1、 理科数学第 1 页 共 5 页 2020 年荆门市高三年级高考模拟考试年荆门市高三年级高考模拟考试 理科数学试题 理科数学试题 全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知 i 是虚数单位，若复数 3 2i 1i z，则z= A. 1i B. 1+i C. 1i D.1+i 2. 已知集合A 1 |x x 1，lg(3)Bx yx，则 A.(,1)AB B.(0,3)AB C. R AC B D.1,) R C AB 3. 已知等差数列 n a，其前n项和为 n
2、 S，且 159 3aaam，则 67 9 2aa S A. 5 m B. 9 m C. 1 5 D. 1 9 4. 已知, a bR，则“1ab”是“2ab”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 2019 冠状病毒病 （Corona Virus Disease 2019 （COVID-19） ） 是由新型冠状病毒 （2019-nCoV） 引发的疾病，目前全球感染者以百万计.我国在党中央、国务院、中央军委的坚强领导下， 已经率先控制住疫情，但目前疫情防控形势依然严峻，湖北省中小学依然延期开学，所有 学生按照停课不停学的要求，居家学习.
3、小李同学在居家学习期间，从网上购买了一套高 考数学冲刺模拟试卷，快递员计划在下午 4:005:00 之间送货到小区门口的快递柜中，小 李同学父亲参加防疫志愿服务，按规定，他换班回家的时间在下午 4:305:00，则小李父 亲收到试卷无需等待的概率为 A. 1 8 B. 1 4 C. 3 4 D. 7 8 6. 已知 x表示不超过x的最大整数（如1.21， 0.51），执行如图所示的程序 框图输出的结果为 A. 49850 B.49950 C. 50000 D.50050 7. 在二项式 1 7 2 1 () 2 x x 的展开式中有理项的项数为 理科数学第 2 页 共 5 页 A. 1 B.
4、2 C. 3 D. 4 8. 函数 2 ( )sinf xxxx的图像大致为 A B C D 9. 已知定义在R上的函数( )yf x是偶函数，且图像关于点(1,0)对称.若当0,1)x时， ( )sin 2 f xx，则函数( )( ) x g xf xe在区间 2019,2020上的零点个数为 A.1009 B.2019 C.2020 D.4039 10. 已知函数 2 ( )sincos ,0, f xxx xa的值域为 5 1, 4 ，则实数a的取值范围是 A. (0, 6 B. (0, 3 C., 6 2 D., 3 2 11. 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab
5、 的右焦点为F，直线430xy与双曲线的右 支交于点M，若| |OMOF,则该双曲线的离心率为 A. 3 B. 2 C. 5 D. 6 12.已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,P是空间中任意一点， 下列正确命题的个数是 若P为棱 1 CC中点， 则异面直线AP与CD所成角的正切值为 5 2 ; 若P在线段 1 AB上运动，则 1 APPD的最小值为 62 2 ； 若P在半圆弧CD上运动，当三棱锥PABC体积最大时，三棱锥PABC外接球 的表面积为2； 若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大 值为 3 3 4 . A.1 个 B.2 个 C.
6、3 个 D. 4 个 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 已知(1, 2),(0,3)ab，则向量b在向量a方向上的投影为_. 14. 一般都认为九章算术是中国现存最古老的数学著作。然而，在 1983 年底到 1984 年 理科数学第 3 页 共 5 页 初，在荆州城西门外约 1.5 公里的张家山 247 号墓出土的算数书，比现有传本九章 算术还早二百年。某高校数学系博士研究生 5 人，现每人可以从算数书、九章算 术、周髀算经、孙子算经、缀术等五部著作（每部著作有多本）中任意选 择一部进行课题研究，则恰有两部没有任何人选择的情况有_种.（请用数字作答） 15.
7、 已知曲线:x28y的焦点为F，点P在曲线上运动，定点A(0,2)，则 | | PF PA 的 最小值为_. 16. 定义：若数列 n t满足 1 ( ) ( ) n nn n f t tt ft ，则称该数列为“切线零点数列”.已知函 数 2 ( )f xxpxq有两个零点 1,2，数列 n x为“切线零点数列”，设数列 n a满 足 1 2,a 2 ln 1 n n n x a x ，2 n x，数列 n a的前n项和为 n S，则 2020 S_. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题，考生
8、根据要求作 答。 （一）必考题：共 60 分。 17.（本题 12 分） 已知ABC的内角, ,A B C所对的边是, ,a b c，且满足()sinsinsinabAcCbB. （1）求角C； （2）若 1 2 ADAB，2c，求CD的最大值. 18.（本题 12 分） 在平行四边形 EABC 中， EA4， EC2 2， E45， D 是 EA 的中点(如图 1) 将ECD 沿 CD 折起到图 2 中PCD 的位置，得到四棱锥 PABCD. (1)求证：CD平面 PDA； (2)若 PD 与平面 ABCD 所成的角为 60，且PDA 为锐角三角形，求平面 PAD 和平面 PBC 所成锐二面
9、角的余弦值 理科数学第 4 页 共 5 页 19. （本题 12 分） 某学校为进一步规范校园管理，强化饮食安全，提出了“远离外卖，健康饮食”的口号. 当然，也需要学校食堂能提供安全丰富的菜品来满足同学们的需求.在学期末，校学生会为 了调研学生对本校食堂 A 部和 B 部的用餐满意度， 从在 A 部和 B 部都用过餐的学生中随机 抽取了 200 人，每人分别对其评分，满分为 100 分.随后整理评分数据，将分数分成 6 组： 第 1 组40,50)，第 2 组50,60)，第 3 组60,70，第 4 组70,80)，第 5 组80,90)，第 6 组90,100，得到 A 部分数的频率分布直
10、方图和 B 部分数的频数分布表. 定义： 学生对食堂的“满意度指数” 分数分数 40,50） 50,60） 60,70） 70,80） 80,90） 80,100 满意度指数满意度指数 0 1 2 3 4 5 （1）求 A 部得分的中位数（精确到小数点后一位）； （2）A 部为进一步改善经营，从打分在 80 分以下的前四组中，采用分层抽样的方法抽取 8 人进行座谈，再从这 8 人中随机抽取 3 人参与“端午节包粽子”实践活动，在第 3 组抽到 1 人的情况下，第 4 组抽到 2 人的概率； （3）如果根据调研结果评选学生放心餐厅，应该评选 A 部还是 B 部（将频率视为概率）. 20.（本题
11、12 分） 已知椭圆 22 :1 43 xy E的左焦点为F，点( 4,0)M，过 M的直线与椭圆E交于,A B两点，线段AB中点为C，设 分数区间分数区间 频数频数 40,50） 7 50,60） 18 60,70） 21 70,80） 24 80,90） 70 90,100 60 理科数学第 5 页 共 5 页 椭圆E在,A B两点处的切线相交于点P，O为坐标原点. （1）证明：O、C、P三点共线； （2） 已知A B是抛物线 2 2(0)xpy p的弦， 所在直线过该抛物线的准线与y轴的交 点，P是弦A B在两端点处的切线的交点，小明同学猜想：P在定直线上.你认为小明猜 想合理吗？若合理
12、，请写出P所在直线方程；若不合理，请说明理由. 21. （本题 12 分） 设函数 2 ( )2ln(1)f xxxax. （1）讨论( )f x的单调性； （2）设( )( ). x g xf xe若 1 ( ) 1 g x x 在(0,)上恒成立，求a的取值范围. （二）选考题：共 10 分。请考生在 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则 按所做的第一题计分。 22. 选修 4-4：坐标系与参数方程（本题 10 分） 在平面直角坐标系xoy，以坐标原点o为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线C的极坐标方程是 2 cos21，直线l的参数方程为 3 3 xt yt （t为
13、参数）. (1) 求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程； (2) 设点P的直角坐标为(3,0)，直线l与曲线C相交于,A B两点，求 11 . |PAPB 23. 选修 4-5：不等式选讲（本题 10 分） 已知函数( )|1|2|2|()f xxxxR，记( )f x的最小值m. (1) 解不等式( )5f x； (2) 若23abcm，求 222 abc的最小值. 理数参考答案第 1 页 共 12 页 2020 年荆门市高三年级高考模拟考试 2020 年荆门市高三年级高考模拟考试 理科数学参考答案及评析 理科数学参考答案及评析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B
14、C D A C D D D B D C C 13. 6 14. 1500 15. 2 2 16. 2021 22 1.【解析】 3 2 1,1. 1 i zizi i 因此选 B. 【微评】考查复数相关的概念及运算 【微评】考查解不等式（分式不等式、对数不等式） 、集合的运算 3.【解析】 6765 955 21 . 999 aaada Saa 因此选 D. 【微评】考查等差数列及其前n项和的性质 4. 【解析】 法 1： 对, a bR， 有 2 2 ab ab， 当且仅当1ab时取等， 故当1ab 2ab，1ab是2ab的充分条件.反之， 若2ab， 特别的 1 3 a，2b， 则1ab，
15、所以1ab不是2ab的必要条件. 法 2： 画出两个不等式所表示的平面区域， 如图所示，1ab 表示的平面区域为曲线 1 b a 上方的部分，2ab表示的平面区域为 直线2ab右上方的部分. 因此选 A. 【微评】考查基本不等式、简易逻辑、特值法、数形结合 5.【解析】记快递员讲快递送到小区的时刻为x，小李同学父亲到小区时刻为y，则所有事 理数参考答案第 2 页 共 12 页 件构成区域为 45 : 4.55 x y ， 记“小李同学父亲收到快递无需等待”为事件A， 则事件A构 成区域满足 45 : 4.55 0 x Ay yx ， 所以小李同学父亲收到快递无需等待的概率 3 4 A S P
16、A S ， 因此选 C. 【微评】考查几何概型 6. 【解析】 012020 0401 4049405021 404040 50049 40105050050. 2 因此选 D. 【微评】考查算法、等差数列求和 7.【解析】该二项展开式的通项为 7 3 7 2 2 177 11 ,0,1,2,7 22 rr r r rr r TCxCxr x ，. 当1,3,5,7r时， 1r T为有理项，共有 4 项.因此选 D. 【微评】考查二项式定理 8. 【 解 析 】f x满 足fxfx是 偶 函 数 ， 故 排 除B ， 当0x时 ， 2s i nc o ss i n1c o s0fxxxxxxx
17、xx， 故f x在0,上单调 递增，又00f，因此选 D. 【微评】考查导数的应用、函数的图像和性质 9.【解析】g x在2019,2020上的零点个数即为yf x和 | | x ye的图像在 2019,2020上的交点个数.f x是偶函数，关于1,0对称，可得函数周期为 4，又当 0,1x时，sin 2 f xx，做出yf x和 | | x ye的部分图像如图所示，由图像可 知，每个周期内两个函数的交点由 2 个，但是在2019, 2016上只有 1 个交点，故一共 有505 2504 212019个零点.故选 B. 理数参考答案第 3 页 共 12 页 【微评】考查函数的性质、图像、零点等
18、知识 10. 【 解 析 】 2 2 15 1coscoscos 24 f xxxx,0,xa， 令cos ,tx 2 15 , 24 g tt 5 1, 4 g t，且当 1 2 t时 5 4 g t，令1g t得0t或 1t，由0,xa，0x时，1t，结合g t图像，当01t时， 5 1, 4 g t， 1 0cos 2 a，, 3 2 a.因此，选 D. 【微评】考查同角三角函数的基本关系、三角函数的性质、二次函数. 11.【解析】设双曲线的左焦点为F,则| | |OFOFOM，故FMF为直角三角形， 根 据 题 意 ， 设,MOFMF F, 则 2 2tan4 tantan2 1tan
19、3 ， 解 得 1 tan 2 （舍负值） ，即 |1 |2 MF MF ,又|2MFMFa，|4 ,|2MFa MFa. 222 422aac，得离心率5 c e a .故选 C. 【微评】考查双曲线的定义，几何性质 12.【解析】 图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 对于，如图（1）,由 ABCD,可知BAE 即为异面直线 AE 与 CD 所成的角.设正方体的棱 长为 2,连接 BE,则在 RtABE 中,AB=2,BE= BC2+ CE2= 22+ 12= 5,tanBAE=BE AB= 5 2 ,正确 对于，如图（2）,将三角形 AA1B 与四边形 A1BCD1沿 A1B 展开到同
20、一个平面上,如图所示. 由图可知,线段 AD1的长度即为 AP+PD1的最小值.在AA1D1中,利用余弦定理可得 理数参考答案第 4 页 共 12 页 AD1= 2 + 2,错误 对于， 如图 （3） ， 当P为CD中点时， 三棱锥PABC体积最大， 此时， 三棱锥PABC 的外接球球心是 AC 中点，半径为 2 2 ，其表面积为2.正确 对于，如图（4） ，平面与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等,只需与过同一顶点 的三条棱所成的角相等即可,如图,AP=AR=AQ,则平面 PQR 与正方体过点 A 的三条棱所成的 角相等.若点 E,F,G,H,M,N 分别为相应棱的中点,可得平面 EFGH
21、MN 平行于平面 PQR,且六边 形EFGHMN 为正六边形.正方体棱长为1,所以正六边形EFGHMN的边长为 2 2 ,可得此正六边 形的面积为3 3 4 ,为接面最大面积.故正确的命题有 3 个. 【微评】考查立体几何 13. 【解析】 向量b在向量a方向上的投影即 1,20,3 |cos,6. |3 a b ba b a 【微评】考查平面向量坐标运算、数量积、投影 14.【解析】 1122 3 5453 5 22 22 1500 C CC C A AA 【微评】排列组合综合应用 15.【解析】设,P x y，0y时， | 1 | PF PA ，0y时，有 2 2 2 2 2 2 2 |4
22、4 |124 2 xy PFyy PAyy xy 2 8 1 124 y yy 82 1 4 2 12y y 当且仅当2y时取等. | | PF PA 的最小值为 2 2 . 【微评】抛物线、基本不等式 理数参考答案第 5 页 共 12 页 16. 【解析】 2 f xxpxq有两个零点 1,2. 2 1232.f xxxxx 23.fxx由题意 2 2 222 1 1 22 1 2 2 232223442 , 223231211 1 23 n nnnnnnnn nn nnnnnnn n x xxxxxxxx xx xxxxxxx x 2 ln 1 n n n x a x 1 1 1 22 ,
23、ln2ln2 11 nn nn nn xx aa xx ，又 1 2a，数列 n a是首 项为 2，公比为 2 的等比数列，则2n n a， 2020 2021 2020 2 12 22 12 S. 【微评】导数、对数运算、零点、数列递推关系、等比数列等综合考查 17. 【解析】 （1）由sinsinsinabAcCbB， 根据正弦定理得， 22 ab acb，即 222 abcab 由余弦定理得， 222 1 cos 22 abc C ab 又0,C， 3 C. 6 分 （2）由 1 2 ADAB可知，D是AB中点，在ACD中， 222 2cos,ACADCDAD CDADC 即 22 12
24、cos,bCDCDADC 在BCD中， 222 2cos,BCBDCDBD CDBDC 即 22 12cos,aCDCDBDC 又ADCBDC，则coscosADCBDC 222 1 1. 2 CDab由（1）及2c得 22 22 4, 2 ab abab 当且仅当2ab时，等号成立. 10 分 理数参考答案第 6 页 共 12 页 22 1 4, 2 ab 222 1 13. 2 CDab CD的最大值为3. 12 分 【微评】考查应用正定理、余弦定理解三角形、基本不等式 18.【解析】(1)将ECD 沿 CD 折起过程中，CD平面 PDA 成立证明如下： D 是 EA 的中点，EA4，DE
25、DA2， 在EDC 中，由余弦定理得， CD2EC2ED22EC ED cos 45 8422 22 2 2 4， CD2ED， CD2DE28EC2， EDC 为等腰直角三角形且 CDEA， CDDA，CDPD，PDADD， CD平面 PDA. 5 分 (2)由(1)知 CD平面 PDA，CD平面 ABCD， 平面 PDA平面 ABCD， PDA 为锐角三角形， P 在平面 ABCD 内的射影必在棱 AD 上， 记为 O， 连接 PO， PO平面 ABCD， 则PDA 是 PD 与平面 ABCD 所成的角， PDA60 ， DPDA2， PDA 为等边三角形，O 为 AD 的中点， 故以 O
26、 为坐标原点，过点 O 且与 CD 平行的直线为 x 轴，DA 所在直线为 y 轴，OP 所 在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 设 x 轴与 BC 交于点 M， DAPA2，OP 3， 易知 ODOACM1， BM3， 则 P(0，0， 3)，D(0，1，0)，C(2，1，0)，B(2，3，0)，DC (2，0，0)， BC (0，4，0)， PC(2，1， 3)， CD平面 PDA， 可取平面 PDA 的一个法向量 1 n(1，0，0)， 理数参考答案第 9 页 共 12 页 4 分 联立 11 11 1 4 1 43 x xty x xy y 解得 3 1, 4 t P， 3
27、 4 POAB kk 5 分 由AB中点 1212 , 22 xxyy C及 22 11 22 22 1 43 1 43 xy xy 可得 3 4 ABOC kk6 分 OPOC kk O、C、P三点共线. 7 分 （2） 合理，P在直线 2 p y上. 8 分 证明如下：设 3344 ,A x yB x y，直线A B斜率一定存在，: 2 p A Bykx 联立 2 2 2 p ykx xpy 消去y得 22 20xpkxp，0 2 3434 2,xxpk xxp 9 分 由 2 2xpy得 2 2 x y p ，. x y p 抛物线 2 2xpy在 33 ,A x y处的切线方程为 2
28、33 2 xx yx pp ，同理在 44 ,B x y处的切线方程为 2 44 2 xx yx pp 11 分 联立 2 33 2 44 2 34 2 2 xx yx pp xx yx pp xxp 解得 2 p y，故P在直线 2 p y上. 12 分 【微评】综合考查解析几何 21. 【解析】 （1）f x定义域为1,，22 1 a fxx x 1 分 理数参考答案第 10 页 共 12 页 当0a时，0fx在1,上恒成立，此时f x在1,上单递增； 2 分 当0a时，令0fx得1 2 a x或1 2 a x（舍去） 当1,1 2 a x时，0fx，此时f x单调递减 当1, 2 a x
29、时，0fx，此时f x单调递增 3 分 综上：当0a时，f x在1,上单递增 当0a时，f x在1,1 2 a 上单调递减 f x在1, 2 a 上单调递增 4 分 （2）由题意， 2 11 2ln1 1 x xxax xe 在0,上恒成立. 若0a，ln10,ln10xax 22 2ln12xxaxxx 令 2 11 2,0 1 x h xxxx xe ，则 2 11 22. 1 x h xx e x 1 0,0,1 x x e 2 11 =220 1 x h xx e x ， h x在0,上单调递增，00h xh成立， 故0a时， 11 1 x g x ex 成立. 7 分 若0a时，令1
30、0 , x m xexx10, x m xem x在0,上单 调递增00m xm，即有10 x ex. 11 1 x xe ，即 11 0 1 x xe 理数参考答案第 11 页 共 12 页 要使 11 1 x g x ex 成立，必有0f x成立. 由（1）可知，0a时， min 1 2 a f xf，又00f， 则必有10 2 a ，得02.a 9 分 此时， 22 111111 2ln122ln1 111 xxx g xxxaxxxx exexex 令 2 11 22ln10 1 x t xxxxx ex 2 3 22 22 222 211 22 1 1 2131131 22 1 11
31、 213112131121 0 111 x txx xe x xx x x xx xxxxxx xxx 即0tx恒成立，故t x在0,上单调递增，00t xt 11 分 故02a时， 11 1 x g x ex 成立. 综上，a的取值范围是,2 . 12 分 【微评】综合考查导数的应用 22.【解析】 （1）由 2 cos21得 222 cossin1，所以曲线C的直角坐标方程为 22 1.xy 由 3 3 xt yt 消去t得330.xy所以直线l的普通方程为330.xy5 分 理数参考答案第 12 页 共 12 页 （2）点3,0P在直线l上，设直线l的参数方程为 1 3 2 3 2 xm
32、 ym （m为参数） 设点,A B对应的参数分别为 12 ,m m，将直线l的参数方程代入 22 1xy，得 2 2340mm， 1212 2 3,4mmm m 2 1212 1212 121212 4 |117 . |2 mmm m mmmm PAPBm mm mm m 10分 【微评】考查极坐标参数方程 23.【解析】.（1） 531 312 352 x x f xxx xx ，不等式5f x等价于 535 1 x x 或 35 12 x x 或 355 2 x x 解得 10 0 3 x，即不等式的解集为 10 0, 3 5 分 （2）|1|2|2| 1f xxx当且仅当2x时，等号成立.1m 231abc， 2 222222 111 14923 141414 abcabcabc 当且仅当 113 , 14714 abc时，等号成立.10 分 【微评】考查不等式选讲
