1、课时提升作业(二十三) 第三章 第八节 正弦定理、余弦定理的应用举例一、选择题1.某水库大坝的外斜坡的坡度为,则坡角的正弦值为( )(A)(B)(C)(D)2.(2013太原模拟)如图,D,C,B三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角分别是,(),则A点离地面的高度AB等于( )(A)(B)(C)(D)3.在ABC中,角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则SABC等于( )(A)(B)(C)(D)24.(2013咸阳模拟)如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角CAB=45,沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S点,又测得
2、山顶仰角DSB=75,则山高BC为( )(A)500m(B)200m(C)1000m(D)1000m5.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15,与货轮相距20海里,随后货轮按北偏西30的方向航行,30分钟后又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮航行的速度为( )(A)20(+)海里/小时(B)20(-)海里/小时(C)20(+)海里/小时(D)20(-)海里/小时6.(2013宜春模拟)从某电视塔的正东方向的A处,测得塔顶仰角是60,从电视塔的西偏南30的B处,测得塔顶仰角为45,A,B间距离是35m,则此电视塔的高度是( )(A)5m(B)10m(C)m(D)35m二、填空题7.(
3、2013延安模拟)在ABC中,A=60,AC=8,SABC=4,则BC=.8.江岸边有一炮台高30m,江中有两条船,船与炮台底部在同一水面上,由炮台顶部测得俯角分别为45和60,而且两条船与炮台底部连线成30角,则两条船相距m.9.(2013长沙模拟)如图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30方向上,之后它继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处,且与灯塔S相距8n mile.此船的航速是32n mile/h,则灯塔S对于点B的方向角是.三、解答题10.(2013宜春模拟)在ABC中,sin(C-A)=1,sinB=.(1)求sinA的值.(2)设AC=,求ABC的面积.1
4、1.如图,某观测站C在城A的南偏西20的方向,从城A出发有一条走向为南偏东40的公路,在C处观测到距离C处31km的公路上的B处有一辆汽车正沿公路向A城驶去,行驶了20km后到达D处,测得C,D两处的距离为21km,这时此车距离A城多少千米?12.(能力挑战题)某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上,在小艇出发时,轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处,并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶,经过t小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少?(2)假设小艇的最高航行
5、速度只能达到30海里/时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由.答案解析1.【思路点拨】坡角的正切值是坡度,故利用此关系可解.【解析】选B.由tan=,得sin=cos,代入sin2+cos2=1,得sin=.2.【解析】选A.由已知得DAC=-,由正弦定理得,=,所以AC=,故AB=ACsin=.3.【思路点拨】由角A,B,C依次成等差数列可得B,由正弦定理得A,从而得C,再用面积公式求解即可.【解析】选C.角A,B,C依次成等差数列,A+C=2B,B=60.又a=1,b=,=,sinA=.又ab,AB,A=30,C=90.SABC=1
6、=.【变式备选】在ABC中三条边a,b,c成等比数列,且b=,B=,则ABC的面积为( )(A)(B)(C)(D)【解析】选C.由已知可得b2=ac,又b=,则ac=3,又B=,SABC=acsinB=3=.4.【解析】选D.SAB=45-30=15,SBA=ABC-SBC=45-(90-75)=30,在ABS中,AB=1000,BC=ABsin45=1000=1000(m).5.【解析】选B.由题意知SM=20,SNM=105,NMS=45,MSN=30.在MNS中利用正弦定理可得,=,MN=10(-)(海里),货轮航行的速度v=20(-)(海里/小时).6.【思路点拨】画出示意图,将条件转
7、化为三角形的边和角,然后利用三角函数和余弦定理求解.【解析】选A.作出示意图(如图所示).设塔高为hm.在RtAOC中,tanOAC=,OA=.在AOB中,AOB=150,OB=h,AB=35.由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OAOBcosAOB,即352=()2+h2-2hcos150,整理得h2=352,解得h=5.【方法技巧】测量高度的一般思路解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用的三角形,准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相对应;分清已知和待求的关系,正确地选择定理和公式,特别注意高度垂直地面构成的直角三角形.7.【解析】由条件知SABC=bcsinA=bcsin60
8、=bc=4.bc=16.又b=AC=8,c=2.由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA=82+22-282cos60=52.a=2,即BC=2.答案:28.【解析】如图,OM=OAtan45=30,ON=AOtan30=30=10,由余弦定理得MN=10(m).答案:109.【解析】由已知可得,AB=32n mile/hh=16 n mile,BS=8n mile,BAS=30,由正弦定理得=,sinASB=.又0ASB180,得ASB=45或135,若ASB=45,则ABS=105,此时,S在点B的北偏东75方向上;若ASB=135,则ABS=15,此时,S在点B的南偏东15方向上.
9、答案:北偏东75或南偏东15【方法技巧】测量角度问题的一般步骤(1)在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离.(2)用正弦定理或余弦定理解三角形.(3)将解得的结果转化为实际问题的解.同时注意把所求量放在有关三角形中,有时直接解此三角形时条件不具备,需要先在其他三角形中求解相关量.10.【解析】(1)在ABC中,A,B,C(0,),而sin(C-A)=1,C-A=,即C=A+,sinB=sin(A+C)=sin(2A+)=cos2A=1-2sin2A=.sinA=.(2)在ABC中,由正弦定理得:=,即=,得BC=3.又由sinC=sin(A+)=cosA=,S
10、ABC=ACBCsinC=3=3.11.【解析】在BCD中,BC=31,DB=20,DC=21,由余弦定理得cosBDC=-.所以cosADC=,故sinADC=.在ACD中,由条件知CD=21,BAC=60,所以sinACD=sin(60+ADC)=+=.在ACD中,由正弦定理得=,即=,所以AD=15(km).所以此车距离A城15千米.12.【思路点拨】第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式.第(2)问建立速度与时间的函数关系式.【解析】(1)设相遇时小艇航行的距离为s海里,则s=,故当t=时,smin=10(海里),此时v=30(海里/时),即小艇以30海里/时的速度航行,相遇时小艇的
11、航行距离最小.(2)设小艇与轮船在B处相遇,则v2t2=400+900t2-22030tcos(90-30),故v2=900-,0v30,900-900,即-0,解得t.又t=时,v=30海里/时,故v=30海里/时时,t取得最小值,且最小值等于.此时,在OAB中,有OA=OB=AB=20海里,故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇.高三强化训练（二）数学（文）试题一.选择题（每小题5分，共60分）1.复数满足，则复数的实部与虚部之差为 （ ）A.0 B.1 C.3 D.32. 观察下列各式：51=5,52=25,53=125,54=62
12、5,=3125，=15625，=78125，则的末四位数字为 （ ）A3125 B5625 C0625 D81253.数列an是等差数列，其前n项和为Sn，若平面上的三个不共线的向量满足且A、B、C三点共线，则S2012=（ ）A1006B1010C2006D20104.不等式且对任意都成立，则的取值范围为 （ ）A B C D 5.已知向量，若，则等于（ ）A. B. C. D. 6. 在区间上任取两个实数，则函数在区间上有且只有一个零点的概率是 （ ）A. B. C. D.7. 等比数列中，=4，函数，则 （ ）A B. C. D. 8.下图a是某市参加2012年高考的学生身高条形统计图，
13、从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、Am 如A2表示身高（单位：cm）在150，155内的学生人数。图b是统计图a中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在160180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是 （ ）A9 B8 C7 D69.定义：数列,满足d为常数，我们称为等差比数列，已知在等差比数列中，则的个位数 （ ） A，3 B，4 C，6 D，810. 已知抛物线与双曲线有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF轴，则双曲线的离心率为 （ ）A B C D11. 的图像关于对称，且当时，（其中是的导函数），若
14、，则的大小关系是 （ ）A. B. C. D. 12.在直角坐标平面上的点集，那么的面积是 （ ）A B C D二.填空题（每小题5分，共20分）13. 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则 。14.已知某个几何体的三视图如右图所示，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是_cm3。15.已知抛物线上有一条长为2的动弦AB，则AB中点M到x轴的最短距离为 _。16. 已知函数的对称中心为M，记函数的导函数为， 的导函数为，则有。若函数，则可求得： .三、解答题，本大题共5小题，满分60分. 解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.
15、(本小题满分12分) 设的内角所对的边长分别为，且（1）求的值；（2）求的最大值。PABCDE18. （本小题满分12分）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是直角梯形，DABABC90o，PA底面ABCD，PAABAD2，BC1，E为PD的中点(1) 求证：CE平面PAB；(2) 求PA与平面ACE所成角的正弦值；19.（本小题满分12分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下
16、表所示：支持保留不支持20岁以下80045020020岁以上（含20岁）100150300（）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求的值；（）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有人20岁以下的概率20.（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点.（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围。21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ex-1-x（1）求y=f(x)在点(1,f(1)
17、处的切线方程；（2）当x时，f(x)恒成立，求的取值范围。请从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分。22、（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲 如图，是内接于O，直线切O于点，弦，与相交于点（1） 求证：；（2）若，求。23（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，已知点的直角坐标，点的极坐标为，若直线过点，且倾斜角为，圆以为 圆心、为半径。（1） 写出直线的参数方程和圆的极坐标方程；（
18、2）试判定直线和圆的位置关系。24. （本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数。（1）若不等式的解集为，求实数的值；（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数m的取值范围。参考答案一.选择题1.A 2.D 3.A 4. B 5. B 6. D 7. C 8 .B 9.C 10. B 11.C 12.C二.填空题13. ，14. ， 15. ，16.-8046 三、解答题17.解析：（1）在中，由正弦定理及可得即，则（2）由得18题图当且仅当时，等号成立，故当时，的最大值为.18.解（1）. 证明：取PA的中点F，连结FE、FB，则FEBC，且FEADBC，BCEF是平行四边形，C
19、EBF，而BF平面PAB，CE平面PAB(2) 解：取 AD的中点G，连结EG，则EGAP，问题转为求EG与平面ACE所成角的大小.又设点G到平面ACE的距离为GH，H为垂足，连结EH，则GEH为直线EG与平面ACE所成的角现用等体积法来求GH VEAGCSAGCEG，又AE，ACCE，易求得SAEC，VGAEC GHVEAGC，GH在RtEHG中，sinGEH，即PA与平面ACE所成的角正弦值为 19.解：(2)设所选取的人中，有人20岁以下，则，解得.6分也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，则从中任取2人的所有基本事件为 (A1,B1)，(
20、A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10个. 8分其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， 10分所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为. 12分20. 解：（1）解法一：易知所以，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值解法二：易知，所以，设，则（以下同解法一）（2）显然直线不满足题设条件，
21、可设直线，联立，消去，整理得：由得：或又,又，即 故由、得或21.解（1）在处的切线方程为即 2分 （2）由已知得时，恒成立，设 由先证知当且仅当时等号成立，故，从而当即时，为增函数，又于是当时，即，时符合题意. 由可得从而当时，故当时，为减函数，又于是当时，即故不符合题意.综上可得的取值范围为 。12分选做题答案：22解:（1）在ABE和ACD中， ABE=ACD 2分又BAE=EDC BD/MN EDC=DCN直线是圆的切线，DCN=CAD BAE=CAD（角、边、角） 5分（2）EBC=BCM BCM=BDCEBC=BDC=BAC BC=CD=4又BEC=BAC+ABE=EBC+ABE=ABC=ACB BC=BE=4 8分设AE=，易证 ABEDEC 又 .10分23.解：（1）直线的参数方程是，（为参数）圆的极坐标方程是。 .5分（2）圆心的直角坐标是，直线的普通方程是，圆心到直线的距离，所以直线和圆相离。10分24.解：（1）由（2）由（1）知 - 16 -
