1、2.7 正 方 形 1.1.掌握正方形的性质和判定掌握正方形的性质和判定.(.(重点重点) ) 2.2.理解正方形与矩形、菱形的关系理解正方形与矩形、菱形的关系.(.(重点、难点重点、难点) ) 3.3.会用正方形的性质和判定进行计算或证明会用正方形的性质和判定进行计算或证明.(.(重点、难点重点、难点) ) 一、正方形的定义一、正方形的定义 有一组邻边有一组邻边_且有一个角是且有一个角是_的的_四边形四边形. . 二、正方形的性质二、正方形的性质 1.1.正方形的四条边都正方形的四条边都_,_,四个角都是四个角都是_._. 2.2.正方形的对角线正方形的对角线_,_,且互相且互相_._. 3
2、.3.正方形是正方形是_对称图形对称图形,_,_是它的对称中心是它的对称中心. . 4.4.正方形是正方形是_图形图形, ,两条两条_所在直线所在直线, ,以及过每一组以及过每一组 对边对边_的直线都是它的对称轴的直线都是它的对称轴. . 相等相等 直角直角 平行平行 相等相等 直角直角 相等相等 垂直平分垂直平分 中心中心 对角线的交点对角线的交点 轴对称轴对称 对角线对角线 中点中点 三、正方形的判定三、正方形的判定 1.1.有一组邻边有一组邻边_的矩形是正方形的矩形是正方形. . 2.2.有一个角为有一个角为_的菱形是正方形的菱形是正方形. . 3.3.对角线对角线_的菱形是正方形的菱形
3、是正方形. . 4.4.对角线对角线_的矩形是正方形的矩形是正方形. . 相等相等 直角直角 相等相等 互相垂直互相垂直 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)菱形具有正方形的一切性质菱形具有正方形的一切性质.( ).( ) (2)(2)一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形一组邻边相等且有一个角是直角的四边形是正方形.( ).( ) (3)(3)一条对角线平分一组对角的矩形是正方形一条对角线平分一组对角的矩形是正方形.( ).( ) (4)(4)正方形的面积等于两条对角线积的一半正方形的面积等于两条对角线积的一半.( ).( ) (5)(5)正方形的邻边互相垂直正方形的邻边互
4、相垂直, ,邻角相等邻角相等.( ).( ) 知识点知识点 1 1 正方形的性质正方形的性质 【例例1 1】(2013(2013鄂州中考鄂州中考) )如图正方形如图正方形ABCDABCD的的 边长为边长为4,E,F4,E,F分别为分别为DC,BCDC,BC中点中点. . (1)(1)求证求证: :ADEADEABF.ABF. (2)(2)求求AEFAEF的面积的面积. . 【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据正方形的性质根据正方形的性质, ,找出找出ADEADE和和ABFABF中相等中相等 的边和角进而证明全等的边和角进而证明全等. . (2)(2)由题知由题知ABF,ABF,ADE,ADE,
5、CEFCEF均为直角三角形均为直角三角形求求 DE,BF,CE,CFDE,BF,CE,CF的长的长根据根据S S AEFAEF=S =S正方形 正方形ABCDABCD- -S SADEADE- -S SABFABF- -S SCEFCEF得出 得出 结果结果. . 【自主解答自主解答】(1)(1)四边形四边形ABCDABCD为正方形，为正方形， AB=ADAB=AD，B=D=90B=D=90，DC=CB.DC=CB. E,FE,F分别为分别为DC,BCDC,BC中点，中点， DE= DCDE= DC，BF= BCBF= BC，DE=BF.DE=BF. 在在ADEADE和和ABFABF中，中，
6、ADEADEABF(SAS).ABF(SAS). 1 2 1 2 ADAB, DB, DEBF ， (2)(2)由题意知由题意知ABF,ABF,ADE,ADE,CEFCEF均为直角三角形，且均为直角三角形，且AB=ADAB=AD =4=4，DE=BF= DE=BF= 4=2,CE=CF= 4=2,CE=CF= 4=24=2，S S AEFAEF=S =S正方形 正方形ABCDABCD- -S SADEADE - -S S ABFABF- -S SCEFCEF=4 =44 4- - 4 42 2- - 4 42 2- - 2 22=6.2=6. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 【总结提升
7、总结提升】正方形的正方形的“边、角、对角线边、角、对角线” 1.1.边边: :四条边都相等且每组对边平行四条边都相等且每组对边平行. . 2.2.角角: :四个角都是直角四个角都是直角. . 3.3.对角线对角线: :两条对角线相等且互相垂直平分两条对角线相等且互相垂直平分, ,把正方形分成四个把正方形分成四个 全等的等腰直角三角形全等的等腰直角三角形; ;每条对角线平分一组对角每条对角线平分一组对角, ,把正方形分把正方形分 成两个全等的等腰直角三角形成两个全等的等腰直角三角形. . 知识点知识点 2 2 正方形的判定正方形的判定 【例例2 2】如图如图, ,在在ABCABC中中, ,点点D
8、 D是边是边BCBC的中点的中点, , DEAC,DFAB,DEAC,DFAB,垂足分别是垂足分别是E,F,E,F,且且BF=CE.BF=CE. (1)(1)求证求证:DE=DF.:DE=DF. (2)(2)当当A=90A=90时时, ,试判断四边形试判断四边形AFDEAFDE是怎样的四边形是怎样的四边形, ,并证明并证明 你的结论你的结论. . 【思路点拨思路点拨】(1)DEAC,DFABBFD=CED=90(1)DEAC,DFABBFD=CED=90 RtRtBDFRtBDFRtCDEDE=DFCDEDE=DF (2)A=90(2)A=90四边形四边形AFDEAFDE是矩形是矩形 结论结论
9、 DF DE 【自主解答自主解答】(1)DEAC,DFAB,(1)DEAC,DFAB, BFD=CED=90BFD=CED=90, , 在在RtRtBDFBDF和和RtRtCDECDE中中, , BD=CD,BF=CE,BD=CD,BF=CE, RtRtBDFRtBDFRtCDE(HL),DE=DF.CDE(HL),DE=DF. (2)(2)四边形四边形AFDEAFDE是正方形是正方形. . 证明证明:A=90:A=90,DEAC,DFAB,DEAC,DFAB, 四边形四边形AFDEAFDE是矩形是矩形, , 又又RtRtBDFRtBDFRtCDE,DF=DE,CDE,DF=DE, 四边形四边
10、形AFDEAFDE是正方形是正方形. . 【总结提升总结提升】判定正方形的一般思路判定正方形的一般思路 题组一题组一: :正方形的性质正方形的性质 1.1.如图如图, ,将正方形纸片将正方形纸片ABCDABCD折叠折叠, ,使边使边AB,CBAB,CB均均 落在对角线落在对角线BDBD上上, ,得折痕得折痕BE,BF,BE,BF,则则EBFEBF的大的大 小为小为 ( ( ) ) A.15A.15 B.30B.30 C.45C.45 D.60D.60 【解析解析】选选C.C.将正方形纸片将正方形纸片ABCDABCD折叠折叠, ,使边使边AB,CBAB,CB均落在对角均落在对角 线线BDBD上上
11、, ,得折痕得折痕BE,BF,BE,BF, ABE=DBE=DBF=FBC,ABE=DBE=DBF=FBC, EBF= ABC=45EBF= ABC=45. . 1 2 2.(20132.(2013枣庄中考枣庄中考) )如图，在边长为如图，在边长为2 2的正方形的正方形 ABCDABCD中，中，M M为边为边ADAD的中点，延长的中点，延长MDMD至点至点E E，使，使ME=ME= MCMC，以，以DEDE为边作正方形为边作正方形DEFGDEFG，点，点G G在边在边CDCD上，则上，则 DGDG的长为的长为( )( ) 【解析解析】选选D.D.四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，
12、DCDCDADA2 2，M M为边为边 ADAD的中点，的中点，DMDM1 1， A3 1 B 35 C51 D5 1 22 MEMC125DGDE5 1， 3.3.如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC=10,MAC=10,M是是ABAB上任意一点上任意一点, ,由由M M点点 作作MEOA,MFOB,MEOA,MFOB,垂足分别为垂足分别为E,FE,F点点, ,则则ME+MFME+MF的值为的值为 ( ( ) ) A.20A.20 B.10B.10 C.15C.15 D.5D.5 【解析解析】选选D.D.已知正方形已知正方形ABCDABCD中中, ,对角线对角
13、线AC=10,MAC=10,M是是ABAB上任意一上任意一 点点, ,由由M M点作点作MEOA,MFOB,MEOA,MFOB, 四边形四边形EMFOEMFO为矩形为矩形,MF=OE,MF=OE, 又又BAC=ABD,MEBD,BAC=ABD,MEBD, AME=ABD=BAC,AME=ABD=BAC, ME=AE,ME+MF=AE+OE=AO,ME=AE,ME+MF=AE+OE=AO, 又正方形又正方形ABCDABCD中中, ,对角线对角线AC=10,AC=10, ME+MF=AO= AC= ME+MF=AO= AC= 10=5.10=5. 1 2 1 2 4.(20134.(2013雅安中
14、考雅安中考) )如图如图, ,正方形正方形ABCDABCD中中, ,点点E,E, F F分别在分别在BC,CDBC,CD上上, ,AEFAEF是等边三角形是等边三角形, ,连接连接ACAC 交交EFEF于于G,G,下列结论下列结论: :BE = DF.BE = DF.DAF =15DAF =15. . ACAC垂直平分垂直平分EF.EF.BE + DF = EF.BE + DF = EF.S S CEFCEF=2S =2S ABEABE. .其中正确结 其中正确结 论有论有 ( ( ) ) A. 2A. 2个个 B. 3B. 3个个 C. 4C. 4个个 D. 5D. 5个个 【解析解析】选选
15、C.C.AEFAEF是等边三角形是等边三角形,AE=AF,AE=AF, 又又AB=AD,RtAB=AD,RtABERtABERtADF,BE=DF.ADF,BE=DF.故正确故正确. . ABEABEADF,DAF=BAE,ADF,DAF=BAE, 又又EAF=60EAF=60,DAF=BAE= =15,DAF=BAE= =15. .故正确故正确. . DAF=BAE=15DAF=BAE=15,BAC=DAC=45,BAC=DAC=45, , EAG=FAG=30EAG=FAG=30, ,又又AEFAEF是等边三角形是等边三角形, , AC AC 垂直平分垂直平分EF.EF.故正确故正确. .
16、 9060 2 把把ADFADF绕点绕点A A顺时针旋转顺时针旋转9090至至ABFABF的位置的位置( (或延长或延长EBEB至至 FF，使，使BF=DF,BF=DF,连接连接AF)AF)， FAE=30FAE=30,F=AEF=75,F=AEF=75, , EFAE,EFAE, EF=BEEF=BEDF,AE=EF,DF,AE=EF, BEBEDFEF.DFEF.故不正确故不正确. . 过点过点E E作作ENAFENAF，垂足为，垂足为N N， NAE=30NAE=30,NE= AE,NE= AE, BE=DF,BC=CD,CE=CF,BE=DF,BC=CD,CE=CF, ACEF,CG=
17、 EF,ACEF,CG= EF, 又又AE=EF,EN=CG,AE=EF,EN=CG, 又又AF=AE=EF,SAF=AE=EF,S AEFAEF=S =S CEFCEF, , SS CEFCEF=2S =2S ABEABE. .故正确 故正确. . 1 2 1 2 5.5.如图如图, ,边长为边长为2 2的正方形的正方形ABCDABCD的对角线相交于的对角线相交于 点点O,O,过点过点O O的直线分别交的直线分别交AD,BCAD,BC于于E,F,E,F,则阴影部则阴影部 分的面积是分的面积是 . . 【解析解析】由题意可知由题意可知, ,DEODEOBFO,BFO, SS DEODEO=S
18、=S BFOBFO, ,阴影部分面积 阴影部分面积=S=S BOCBOC= = 2 21=1.1=1. 答案答案: :1 1 1 2 【变式备选变式备选】如图如图, ,三个边长均为三个边长均为2 2的正方形重叠在一起的正方形重叠在一起,O,O1 1,O,O2 2 是其中两个正方形的中心是其中两个正方形的中心, ,则阴影部分的面积是则阴影部分的面积是 . . 【解析解析】连接连接O O1 1B,OB,O1 1C,C, BOBO1 1F+FOF+FO1 1C=90C=90,FO,FO1 1C+COC+CO1 1G=90G=90, , BOBO1 1F=COF=CO1 1G,G, 四边形四边形ABC
19、DABCD是正方形是正方形, , OO1 1BF=OBF=O1 1CG=45CG=45, ,又又O O1 1B=OB=O1 1C,C, O O1 1BFBFO O1 1CG,CG, 左边两个正方形重叠的阴影部分的面积是左边两个正方形重叠的阴影部分的面积是 S S正方形 正方形, , 同理另外的阴影部分的面积也是同理另外的阴影部分的面积也是 S S正方形 正方形,S ,S阴影部分 阴影部分= S = S正方形 正方形=2. =2. 答案答案: :2 2 1 2 1 4 1 4 6.6.如图如图,A,B,C,A,B,C三点在同一条直线上三点在同一条直线上,AB=,AB= 2BC,2BC,分别以分别
20、以AB,BCAB,BC为边作正方形为边作正方形ABEFABEF和和 正方形正方形BCMN,BCMN,连接连接FN,EC.FN,EC. 求证求证:FN=EC.:FN=EC. 【证明证明】在正方形在正方形ABEFABEF中和正方形中和正方形BCMNBCMN中中, , AB=BE=EF,BC=BN,FEN=EBC=90AB=BE=EF,BC=BN,FEN=EBC=90, , AB=2BC,EN=BC,AB=2BC,EN=BC, FNEFNEECB,FN=EC.ECB,FN=EC. 题组二题组二: :正方形的判定正方形的判定 1.1.已知四边形已知四边形ABCDABCD中中,A=B=C=90,A=B=
21、C=90, ,如果添加一个条件如果添加一个条件, , 即可推出该四边形是正方形即可推出该四边形是正方形, ,那么这个条件可以是那么这个条件可以是 ( ( ) ) A.D=90A.D=90 B.AB=CDB.AB=CD C.AD=BCC.AD=BC D.BC=CDD.BC=CD 【解析解析】选选D.D.由由A=B=C=90A=B=C=90可判定四边形可判定四边形ABCDABCD为矩形为矩形, , 因此再添加条件因此再添加条件: :一组邻边相等一组邻边相等, ,即可判定其为正方形即可判定其为正方形, ,故选故选D.D. 2.2.下列说法不正确的是下列说法不正确的是 ( ( ) ) A.A.有一个角
22、是直角的菱形是正方形有一个角是直角的菱形是正方形 B.B.两条对角线相等的菱形是正方形两条对角线相等的菱形是正方形 C.C.对角线互相垂直的矩形是正方形对角线互相垂直的矩形是正方形 D.D.四条边都相等的四边形是正方形四条边都相等的四边形是正方形 【解析解析】选选D.D.四条边都相等的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形, ,不一定是正方不一定是正方 形形.A,B,C.A,B,C选项均符合正方形的判定选项均符合正方形的判定, ,是正方形是正方形. . 3.3.如图如图, ,在四边形在四边形ABCDABCD中中,AB=BC=CD=DA,AB=BC=CD=DA,对角线对角线 ACAC与与BDBD
23、相交于点相交于点O,O,若不增加任何字母与辅助线若不增加任何字母与辅助线, , 要使四边形要使四边形ABCDABCD是正方形是正方形, ,则还需增加一个条件则还需增加一个条件 是是 . . 【解析解析】在四边形在四边形ABCDABCD中中,AB=BC=CD=DA,AB=BC=CD=DA, 四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. . 要使菱形要使菱形ABCDABCD是正方形是正方形, ,则还需增加一个条件可以是则还需增加一个条件可以是AC=BDAC=BD或或 ABBC.ABBC. 答案答案: :AC=BD(AC=BD(答案不唯一答案不唯一) ) 4.4.如图如图, ,正方形正方形ABCDAB
24、CD的对角线的对角线AC,BDAC,BD交于点交于点O,O,过点过点D D作作DPOC,DPOC,且且 DP=OC,DP=OC,连接连接CP,CP,试判断四边形试判断四边形CODPCODP的形状的形状, ,并证明并证明. . 【解析解析】四边形四边形CODPCODP为正方形为正方形. .理由理由: : 由正方形的性质由正方形的性质, ,得得OD=OC,OD=OC,且且ODOC.ODOC. 因为因为DPOC,DPOC,且且DP=OC,DP=OC, 所以四边形所以四边形CODPCODP为平行四边形为平行四边形, , 因为因为ODOC,ODOC,所以四边形所以四边形CODPCODP为矩形为矩形, ,
25、 因为因为OD=OC,OD=OC,所以矩形所以矩形CODPCODP为正方形为正方形. . 5.5.如图如图, ,点点O O是线段是线段ABAB上的一点上的一点,OA=OC,OD,OA=OC,OD平分平分AOCAOC交交ACAC于点于点 D,OFD,OF平分平分COB,CFOFCOB,CFOF于点于点F.F. (1)(1)求证求证: :四边形四边形CDOFCDOF是矩形是矩形. . (2)(2)当当AOCAOC为多少度时为多少度时, ,四边形四边形CDOFCDOF是正方形是正方形? ?并说明理由并说明理由. . 【解析解析】(1)OD(1)OD平分平分AOC,OFAOC,OF平分平分COB,CO
26、B, AOC=2COD,COB=2COF,AOC=2COD,COB=2COF, AOC+BOC=180AOC+BOC=180, , 2COD+2COF=1802COD+2COF=180, , COD+COF=90COD+COF=90, , DOF=90DOF=90. . OA=OC,ODOA=OC,OD平分平分AOC,AOC, ODAC,AD=DC(ODAC,AD=DC(等腰三角形的等腰三角形的“三线合一三线合一”的性质的性质),), CDO=90CDO=90, , CFOF,CFOF, CFO=90CFO=90, , 四边形四边形CDOFCDOF是矩形是矩形. . (2)(2)当当AOC=9
27、0AOC=90时时, ,四边形四边形CDOFCDOF是正方形是正方形. . 理由如下理由如下:AOC=90:AOC=90,AD=DC,AD=DC, OD=DC.OD=DC. 又由又由(1)(1)知四边形知四边形CDOFCDOF是矩形是矩形, ,则则 四边形四边形CDOFCDOF是正方形是正方形. . 因此因此, ,当当AOC=90AOC=90时时, ,四边形四边形CDOFCDOF是正方形是正方形. . 【想一想错在哪？想一想错在哪？】E,F,M,NE,F,M,N分别是正方形分别是正方形ABCDABCD四条边上的四条边上的 点点,AE=BF=CM=DN,AE=BF=CM=DN,四边形四边形EFMNEFMN是什么图形是什么图形? ?证明你的结论证明你的结论. . 提示提示: :四边形四边形EFMNEFMN应该是一个正方形应该是一个正方形. .
