A=ABD,A=ABD,所以所以AD=BD=8,AD=BD=8, 所以所以CD= BD=4.CD= BD=4. 答案答案: :4 4 1 2 4.(20134.(2013泰安中考泰安中考) )如图如图, ,在在RtRtABCABC中中, , ACB=90ACB=90,A
14、B,AB的垂直平分线的垂直平分线DEDE交交ACAC于点于点E,E, 交交BCBC的延长线于的延长线于F,F,若若F=30F=30,DE=1,DE=1,则则BEBE 的长是的长是 . . 【解析解析】在在RtRtFDBFDB中中,F=30,F=30,DBF=60,DBF=60, ,在在RtRtABCABC 中中,ACB=90,ACB=90,ABC=60,ABC=60,A=30,A=30. .在在RtRtAEDAED 中中,A=30,A=30,DE=1,AE=2.DE,DE=1,AE=2.DE垂直平分垂直平分AB,BE=AE=2.AB,BE=AE=2. 答案答案: :2 2 5.5.如图如图,
15、,ABCABC中中,D,D为为BCBC边上一点边上一点,BD=DC,DAAC,DA= AB.,BD=DC,DAAC,DA= AB.求求 BADBAD的大小的大小. . 1 4 【解析解析】延长延长ADAD至至E,E,使使DE=AD,DE=AD,连接连接BE.BE. 因为因为AD=DE,AD=DE, ADC=EDB,CD=BD,ADC=EDB,CD=BD, 所以所以ADCADCEDB,(SAS)EDB,(SAS) 所以所以DAC=E.DAC=E. 因为因为DAAC,DAAC,所以所以DAC=E=90DAC=E=90. . 因为因为AD= AE,AD= AB,AD= AE,AD= AB,所以所以A
16、E= AB,AE= AB, 所以在所以在RtRtABEABE中中,ABE=30,ABE=30, , 所以所以BAD=60BAD=60. . 1 2 1 4 1 2 题组二题组二: :直角三角形性质的综合应用直角三角形性质的综合应用 1.1.在在ABCABC中中, ,若若BC= AC,BC= AC,则则A A的度数为的度数为 ( ( ) ) A.30A.30 B.60B.60 C.90C.90 D.D.无法确定无法确定 【解析解析】选选D.D.由题意虽然知道由题意虽然知道BC= AC,BC= AC,而而B B的大小不确定的大小不确定, ,所所 以以A A无法确定无法确定. . 1 2 1 2 2
17、.2.如图如图, ,在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,1=120,1=120, , 如果如果BC=1,BC=1,则则AB=AB= . . 【解析解析】在在RtRtABCABC中中,C=90,C=90,1=120,1=120, , A=1A=1- -C=120C=120- -9090=30=30,AB=2BC=2,AB=2BC=21=2.1=2. 答案答案: :2 2 3.3.ABCABC中中,A=30,A=30,C=90,C=90, ,若若AB=12cm,AB=12cm,则则BC=BC= . . 【解析解析】因为因为A=30A=30,C=90,C=90, ,所以所以BC= AB
18、=BC= AB= 12=6(cm).12=6(cm). 答案答案: :6cm6cm 1 2 1 2 4.4.如图如图, ,在等腰直角三角形在等腰直角三角形ABCABC中中,C=90,C=90, , AD=2CD,AD=2CD,则则DABDAB的度数是的度数是 . . 【解析解析】因为因为C=90C=90,AD=2CD,AD=2CD, 所以所以CAD=30CAD=30. . 又因为又因为B=CAB= =45B=CAB= =45, , 所以所以DAB=CABDAB=CAB- -CAD=45CAD=45- -3030=15=15. . 答案答案: :1515 90 2 5.5.如图如图,Rt,RtA
19、BCABC中中,C=90,C=90,D,D是直角边是直角边ACAC上的点上的点, ,且且 AD=BD=2a,A=15AD=BD=2a,A=15, ,求求BCBC边的长边的长. . 【解析解析】由由AD=BDAD=BD可推出可推出 2=A=152=A=15, , 所以所以1=2+A=151=2+A=15+15+15=30=30. . 在在RtRtBCDBCD中中,1=30,1=30, , 可推出可推出BC= BD= BC= BD= 2a=a.2a=a. 1 2 1 2 【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图如图,ADBC,BD,ADBC,BD平分平分 ABC,A=120ABC,A=120,C=60,C=60,CD=4cm,CD=4cm,求求BCBC的长的长. . 提示提示: :没说明没说明BDCBDC是直角三角形是直角三角形, ,就直接利用就直接利用“3030角所对的角所对的 直角边是斜边的一半直角边是斜边的一半”解题解题. .
