1、4.5 一次函数的应用 第2课时 1.1.理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程的关系理解一次函数与一元一次方程、二元一次方程的关系.(.(重点重点) ) 2.2.掌握用图象法解方程的方法掌握用图象法解方程的方法.(.(重点重点) ) 3.3.会用一次函数与方程的关系解决实际问题会用一次函数与方程的关系解决实际问题.(.(重点、难点重点、难点) ) 一、一次函数与二元一次方程的关系一、一次函数与二元一次方程的关系 一般地一般地, ,一次函数一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)的图象上任意一点的坐标都是的图象上任意一点的坐标都是 二元一次方程二元一次方程_的一个解的一个解, ,以二
2、元一次方程以二元一次方程_ _为坐标的点都在一次函数为坐标的点都在一次函数y=kx+by=kx+b的图象上的图象上. . kxkx- -y+b=0y+b=0 kxkx- -y+b=0y+b=0 的解的解 二、一次函数与一元一次方程的关系二、一次函数与一元一次方程的关系 1.1.解方程解方程2x+20=0,2x+20=0,得得x= _.x= _. 2.2.从函数图象上看从函数图象上看, ,直线直线y=2x+20y=2x+20与与x x轴交轴交 点的坐标为点的坐标为_,_,这也说明函数这也说明函数y=2x+y=2x+ 2020的值为的值为_时对应的自变量时对应的自变量x x为为_,_,即方程即方程
3、2x+20=02x+20=0的解是的解是 _._. - -1010 ( (- -10,0)10,0) 0 0 - -1010 x=x=- -1010 【思考思考】(1)(1)解一元一次方程解一元一次方程2x+20=02x+20=0与求自变量与求自变量x x为何值时为何值时, ,一一 次函数次函数y=2x+20y=2x+20的值为的值为0 0有什么关系有什么关系? ? 提示提示: :解方程解方程2x+20=02x+20=0所得到所得到x x的值的值, ,与函数与函数y=2x+20y=2x+20的值为的值为0 0时时, , 所对应的自变量所对应的自变量x x的值相等的值相等. . (2)(2)直线
4、直线y=2x+20y=2x+20与与x x轴的交点坐标和方程轴的交点坐标和方程2x+20=02x+20=0的解有什么关的解有什么关 系系? ? 提示提示: :直线直线y=2x+20y=2x+20与与x x轴的交点的横坐标轴的交点的横坐标, ,就是方程就是方程2x+20=02x+20=0的的 解解. . 【总结总结】一般地一般地, ,一次函数一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)的图象与的图象与x x轴的交点轴的交点 的横坐标是一元一次方程的横坐标是一元一次方程_. .任何一个一元一次方任何一个一元一次方 程程_, ,就是一次函数就是一次函数y=kx+by=kx+b的图象与的图象与x
5、x轴交点的横轴交点的横 坐标坐标. . kx+b=0kx+b=0的解的解 kx+b=0kx+b=0的解的解 ( (打“打“”或“”或“”)”) (1)(1)以以x+y=2x+y=2的解组成坐标的点都在直线的解组成坐标的点都在直线y=xy=x- -2 2上上. . ( )( ) (2)(2)方程方程x+4=0x+4=0的解是的解是x=x=- -4,4,所以直线所以直线y=x+4y=x+4与与x x轴的交点坐标为轴的交点坐标为 ( (- -4,0).4,0). ( )( ) (3)(3)已知直线已知直线y=axy=ax- -b b与与x x轴交于点轴交于点(3,0),(3,0),则方程则方程axa
6、x- -b=0b=0的解是的解是 x=3.x=3. ( )( ) (4)(4)一次函数一次函数y=ax+9y=ax+9的图象经过的图象经过( (- -2,1),2,1),则方程则方程ax+9=0ax+9=0的解为的解为 x=x=- -2.2. ( )( ) 知识点知识点 1 1 一次函数与方程的关系一次函数与方程的关系 【例例1 1】利用函数图象解下列方程利用函数图象解下列方程: : (1)0.5x(1)0.5x- -3=1.3=1. (2)3x(2)3x- -2=x+4.2=x+4. 【思路点拨思路点拨】将方程转化为将方程转化为kx+b=0kx+b=0的形式的形式画出画出y=kx+by=kx
7、+b的图象的图象 由直线与由直线与x x轴的交点坐标确定原方程的解轴的交点坐标确定原方程的解 【自主解答自主解答】(1)(1)原方程可化为原方程可化为:0.5x:0.5x- -4=0,4=0, 画出一次函数画出一次函数y=0.5xy=0.5x- -4 4的图象的图象, , 由图象看出直线由图象看出直线y=0.5xy=0.5x- -4 4与与x x轴的交点为轴的交点为(8,0),(8,0), 所以方程所以方程0.5x0.5x- -3=13=1的解为的解为x=8.x=8. (2)(2)原方程可化为原方程可化为:2x:2x- -6=0,6=0, 画出一次函数画出一次函数y=2xy=2x- -6 6的
8、图象的图象, , 由图象看出直线由图象看出直线y=2xy=2x- -6 6与与x x轴的交点为轴的交点为(3,0),(3,0), 所以方程所以方程3x3x- -2=x+42=x+4的解为的解为x=3.x=3. 【互动探究互动探究】例题中例题中(2)(2)小题还有其他的解法吗小题还有其他的解法吗? ? 提示提示: :有有. .分别画直线分别画直线y=3xy=3x- -2 2和和y=x+4,y=x+4,两直线交点的横坐标即为两直线交点的横坐标即为 方程方程3x3x- -2=x+42=x+4的解的解. . 【总结提升总结提升】一元一次方程与一次函数的联系一元一次方程与一次函数的联系 一元一次方程一元
9、一次方程ax+b=0(aax+b=0(a，b b为常数为常数,a0),a0)与一次函数与一次函数y=axy=ax +b(a0)+b(a0)的内在联系的内在联系, ,可用函数观点从可用函数观点从“数数”和和“形形”两个角两个角 度对解一元一次方程进行理解度对解一元一次方程进行理解: : (1)(1)从从“数数”的角度看的角度看: :当一次函数当一次函数y=ax+b(a0)y=ax+b(a0)的函数值为的函数值为0 0 时时, ,相应的自变量的值是相应的自变量的值是 即为方程即为方程ax+b=0(aax+b=0(a，b b为常为常 数数,a0),a0)的解的解. . b x, a (2)(2)从从
10、“形形”的角度看的角度看: :一次函数一次函数y=ax+b(a0)y=ax+b(a0)的图象与的图象与x x轴交轴交 点坐标为点坐标为 从而可知交点横坐标即为方程从而可知交点横坐标即为方程ax+b=0(aax+b=0(a，b b为为 常数常数,a0),a0)的解的解. . b (,0), a 知识点知识点 2 2 实际问题中的一次函数与方程实际问题中的一次函数与方程 【例例2 2】甲、乙两地距离甲、乙两地距离300km,300km,一辆货车和一辆轿车先后从甲一辆货车和一辆轿车先后从甲 地出发驶向乙地地出发驶向乙地. .如图如图, ,线段线段OAOA表示货车离甲地的距离表示货车离甲地的距离y(k
11、m)y(km)与与 时间时间x(h)x(h)之间的函数关系之间的函数关系, ,折线折线BCDEBCDE表示轿车离甲地的距离表示轿车离甲地的距离 y(km)y(km)与时间与时间x(h)x(h)之间的函数关系之间的函数关系, ,根据图象根据图象, ,解答下列问题解答下列问题: : (1)(1)线段线段CDCD表示轿车在途中停留了表示轿车在途中停留了_h._h. (2)(2)求线段求线段DEDE对应的函数表达式对应的函数表达式. . (3)(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车. . 【解题探究解题探究】(1)(1)图象中图象中CDCD平行于平行于x x
12、轴轴, ,说明什么说明什么? ? 提示提示: :CDCD平行于平行于x x轴轴, ,说明轿车离甲地的距离没发生变化说明轿车离甲地的距离没发生变化, ,即轿车即轿车 停留停留, ,时间为时间为C,DC,D两点横坐标的差两点横坐标的差,2.5,2.5- -2=0.5(h).2=0.5(h). (2)(2)要求线段要求线段DEDE对应的函数表达式，图中给了哪些条件？对应的函数表达式，图中给了哪些条件？ 提示：提示：在线段在线段DEDE上，上，D D点坐标点坐标(2.5(2.5，80)80)，E E点坐标点坐标(4.5(4.5，300).300). (3)(3)用待定系数法求线段用待定系数法求线段DE
13、DE对应的函数表达式对应的函数表达式. . 提示：提示：设线段设线段DEDE对应的表达式为对应的表达式为y=kx+b(k,by=kx+b(k,b为常数，为常数，k0)k0)， 由题意得由题意得 解得解得 所以线段所以线段DEDE对应的函数表达式为：对应的函数表达式为：y=110xy=110x- -195(2.5x4.5).195(2.5x4.5). 2.5kb80 4.5kb300 ， ， k110 b195 ， ， (4)(4)怎样求经过多长时间轿车追上货车怎样求经过多长时间轿车追上货车? ? 提示提示: :两车在行驶中路程相同时两车在行驶中路程相同时, ,说明轿车追上货车说明轿车追上货车;
14、 ;在两个图在两个图 象的交点处说明轿车追上货车象的交点处说明轿车追上货车. . AA点坐标为点坐标为(5,300),(5,300), 代入表达式代入表达式y=ax(ay=ax(a为常数为常数,a0),a0)得得, , 300=5a,300=5a, 解得解得a=60,a=60, 故故y=60x,y=60x,令令60x=110x60x=110x- -195,195, 解得解得x=3.9,x=3.9,故故3.93.9- -1=2.9(h),1=2.9(h), 答答: :轿车从甲地出发后经过轿车从甲地出发后经过2.9h2.9h追上货车追上货车. . 【总结提升总结提升】用一次函数与方程的关系解决实际
15、问题的用一次函数与方程的关系解决实际问题的“四步四步 骤骤” 题组一题组一: :一次函数与方程的关系一次函数与方程的关系 1.1.直线直线y=2x+by=2x+b与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是(2,0),(2,0),则关于则关于x x的方程的方程2x+b=02x+b=0 的解是的解是 ( ( ) ) A.x=2A.x=2 B.x=4B.x=4 C.x=8C.x=8 D.x=10D.x=10 【解析解析】选选A.A.根据根据y=2x+by=2x+b与与x x轴的交点的横坐标即为轴的交点的横坐标即为2x+b=02x+b=0的的 解解, ,由由y=2x+by=2x+b与与x x轴的交点的横坐
16、标为轴的交点的横坐标为2,2,可得可得2x+b=02x+b=0的解为的解为x=2.x=2. 2.2.如图如图, ,过点过点Q(0,3.5)Q(0,3.5)的一次函数的图象与正比例函数的一次函数的图象与正比例函数y=2xy=2x的的 图象相交于点图象相交于点P,P,能表示这个一次函数图象的方程的是能表示这个一次函数图象的方程的是 ( ( ) ) A.3xA.3x- -2y+3.5=02y+3.5=0 B.3xB.3x- -2y2y- -3.5=03.5=0 C.3xC.3x- -2y+7=02y+7=0 D.3x+2yD.3x+2y- -7=07=0 【解析解析】选选D D由图象可知由图象可知P
17、(1P(1，2)2)，已知，已知Q(0Q(0，3.5)3.5)，设一次，设一次 函数表达式为函数表达式为y=kx+b(k,by=kx+b(k,b为常数，为常数，k0)k0)，则，则 解得解得 这个一次函数的表达式为这个一次函数的表达式为y=y=- -1.5x+3.51.5x+3.5，即，即3x+2y3x+2y- -7=07=0 b3.5 kb2 ， ， k1.5 b3.5 ， ， 3.3.函数函数y=2xy=2x- -3 3的图象上任意一点的坐标都一定满足二元一次方的图象上任意一点的坐标都一定满足二元一次方 程程: : . . 【解析解析】y=2xy=2x- -3 3移项得移项得2x2x- -
18、y y- -3=0.3=0. 答案答案: :2x2x- -y y- -3=03=0 4.4.孔明同学在解方程组孔明同学在解方程组 的过程中，错把的过程中，错把b b看成了看成了 6 6，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，他其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为 又已知直线又已知直线y ykxkxb b过点过点(3(3，1)1)，则，则b b的正确值应该是的正确值应该是_ 【解析解析】依题意得：依题意得：2 2k k6 6，k k4 4， 又又1 13 34 4b b，b b1111 答案：答案：- -1111 ykxb y2x ， x1 y2 ， ， 5.5.如图，直线如图，直
19、线l1 1：y=xy=x1 1与直线与直线 l2 2：y=mxy=mxn n相交于点相交于点P(1P(1，b)b) (1)(1)求求b b的值的值. . (2)(2)不解关于不解关于x x，y y的方程组的方程组 请你直接写出它的解请你直接写出它的解. . (3)(3)直线直线l3 3：y=nxy=nxm m是否也经过点是否也经过点P P？请说明理由？请说明理由 yx1 ymxn ， ， 【解析解析】(1)(1(1)(1，b)b)在直线在直线y=xy=x1 1上，上， 当当x=1x=1时，时，b=1b=11=21=2 (2)(2)方程组的解是方程组的解是 (3)(3)直线直线y=nxy=nxm
20、 m也经过点也经过点P P理由如下：理由如下： 点点P(1P(1，2)2)，在直线，在直线y=mxy=mxn n上，上， m mn=2n=2， 2=n2=n1 1m m，这说明直线，这说明直线y=nxy=nxm m也经过点也经过点P P x1 y2. ， 题组二题组二: :实际问题中的一次函数与方程实际问题中的一次函数与方程 1.1.甲、乙两人以相同路线前往距离单位甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km10km的培训中心参加学的培训中心参加学 习习. .图中图中l甲 甲, ,l乙乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程 分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程s(km)s(km) 随时间随时间
21、t(min)t(min)变化的函数图象变化的函数图象. .乙出发多少乙出发多少minmin后追上甲后追上甲.(.( ) ) A.24 B.4 A.24 B.4 C.5 C.5 D.6D.6 【解析解析】选选D.D.根据图象得出：乙在根据图象得出：乙在28 min28 min时到达，甲在时到达，甲在40 min40 min 时到达，设乙出发时到达，设乙出发x minx min后追上甲，后追上甲， 则有：则有： 解得解得x=6.x=6. 1010 x18x 28 1840 ， 2.2.某公司销售人员的工资为底薪加提成某公司销售人员的工资为底薪加提成, ,个人月收入与其每月个人月收入与其每月 的销售
22、量成一次函数关系的销售量成一次函数关系, ,图象如图所示图象如图所示, ,则销售人员的底薪是则销售人员的底薪是 元元. . 【解析解析】设一次函数表达式为设一次函数表达式为y=kx+b(k,by=kx+b(k,b为常数，为常数，k0).k0). 将将(1,800),(2,1 100)(1,800),(2,1 100)代入代入, ,得得 解得解得 所以此函数表达式为所以此函数表达式为y=300x+500.y=300x+500. 当当x=0x=0时时,y=500.,y=500. 答案：答案：500500 kb800 2kb1 100 ， ， k300 b500 ， ， 3.3.某班师生组织植树活动
23、某班师生组织植树活动, ,上午上午8 8时从学校出发时从学校出发, ,到植树地点后到植树地点后 植树植树2h,2h,然后沿原路返校然后沿原路返校, ,如图为师生离校路程如图为师生离校路程s s与时间与时间t t之间的之间的 函数图象函数图象, ,求师生何时回到学校求师生何时回到学校. . 【解析解析】设师生返校时的函数表达式为设师生返校时的函数表达式为s=kt+b(k,bs=kt+b(k,b为常数，为常数， k0),k0),把把(12(12，8)8)，(13(13，3)3)代入得代入得 解得解得 s=s=- -5t+68,5t+68,当当s=0s=0时，时，t=13.6,t=13.6, 师生在
24、师生在1313时时3636分回到学校分回到学校. . 812kb, 313kb, k5, b68, 4.4.如图如图, ,l1 1, ,l2 2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(y(费用费用= = 灯的售价灯的售价+ +电费电费, ,单位单位: :元元) )与照明时间与照明时间x(h)x(h)的函数图象的函数图象, ,假设两假设两 种灯的使用寿命是种灯的使用寿命是2000h,2000h,照明效果一样照明效果一样. . (1)(1)根据图象分别求出根据图象分别求出l1 1, ,l2 2的函数表达式的函数表达式. . (2)(2)当照明时间为多少时当照明时
25、间为多少时, ,两种灯的费用相同两种灯的费用相同? ? 【解析解析】(1)(1)设直线设直线l1 1的表达式为的表达式为y y1 1=k=k1 1x+2(kx+2(k1 10),0), 由图象得由图象得:17=500k:17=500k1 1+2,+2, 解得解得:k:k1 1=0.03,=0.03, yy1 1=0.03x+2(0x2000),=0.03x+2(0x2000), 设直线设直线l2 2的表达式为的表达式为y y2 2=k=k2 2x+20(kx+20(k2 20),0), 由图象得由图象得:26=500k:26=500k2 2+20,+20, 解得解得:k:k2 2=0.012,
26、=0.012, yy2 2=0.012x+20(0x2000).=0.012x+20(0x2000). (2)(2)当当y y1 1=y=y2 2时时, ,两种灯的费用相等两种灯的费用相等. . 即即0.03x+2=0.012x+20,0.03x+2=0.012x+20, 解得解得:x=1000,:x=1000, 当照明时间为当照明时间为1000h1000h时时, ,两种灯的费用相等两种灯的费用相等. . 5.5.某工程队承担了一项某工程队承担了一项2100m2100m的排水管道铺设任务的排水管道铺设任务. .在施工过程在施工过程 中中, ,前前3030天是按原计划进行施工的天是按原计划进行施
27、工的, ,后期提高了工效后期提高了工效. .铺设排水铺设排水 管道的长度管道的长度y(m)y(m)与施工时间与施工时间x(x(天天) )之间的关系如图所示之间的关系如图所示. . (1)(1)求原计划多少天完成任务求原计划多少天完成任务? ? (2)(2)求提高工效后求提高工效后,y,y与与x x之间的函数表达式之间的函数表达式( (不考虑自变量的取不考虑自变量的取 值范围值范围).). (3)(3)实际完成这项任务比原计划提前了多少天实际完成这项任务比原计划提前了多少天? ? 【解析解析】(1)750(1)75030302525，2 1002 100252584.84. 故原计划需要故原计划
28、需要8484天完成任务天完成任务 (2)(2)设提高工效后，设提高工效后，y y与与x x之间的函数表达式为之间的函数表达式为y ykxkxb(k,bb(k,b为为 常数，常数，k0)k0) 其图象过点其图象过点(33(33，750)750)，(60(60，1 560)1 560)， 解得解得 y y与与x x之间的函数表达式为之间的函数表达式为y y30x30x240240 33kb750 60kb1 560 ， ， k30 b240 ， ， (3)(3)当当y y2 1002 100时，时，30x30x2402402 1002 100， 解得解得x x7878848478786 6 实际完成这项任务比原计划提前了实际完成这项任务比原计划提前了6 6天天 【想一想错在哪？想一想错在哪？】如图如图, ,已知直线已知直线y=axy=ax- -b,b,求关于求关于x x的方程的方程axax- - 1=b1=b的解的解. . 提示提示: :直线直线y=axy=ax- -b b与与x x轴的交点的横坐标是方程轴的交点的横坐标是方程axax- -b=0b=0的解的解, ,误误 把方程把方程axax- -1=b1=b看作看作axax- -b=0b=0而出错而出错. .
